资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是( )
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
4．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，且DE将△ABC分成面积相等的两部分，那么的值为（ ）
A．﹣1 B．+1 C．1 D．
6．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连结BE，若S△DEB＝1，则S△BCE的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠1）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞1； ②b2＞4ac； ③4a+2b+c＞1；④2a+b＝1．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在反比例函数的图象在某象限内，随着的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）
A．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶3
10．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只。则从中任意取一只，是二等品的概率等于 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ．
12．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB=∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是________．
13．计算：sin30°=_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以A，B为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为_____．
15．函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交点的坐标为_____．
16．如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠为，点落在边上，若，，则________．
17．一个不透明的袋子中装有除颜色外其他都相同的2个红球和1个黄球，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸岀一个，则两次都摸到黄球的概率为__________．
18．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象经过第三、第一象限的概率是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）用配方法解方程：
20．（6分）如图，中，是的角平分线，，在边上，以为直径的半圆经过点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，的半径为，求图中阴影部分的面积．(最后结果保留根号和)
21．（6分）如图，已知二次函数的图象经过点.
（1）求的值和图象的顶点坐标。
（2）点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
22．（8分）已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
5
2
1
2
n
…
（1）表中n的值为 ；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m1，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．
23．（8分）如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
24．（8分）对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：
（尝试）
（1）当t＝2时，抛物线y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为 ；
（2）判断点A是否在抛物线L上；
（3）求n的值；
（发现）
通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为 ．
（应用）
二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
25．（10分）计算题：
（1）计算：sin45°+cos230°•tan60°﹣tan45°；
（2）已知是锐角，，求．
26．（10分）如图，在菱形中，点是上的点，，若，，是边上的一个动点，则线段最小时，长为___________．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】由题意可知，点C为线段A的中点，故可根据中点坐标公式求解．对本题而言，旋转后的纵坐标与旋转前的纵坐标互为相反数，（旋转后的横坐标+旋转前的横坐标）÷2=－1，据此求解即可.
【详解】解：∵绕点旋转得到，点的坐标为，
∴旋转后点A的对应点的横坐标为：，纵坐标为－b，所以旋转后点的坐标为：．
故选：B．
本题考查了旋转变换后点的坐标规律探求，属于常见题型，掌握求解的方法是解题的关键.
2、C
【解析】△AMN的面积=AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；
解：（1）当0＜x≤1时，如图，
在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，
∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴=，
即，=，MN=x；
∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1），
∵＞0，
∴函数图象开口向上；
（2）当1＜x＜2，如图，
同理证得，△CDB∽△CNM，=，
即=，MN=2-x；
∴y=
AP×MN=x×（2-x），
y=-x2+x；
∵-＜0，
∴函数图象开口向下；
综上答案C的图象大致符合．
故选C．
本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．
3、B
【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝60°，进而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】连接OA，OC，过O作OE⊥AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝2∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D＝180°，
解得：∠D＝60°，
∴∠AOC＝120°，
在Rt△AEO中，OA＝4，
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：B．
此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D=60°．
4、D
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，
∴，即＝，
解得，AD＝，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝，
故选：D．
此题主要考查相似多边形，解题的关键是根据相似的定义列出比例式进行求解.
5、D
【分析】由条件DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，又由DE将△ABC分成面积相等的两部分，可得S△ADE：S△ABC=1：1，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得答案．
【详解】如图所示：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
设DE：BC=1：x，
则由相似三角形的性质可得：S△ADE：S△ABC=1：x1．
又∵DE将△ABC分成面积相等的两部分，
∴x1=1，
∴x，即．
故选：D．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
6、B
【解析】根据三角形中位线定理和三角形的面积即可得到结论．
【详解】∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴CE＝AE．
∴DE＝BC，
∵S△DEB＝1，
∴S△BCE＝2，
故选：B．
本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握并运用三角形中位线定理是解题的关键．
7、C
【分析】二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点来确定，结合抛物线与x轴交点的个数来分析解答．
【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：＞1，
∴ab＜1，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞1，
∴abc＜1，故①错误；
②由图象可知：△＞1，
∴b2−4ac＞1，即b2＞4ac，故②正确；
③∵（1，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c），
而x＝1时，y＝c＞1，
∴x＝2时，y＝c＞1，
∴y＝4a＋2b＋c＞1，故③正确；
④∵，
∴b＝−2a，
∴2a＋b＝1，故④正确．
故选C．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中等题型．
8、C
【分析】由于反比例函数的图象在某象限内随着的增大而增大，则满足，再解不等式求出的取值范围即可．
【详解】∵反比例函数的图象在某象限内，随着的增大而增大
∴
解得：
故选：C.
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象在各象限的变化情况跟系数之间的关系是关键.
9、A
【解析】∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠C=∠FDE，
同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，
∴△DEF∽△CAB，
∴△DEF与△ABC的面积之比= ，
又∵△ABC为正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°
∴△EFD是等边三角形，
∴EF=DE=DF，
又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴△AEF≌△CDE≌△BFD，
∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，
在Rt△DEC中，
DE=DC×sin∠C=DC，EC=cos∠C×DC=DC，
又∵DC+BD=BC=AC=DC，
∴，
∴△DEF与△ABC的面积之比等于：
故选A．
点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形函数）即可得出对应边之比，进而得到面积比．
10、B
【分析】让二等品数除以总产品数即为所求的概率．
【详解】解：∵现有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品2只，三等品3只，从中任意取1只，可能出现12种结果，是二等品的有2种可能，
∴二等品的概率．
故选：B．
本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.
