资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d ( )
A． B． C． D．
2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，CD与BE交于点O，则S△DOE:S△BOC的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，轴右侧一组平行于轴的直线···，两条相邻平行线之间的距离均为，以点为圆心，分别以···为半径画弧，分别交轴， ···于点···则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题是真命题的是( )
A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等
D．三角形外心是三条角平分线的交点
5．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝AD•AF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知相似．（ ）
A． B． C． D．
7．若函数y＝（3﹣m）﹣x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
8．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
9．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是
A． B． C． D．
11．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离是( )
A． B． C． D．
12．已知关于x的函数y＝x2＋2mx＋1，若x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥－1 D．m≤－1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是______．
14．已知菱形中，，，边上有点点两动点，始终保持，连接取中点并连接则的最小值是_______．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为_____．
16．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）__________．
17．某商场购进一批单价为16元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）与每件的销售价格x（元/件）之间满足一次函数.在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为______元时，才能使每月的毛利润w最大，每月的最大毛利润是为_______元．
18．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
20．（8分）如图已知直线与抛物线y=ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；
（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．
21．（8分）随着传统的石油、煤等自然资源逐渐消耗殆尽，风力、核能、水电等一批新能源被广泛使用．现在山顶的一块平地上建有一座风车，山的斜坡的坡度，长是100米，在山坡的坡底处测得风车顶端的仰角为，在山坡的坡顶处测得风车顶端的仰角为，请你计算风车的高度．(结果保留根号)
22．（10分）如图，是的角平分线，延长至点使得．求证：．
23．（10分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2 ＝____；
同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3 ＝__________；
如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4 ＝___________；
……若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n ＝_________．
于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =_________．
（理论推导）
（2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①
将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②
由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．
即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1
根据上述材料，试求出+()2+()3+…+()n 的表达式，写出推导过程．
（规律应用）
（3）比较＋＋＋…… __________1（填“”、“”或“=”）
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA＋PB的最小值为_____．
25．（12分）三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹）
26．如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，半圆与交于点．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】∵点P在圆内，且⊙O的半径为4，
∴0≤d＜4，
故选D．
本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
2、C
【分析】DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE＝BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴，
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
3、C
【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，，，的纵坐标，得到各点坐标，找到规律即可解答．
【详解】如图，连接、、，
点的纵坐标为，点的坐标为 ，
点的纵坐标为，点的坐标为 ，
点的纵坐标为，点的坐标为 ，
点的纵坐标为，
点的坐标为 ，
∴点的坐标为 ，
故选：C
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用勾股定理是解题的关键．
4、A
【分析】根据圆的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形外心的定义，对照选项逐一分析即可．
【详解】解：A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，是真命题；
B．平分弦(弦不是直径)的直径垂直于弦，故原命题是假命题；
C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，弦对着两个圆周角，故是假命题；
D．三角形外心是三条边垂直平分线的交点，故是假命题；
故选：A．
本题考查了圆的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形外心的定义，掌握圆的性质和相关定理内容是解题的关键．
5、C
【分析】根据题意可得tan∠DAE的值，进而可判断①；设正方形的边长为4a，根据题意用a表示出FC，BF，CE，DE，然后根据相似三角形的判定方法即可对②进行判断；在②的基础上利用相似三角形的性质即得∠DAE＝∠FEC，进一步利用正方形的性质即可得到∠DEA+∠FEC＝90°，进而可判断③；利用相似三角形的性质即可判断④.
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，E为CD中点，∴CE＝ED＝DC＝AD，
∴tan∠DAE＝，∴∠DAE≠30°，故①错误；
设正方形的边长为4a，则FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，
∴，∴，又∠D＝∠C=90°，
∴△ADE∽△ECF，故②正确；
∵△ADE∽△ECF，∴∠DAE＝∠FEC，
∵∠DAE+∠DEA＝90°∴∠DEA+∠FEC＝90°，
∴AE⊥EF．故③正确；
∵△ADE∽△ECF，∴，∴AE2＝AD•AF，故④正确.
