资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在中，点分别在边上，且，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．一根水平放置的圆柱形输水管横截面积如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．8米
3．在下列命题中，正确的是
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．若抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）上有A（-，y1），B（- ，y2），C（ ，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 ＜y3 B．y3＜y2 ＜y1 C．y3＜y1 ＜y2 D．y2＜y3 ＜y1
5．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子．在点钉在一起．并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上．读得刻度个单位，个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．11个单位 D．13个单位
6．将二次函数化为的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
7．若关于的一元二次方程有两个实数根则的取值范围是( )
A． B．且 C．且 D．
8．如图，小江同学把三角尺含有角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
9．将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )
A．y=2(x+1)2+3 B．y=2(x－1)2－3
C．y=2(x+1)2－3 D．y=2(x－1)2+3
10．如图，线段与相交于点，连接，且，要使，应添加一个条件，不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点．若点, 则的坐标为__________．
12．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____．
13．若最简二次根式与是同类根式，则________.
14．分式方程=1的解为_____
15．菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为_____．
16．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______．
17．关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为______．
18．一元二次方程x2﹣2x=0的解是 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）
（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．
（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．
（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
20．（6分）对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为.例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和，，所以.
（1）计算：，；
（2）小明在计算时发现几个结果都为正整数，小明猜想所有的均为正整数，你觉得这个猜想正确吗？请判断并说明理由；
（3）若，都是“相异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，求的最大值.
21．（6分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）两辆车中恰有一辆车向左转；
（2）两辆车行驶方向相同．
22．（8分）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC上方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线AC相交于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，BE⊥CD于E，连接AC，BC．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若⊙O的半径为3，cosA＝，求CE的长．
24．（8分）如图1，在矩形中，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止.
（1）若两点的运动时间为，当为何值时，？
（2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论.
（3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________.
②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________（用含的代数式表示）.
25．（10分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，点恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任意平面上，水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为.请完成下列问题：
（1）将化为的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；
（2）写出左边那条抛物线的表达式；
（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？
26．（10分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．
（1）求该广场绿化区域的面积；
（2）求广场中间小路的宽．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.
【详解】∵
∴∠A=∠CEF，∠ADE=∠ABC，∠CFE=∠ABC，，
∴∠ADE=∠CFE，，C选项正确；
∴△ADE∽△EFC
∴，A选项正确；
又∵
∴，D选项正确；
∵
∴不成立
故答案为B.
此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.
2、B
【详解】解：∵OC⊥AB，AB=8米，
∴AD=BD=4米，
设输水管的半径是r，则OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，
∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=1．
故选B．
本题考查垂径定理的应用；勾股定理．
3、C
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析解答即可.
【详解】解：A、∵等腰梯形的对角线相等，但不是平行四边形，∴应对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故不正确；
B、∵有一个角是直角的四边形可能是矩形、直角梯形，∴有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故不正确；
C、∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故不正确．
故选：C．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法的理解，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法的判定方法是解答本题的关键.
4、C
【分析】根据抛物线y＝ax2＋2ax＋4（a＜0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋2ax＋4（a＜0），
∴对称轴为：x＝，
∴当x＜−1时，y随x的增大而增大，当x＞−1时，y随x的增大而减小，
∵A（−，y1），B（−，y2），C（，y3）在抛物线上，且−＜−，−0.5＜，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的增减性不一样．
5、B
【分析】根据圆中的有关性质“90°的圆周角所对的弦是直径”．判断EF即为直径，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是圆的直径，
．
故选：B．
本题考查圆周角的性质定理，勾股定理．掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”定理的应用是解决此题的关键．
6、D
【分析】化
，再根据完全平方公式分解因式即可.
【详解】∵
∴
故选D.
解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：，注意当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方.
7、C
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组， 解之即可得出结论 ．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：C．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义， 根据二次项系数非零结合根的判别式△，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键 ．
8、B
【分析】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，故可求解.
【详解】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，
∵孔洞的最长边为
∴S==
故选B.
此题主要考查等边三角形的面积求解，解题的关键是根据题意得到当穿过孔洞三角尺为等边三角形时面积最大.
9、A
【分析】抛物线平移不改变a的值．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+1．
故选：A．
10、D
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项判断即可.