考点：概率公式．
12、∠P=∠B（答案不唯一）
【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】解：这个条件为：∠B=∠P
∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P，
∴△APQ∽△ABC，
故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或．
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13、
【解析】根据sin30°=直接解答即可．
【详解】sin30°=.
本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值.
14、6﹣π
【分析】利用勾股定理得出AB的长，再利用图中阴影部分的面积是：S△ABC﹣S扇形面积求出即可．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴S阴影部分＝×3×4﹣＝6﹣π．
故答案是：6﹣π．
此题主要考查不规则图形的面积求解，解题的关键是熟知割补法的应用.
15、（0，3）．
【分析】令x＝0，求出y的值，然后写出与y轴的交点坐标即可．
【详解】解：x＝0时，y＝3，
所以．图象与y轴交点的坐标是（0，3）．
故答案为（0，3）．
本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.
16、5
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折叠的性质可求BF=BC=10，EF=CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，
∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，
在Rt△ABF中，AF==6
∴DF=AD-AF=4
在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2=CE2，
∴16+（8-CE）2=CE2，
∴CE=5
故答案为：5
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
17、
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有1种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为；
故答案为：．
此题考查列表法或树状图法求概率．解题关键在于掌握注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
18、
【解析】从数﹣2，﹣，1，4中任取1个数记为m，再从余下，3个数中，任取一个数记为n．
根据题意画图如下：
共有12种情况，由题意可知正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限，即可得到k=mn＞1．由树状图可知符合mn＞1的情况共有2种，因此正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是．
故答案为．
三、解答题(共66分)
19、x1=+1，x2=+1
【分析】先把方程进行整理，然后利用配方法进行解方程，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴x1=+1，x2=+1.
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法进行解一元二次方程.
20、（1）证明见解析；（2）6﹣．
【分析】（1）连接OE．根据OB＝OE得到∠OBE＝∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB＝∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C＝90°得到∠AEO＝∠C＝90°证得结论AC是⊙O的切线．
（2）连接OF，利用S阴影部分＝S梯形OECF−S扇形EOF求解即可．
【详解】（1）连接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°
又∵OE为半径∴AC是圆O的切线
（2）连接OF．
∵圆O的半径为4，∠A=30° ，∴AO=2OE=8，
∴AE=4，∠AOE=60°，
∴AB=12，
∴BC=AB=6 AC=6，
∴CE=AC﹣AE=2．
∵OB=OF，∠ABC=60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∠EOF=60°．
∴S梯形OECF=（2+4）×2=6． S扇形EOF=
∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6﹣．
本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
21、（1）；（2）① 11；②.
【解析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.
【详解】（1）解：把代入，得，
解得.
∵，
∴顶点坐标为.
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
22、（1）5；（1）当x=1时，y有最小值，最小值是1；（3）y1＜y1
【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（1）由表中数据可知，当x=1时，y有最小值，最小值是1；
（3）根据二次函数的图像与性质解答即可.
【详解】（1）∵根据表可知：对称轴是直线x=1，
∴点（0，5）和（4，n）关于直线x=1对称，
∴n=5，
故答案为5；
（1）根据表可知：顶点坐标为（1，1），
即当x=1时，y有最小值，最小值是1；
（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（1，1），对称轴是直线x=1，
∴当m＞1时，点A（m1，y1），B（m+1，y1）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵m＜m+1，
∴y1＜y1．
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax1+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
23、（1）抛物线的解析式为；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
【解析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长．
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．
【详解】解：（1）∵抛物线（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴直线AC的解析式为．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，）．
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，
∴点P的坐标为（m，）．
∴PM=PE－ME=（）－（）=．
∴PM=（0＜m＜3）．
（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．
∴△PCM为直角三角形．
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
24、 [尝试]（1）（1，﹣2）；（2）点A在抛物线L上；（3）n=1；[发现]（2，0）,（﹣1，1）；[应用]不是，理由见解析．
【分析】[尝试]
（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线L直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线L上，将该点坐标代入抛物线L的解析式中直接求解，即可得到n的值．
[发现]
将抛物线L展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
[应用]
将[发现]中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可．
【详解】解：[尝试]
（1）∵将t＝2代入抛物线L中，得：
y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．
（2）∵将x＝2代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y＝0，
∴点A（2，0）在抛物线L上．
（3）将x＝﹣1代入抛物线L的解析式中，得：
n＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝1．
[发现]
∵将抛物线L的解析式展开，得：
y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4
当x=2时，y=0，当x=-1时，y=1，与t无关，
∴抛物线L必过定点（2，0）、（﹣1，1）．
[应用]
将x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2，y＝0，即点A在抛物线上．
将x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2，计算得：y＝﹣1≠1，
即可得抛物线y＝﹣3x2+5x+2不经过点B，
∴二次函数y＝﹣3x2+5x+2不是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．
本题考查二次函数的新型定义问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解“再生二次函数”的定义是解题的关键.
25、（1）；（2）1﹣
【分析】（1）代入特殊锐角的三角函数值进行实数的运算便可；
（2）由已知求出α的度数，再代入计算便可．
【详解】解：原式
（2）∵
∴，
∴
∴，
原式
本题考查的是利用特殊角的三角函数值进行运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
26、
【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x−3，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值，再根据勾股定理可得的长．
【详解】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x−3，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，，
∵，AE⊥BC
设AE=3a，AB=5a，则BE=4a，
∴cosB=
∴
于是5x−1＝4x，
解得x＝1，即AB＝1．
所以易求BE＝12，AE＝9，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：AB•PE＝BE•AE，
求得PE的最小值为．
在Rt△BPE中，BP=
故答案为:．
本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．
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