综上，正确的个数有3个，故选：C.
本题考查了正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键.
6、A
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：已知给出的三角形的各边分别为1、、，
只有选项A的各边为、2、与它的各边对应成比例．
故选：A．
本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
7、B
【分析】根据二次函数的定义来求解，注意二次项的系数与次数.
【详解】根据二次函数的定义，可知 m2-7=2 ，且 3-m≠0 ，解得 m=-3 ，所以选择B.
故答案为B
本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为0.
8、B
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
9、D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
10、C
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象分别在哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，
则一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象在二四象限，
故选C．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形结合的思想解答问题．
11、B
【解析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：，过圆心点，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出是解决问题的关键．
12、C
【解析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵函数的对称轴为x=，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴-m≤1，即m≥-1
故选：C．
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】试题分析：P(抽到不合规产品)=．
14、1
【分析】过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．由菱形性质和可证明，进而可得，由BM最小值为BH即可求解．
【详解】解：过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．
∵在菱形中，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴当BM最小时FG最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，
∵在菱形中， ，
∴
又∵在Rt△CHD中，，
∴，
∴，
∴AM的最小值为6，
∴的最小值是1．
故答案为：1．
本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键．
15、1
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC＝×2＝1，再相加即可．
【详解】解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，AC⊥x轴于点C，
∴S△OAC＝×2＝1，
故答案为1．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积的计算方法是解本题的关键．
16、
【分析】根据正五边形的概念可证得，利用对应边成比例列方程即可求得答案.
【详解】如图，
由边框总长为40cm的五角星，知：，
ABCDE为圆内接正五边形，
∴，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
，
即：，
化简得：，
配方得：，
解得：2(负值已舍) ，
故答案为：2
本题考查了圆内接正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，判定是正确解答本题的关键.
17、24 1
【分析】本题首先通过待定系数法求解y与x的关系式，继而根据利润公式求解二次函数表达式，最后根据二次函数性质求解本题．
【详解】由题意假设，将，代入一次函数可得：，
求解上述方程组得：，则，
∵，
∴，
∴，
又因为商品进价为16元，故．
销售利润，
整理上式可得：销售利润，
由二次函数性质可得：当时，取最大值为1．
故当销售单价为24时，每月最大毛利润为1元．
本题考查二次函数的利润问题，解题关键在于理清题意，按照题目要求，求解二次函数表达式，最后根据二次函数性质求解此类型题目．
18、
【解析】解：如图，连接OA、OB，OG．
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴OG=OA•sin60°=2× =，
∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．
故答案为．
本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（5）（60≤x≤76）；（6）当销售单价定为76元时，每月可获得最大利润，最大利润是6560元；（7）5．
【分析】（5）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（6）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
（7）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
【详解】解：（5）由题意，得：w=（x﹣60）•y
=（x﹣60）•（﹣50x+500）
=，
即（60≤x≤76）；
（6）对于函数的图象的对称轴是直线x==6．
又∵a=﹣50＜0，抛物线开口向下．
∴当60≤x≤76时，W随着X的增大而增大，
∴当x=76时，W=6560
答：当销售单价定为76元时，每月可获得最大利润，最大利润是6560元．
（7）取W=4得，
解这个方程得：=70，=7．
∵a=﹣50＜0，抛物线开口向下，
∴当70≤x≤7时，w≥4．
∵60≤x≤76，
∴当70≤x≤76时，w≥4．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P=60（﹣50x+500）=﹣600x+50000
∵k=﹣600＜0，
∴P随x的增大而减小，
∴当x=76时，P的值最小，P最小值=5．