【详解】A、在和中，
则，此项不符题意
B、在和中，
则，此项不符题意
C、在和中，
则，此项不符题意
D、在和中，，但两组相等的对应边的夹角和未必相等，则不能证明，此项符合题意
故选：D.
本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各定理是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，根据相似比即可求得位似图形对应点的坐标.
【详解】由题意，得
和是以坐标原点为位似中心的位似图形，相似比为2
则的坐标为，
故答案为：.
此题考查了位似图形与坐标的关系，熟练掌握，即可解题.
12、1
【解析】试题解析：x2+2x-1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=2，
（x+1）2=2，
则m=1；
故答案为1．
13、1
【分析】根据同类二次根式的定义可得a+2=5a-2，即可求出a值.
【详解】∵最简二次根式与是同类根式，
∴a+2=5a-2，
解得：a=1.
故答案为：1
本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式；熟记定义是解题关键.
14、x=0.1
【解析】分析：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．
详解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，
8x+2﹣1x﹣1=2x2﹣2，
解得x1=1，x2=0.1，
检验：当x=0.1时，x﹣1=0.1﹣1=﹣0.1≠0，
当x=1时，x﹣1=0，
所以x=0.1是方程的解，
故原分式方程的解是x=0.1．
故答案为：x=0.1
点睛：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
15、18
【分析】根据菱形对角线垂直且互相平分，且每条对角线平分它们的夹角，即可得出菱形的另一条对角线长，再利用菱形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图所示：∵菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，
∴设∠BAD＝60°，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，DO＝BO＝3，
∴AO＝＝3，
∴AC＝6，
则它的面积为：×6×6＝18．
故答案为：18．
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式以及对角线之间的关系是解题关键．
16、x＞
【详解】解：把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y=x2+bx+c中，得：，
解得：，
那么二次函数的解析式是：，
函数的对称轴是：，
因而当y随x的增大而增大时，
x的取值范围是：．
故答案为．
本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键．
17、－1
【详解】设一元二次方程x2+2x+a=0的一个根x1=1，另一根为x2，
则，x1+x2=-=-2，
解得，x2=-1．
故答案为-1．
18、
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】方程整理得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x1=1．
故答案为x1=0，x1=1.
三、解答题(共66分)
19、（1）当m＝0或m＝2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；（2）m为1时△PCD的面积最大，最大面积是2；（3）n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+1．
【分析】（1）根据抛物线过原点和题目中的函数解析式可以求得m的值，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标；
（2）根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m为何值时△PCD的面积最大，求得点C、D的坐标，由此求出△PCD的面积最大值；
（3）根据题意抛物线能把线段AB分成1：2，存在两种情况，求出两种情况下线段AB与抛物线的交点，即可得到当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
【详解】（1）当y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1过原点（0，0）时，0＝﹣1﹣m2+2m+1，得m1＝0，m2＝2，
当m1＝0时，y＝﹣（x﹣1）2+1，
当m2＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+1，
由上可得，当m＝0或m＝2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；
（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1，
∴该抛物线的顶点P为（1，﹣m2+2m+1），
当﹣m2+2m+1最大时，△PCD的面积最大，
∵﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2，
∴当m＝1时，﹣m2+2m+1最大为2，
∴y＝﹣（x﹣1）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+2，得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点C的坐标为（1﹣，0），点D的坐标为（1+，0）
∴CD＝（1+）﹣（1﹣）＝2，
∴S△PCD＝＝2，
即m为1时△PCD的面积最大，最大面积是2；
（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位A（2，3﹣n），B（5，3﹣n）
当线段AB分成1：2两部分，则点（3，3﹣n）或（4，3﹣n）在该抛物线解析式上，
把（3，3﹣n）代入抛物线解析式得，
3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，
得n＝m2﹣2m+6；
把（4，3﹣n）代入抛物线解析式，得
3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，
得n＝m2﹣2m+1；
∴n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+1．
此题是二次函数的综合题，考查抛物线的对称轴、顶点坐标，最大值的计算，（3）是题中的难点，由图象向下平移得到点的坐标，再将点的坐标代入解析式，即可确定m与n的关系.
20、（1）10；12.（2）猜想正确.理由见解析；（3）.
【分析】（1）根据“相异数”的定义即可求解；
（2）设的三个数位数字分别为，，，根据“相异数”的定义列出即可求解；
（3）根据，都是“相异数”，得到，，根据求出x，y的值即可求解.