答：想要每月获得的利润不低于4元，小明每月的成本最少为5元．
考点：5．二次函数的应用；6．最值问题；7．二次函数的最值．
20、（1）；（2），P（，）；（3）N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．
【分析】（1）将点代入，求出，将点代入，即可求函数解析式； （2）如图，过作轴，交于，求出的解析式，设，表示点坐标，表示长度，利用，建立二次函数模型，利用二次函数的性质求最值即可， （3）可证明△MAD是等腰直角三角形，由△QMN与△MAD相似，则△QMN是等腰直角三角形，设 ①当MQ⊥QN时，N（3，0）； ②当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，由（AAS），建立方程求解； ③当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点作R∥x轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；可证△MQR≌△QNS（AAS），建立方程求解； ④当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；可证△MNR≌△NQS（AAS），建立方程求解．
【详解】解：（1）将点代入，∴，
将点代入，
解得：，
∴函数解析式为；
（2）如图，过作轴，交于，设为，
因为：所以：
，解得：，
所以直线AB为：，设，则，
所以：，
所以：
，
当，，
此时：．
（3）∵，
∴，
∴△MAD是等腰直角三角形．
∵△QMN与△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，
设
①如图1，当MQ⊥QN时，此时与重合，N（3，0）；
②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴于，过点M作MS⊥RN交于点S．
∵QN=MN，∠QNM=90°，∴（AAS），
∴，
∴ ，，∴，∴；
③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点作 R∥x轴，与过点的垂线分别交于点S、R；
∵QN=MQ，∠MQN=90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），,
,∴，∴t=5，（舍去负根）∴N（5，6）；
④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，
过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；
∵QN=MN，∠MNQ=90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ=RN，
∴，∴．
，∴，∴；
综上所述：或或N（5，6）或．
本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
21、
【分析】由斜坡BD的坡度可求∠DBC=30°，从而得到∠DBA=∠DAB=15°，所以AD=BD，然后在Rt△ADE中，利用∠ADE的正弦求解即可．
【详解】∵斜坡BD的坡度，∴∠DBC=30°，
又∵∠ABC=45°，∠ADE=60°，
∴∠DBA=∠DAB=15°，
∴AD=BD=100米．
在Rt△ADE中，
sin∠ADE=，
∴AE=ADsin∠ADE=100sin60°= 50（米）．
本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
22、证明见解析．
【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】是的角平分线
又
．
本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
23、（1）；；；()n；1 - ()n ；（2）+()2+()3+…+()n = 1-()n，推导过程见解析；（3）=
【分析】（1）根据有理数的混合运算计算前几项结果，并观察得出规律即可得解
（2）根据材料中的计算求和的方法即可求解；
（3）根据（2）的化简结果，结合极限思想即可比较大小．
【详解】解：（1）S阴影2＝1－－()2=1-==，
S阴影3＝1－－()2－()3=1-==，
S阴影4＝1－－()2－()3－()4==，
⋯
S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n=()n，
于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =1 - ()n
故答案为：；；；()n；1 - ()n
（2）解：设S = +()2+()3+…+()n， ①
将①×得：S = ()2+()3 +)4 …+()n + ()n+1 ，②
①－②得：S = - ()n+1 ，③
将③×2得：S = 1-()n
即得+()2+()3+…+()n = 1-()n
（3）=，理由如下：
∵＋＋＋……=1-()n ，当n越来越大时，()n越来越小，越来越接近零，由极限的思想可知：当n趋于无穷时，()n就等于0，故1-()n就等于1，
故答案为：=
本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律．
24、
【分析】连接PC,则PC=DE=2, 在CB上截取CM=0.25,得出△CPM∽△CBP，即可得出结果.
【详解】解:连接PC,则PC=DE=2,
∴P在以C为圆心，2为半径的圆弧上运动,
在CB上截取CM=0.25,连接MP,
∴,
∴,
∵∠MCP=∠PCB,
∴△CPM∽△CBP,
∴PM=PB,
∴PA+PB=PA+PM,
∴当P、M、A共线时，PA+PB最小，即.
本题考查了最短路径问题，相似三角形的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键.
25、见解析
【解析】分别作过乙，丙的头的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，连接点光源和甲的头的顶端并延长交平面于一点，这点到甲的脚端的距离是就是甲的影长．
解：
．
26、（1）AP=；（2）．
【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）由题意根据，直接进行分析计算即可．
【详解】解：（1）连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）阴影部分的面积为．
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质进行分析作答.
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