【详解】（1）；
.
（2）猜想正确.设的三个数位数字分别为，，，即，
.
因为，，均为正整数，所以任意为正整数.
（3）∵，都是“相异数”，
∴；
.
∵，∴，
∴，
∵，，且，都是正整数，
∴或或或，
∵是“相异数”，∴；
∵是“相异数”，∴，
∴满足条件的有，或，或，
∴ 或或，
∴的最大值为.
本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
21、（1）；（2）
【分析】此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
左
直
右
左
左左
左直
左右
直
左直
直直
直右
右
左右
直右
右右
共有9种等可能结果，其中，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况；两辆车行驶方向相同有3种情况
（1）P（两辆车中恰有一辆车向左转）=；
（2）P（两辆车行驶方向相同）=．
列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．
22、（1）直线的解析式为；（2）当的长度最大时，点的坐标为．
【分析】（1）根据题意，先求出点A和点C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出答案；
（2）根据题意，利用m表示DE的长度，然后根据二次函数的性质，即可求出点D的坐标.
【详解】解（1）当时，．
，．
点的坐标是．
当时，．
点的坐标是．
设直线的解析式为,
，解得：．
直线的解析式为：．
（2）如图：
设点的横坐标为．
则点的坐标为，点的坐标为．
所以．
∵，
∴当时，线段长度最大．
将代入，
得．
∴当的长度最大时，点的坐标为．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，解答时，注意待定系数法的灵活运用．
23、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥DE，则可判断OC∥BE，根据平行线的性质得∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE；
（2）由已知数据可求出AC，BC的长，易证△BEC∽△BCA，由相似三角形的性质即可求出CE的长．
【详解】（1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
而BE⊥DE，
∴OC∥BE，
∴∠OCB＝∠CBE，
而OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠OBC＝∠CBE，
即BC平分∠ABE；
（2）∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵cosA＝，
∴＝，
∴AC＝2，
∴BC＝＝2，
∵∠ABC＝∠ECB，∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴△BEC∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴CE＝．
本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
24、（1）；（2），证明见解析；（3）①；②
【分析】（1）根据相似三角形的性质，可得，进而列出方程，求出t的值.
（2）根据相似三角形的性质，可得，进而根据等量关系以及矩形的性质，得出，进而得出结论.
（3）①根据全等三角形的判定，可得出△AMB≌△DNA，再根据全等三角形的性质，即可得出AM=DN，得出方程，求解即可得出答案.
【详解】解：（1）∵，∴，
∴，
解得.
（2）.
证明：∵，∴.
∵，
∴，
∴，即.
（3）①∵
∴∠ABE＋∠BAE=90°
∵
∴
∵AD=AB，∠BAD=∠ADC=90°
∴△AMB≌△DNA
∴AM=DN
∴t=2-2t
∴t=
②∵由①知，∠BAD=∠ADC=90°
∴
∵
∴=n
∴
∴t=
本题主要考察了相似三角形和全等三角形，熟练掌握相似三角形的性质和正确找出线段之间的关系是解题的关键.
25、（1）喷出的水流距水平面的最大高度是4米.（2）.（3）水池的直径至少要6米.
【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，即可求出喷出的水流距水平面的最大高度；
（2）根据两抛物线的关于y轴对称，即可求出左边抛物线的二次项系数和顶点坐标，从而求出左边抛物线的解析式；
（3）先求出右边抛物线与x轴的交点的横坐标，利用对称性即可求出水池的直径的最小值.
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的顶点式为.
∴喷出的水流距水平面的最大高度是4米.
（2）∵两抛物线的关于y轴对称
∴左边抛物线的a=-1，顶点坐标为（-1,4）
左边抛物线的表达式为.
（3）将代入，则
得，
解得，（求抛物线与x轴的右交点，故不合题意，舍去）.
∵（米）
∴水池的直径至少要6米.
此题考查的是二次函数的应用，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式、利用顶点式求二次函数的解析式和求抛物线与x轴的交点坐标是解决此题的关键.
26、（1）该广场绿化区域的面积为144平方米；（2）广场中间小路的宽为1米．
【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；
（2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．
答：该广场绿化区域的面积为144平方米．
（2）设广场中间小路的宽为x米，
依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，
整理，得：x2﹣19x+18＝0，
解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．
答：广场中间小路的宽为1米．
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
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