资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列成语所描述的是随机事件的是（ ）
A．竹篮打水 B．瓜熟蒂落 C．海枯石烂 D．不期而遇
2．如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
4．若，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
6．将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的方程x2+ax﹣6＝0的一个根是2，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心
9．计算的结果等于（ ）
A．-6 B．6 C．-9 D．9
10．如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
11．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的四个结论，其中正确的个数为（ ）
①2a+b＝0②4a﹣2b+c＜0③ac＞0④当y＞0时，﹣1＜x＜4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在平面直角坐标系中，点为原点，抛物线与轴交于点，以为一边向左作正方形，点为抛物线的顶点，当是锐角三角形时，的取值范围是__________．
14．如图，平行四边形中，，如果，则___________．
15．如图，中，点、分别是边、的中点，、分别交对角线于点、，则______.
16．一圆锥的侧面积为 ，底面半径为3，则该圆锥的母线长为________．
17．如图，已知菱形的面积为，的长为，则的长为__________．
18．如图，为正五边形的一条对角线，则∠=_____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）解方程：
（1）（x-2）（x-3）=12
（2）3y2+1=2y
20．（8分）已知关于x的方程x2+ax+16=0，
（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值
（2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根
21．（8分）某商店如果将进货价为8元的商品按每件11元售出，每天可销售211件．现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价1．5元，其销量减少11件．
（1）若涨价x元，则每天的销量为____________件（用含x的代数式表示）；
（2）要使每天获得711元的利润，请你帮忙确定售价．
22．（10分）某食品代理商向超市供货，原定供货价为元/件，超市售价为元/件.为打开市场超市决定在第一季度对产品打八折促销，第二季度再回升个百分点，为保证超市利润，代理商承诺在供货价基础上向超市返点试问平均每季度返多少个百分点，半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平?
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径;
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（10分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B,
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．
25．（12分）某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．
（1）求出每天利润w的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．
（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．
26．已知抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设，当k为何值时，.
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、竹篮打水，是不可能事件；
B、瓜熟蒂落，是必然事件；
C、海枯石烂，是不可能事件；
D、不期而遇，是随机事件；
故选：D．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2、D
【分析】这个几何体的侧面是以底面圆周长为长、圆柱体的高为宽的矩形，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】根据三视图可得几何体为圆柱，圆柱体的侧面积=底面圆的周长圆柱体的高=
故答案为：D．
本题考查了圆柱体的侧面积问题，掌握矩形的面积公式是解题的关键．
3、D
【解析】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．
详解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=1cm，AE=2cm．
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，
∴OB=3+2=5，
∴EC=5+3=1．
在Rt△EBC中，BC=．
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，
∴△OFC∽△BEC，
∴，即，
解得：OF=．
故选D．
点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
4、A
【分析】根据，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
【详解】∵，
∴设a＝2k，则b＝3k，
则原式＝=．
故选：A．
本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键．
5、C
【解析】试题分析：利用根的判别式进行判断.
解：∵
∴此方程无实数根.
故选C.
6、B
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
7、C
【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．利用方程解的定义将x＝2代入方程式即可求解．
【详解】解：将x＝2代入x2+ax﹣6＝2，得22+2a﹣6＝2．
解得a＝2．
故选C．
本题考查的是一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
8、C
【分析】圆有无数条对称轴，但圆的对称轴是直线，故C圆的每一条直线都是它的对称轴的说法是错误的
【详解】本题不正确的选C，理由：圆有无数条对称轴，其对称轴都是直线，故任何一条直径都是它的对称轴的说法是错误的，正确的说法应该是圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴
故选C
此题主要考察对称轴图形和中心对称图形，难度不大
9、D
【分析】根据有理数乘方运算的法则计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
本题考查了有理数的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
10、C
【解析】由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，据此可进行解答.
【详解】解：由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，由AC⊥A’B’可得∠BAC=∠A’=90°-20°=70°，
故选择C.
本题考查了旋转的性质.
11、A
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项进行判断即可．
【详解】A、是无理数，故本选项正确；
B、=2，是有理数，故本选项错误；
C、0，是有理数，故本选项错误；
D、1，是有理数，故本选项错误；
故选：A．
本题考查了无理数的定义，属于基础题，掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．
12、B
【分析】①函数对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a，即可求解；②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，即可求解；③a＜0，c＞0，故ac＜0，即可求解；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，即可求解．
【详解】点B坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，则点A（3，0），
①函数对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a，故①正确，符合题意；
②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确，符合题意；
③a＜0，c＞0，故ac＜0，故③错误，不符合题意；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④错误，不符合题意；
故选：B．
本题考查二次函数图像问题，熟悉二次函数图形利用数形结合解题是本题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、或
【分析】首先由抛物线解析式求出顶点A的坐标，然后再由对称轴可判定△AHP为等腰直角三角形，故当是锐角三角形时，，即可得出的取值范围.
【详解】∵
∴顶点A的坐标为
令PB与对称轴相交于点H，如图所示
∴PH=AH，即△AHP为等腰直角三角形
∴当是锐角三角形时，，
∴BP=OP，P（0，c）
∴或
故答案为或.
此题主要考查二次函数图象与几何图形的综合运用，解题关键是找出临界点直角三角形，即可得出取值范围.
14、
【分析】由平行四边形的性质可知△AEF∽△CDF，再利用条件可求得相似比，利用面积比等于相似比的平方可求得△CDF的面积．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAF＝∠DCF，且∠AFE＝∠CFD，
∴△AEF∽△CDF，
∵AE：EB＝1：2
∴，
∴，
∵，
∴S△CDF＝．
故答案为：．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15、
【分析】由四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，AD=BC，△DEH∽△BCH，进而得，连接AC，交BD于点M，如图，根据三角形的中位线定理可得EF∥AC，可推得，△EGH∽△CMH，于是得DG=MG，，设HG=a，依次用a的代数式表示出MH、DG、BH，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEH∽△BCH，∵E是AD中点，AD=BC，∴，
连接AC，交BD于点M，如图，∵点、分别是边、的中点，∴EF∥AC，
∴，△EGH∽△CMH，∴DG=MG，，
设HG=a，则MH=2a，MG=3a，∴DG=3a，∴DM=6a，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BM=DM=6a，BH=8a，
∴.
故答案为：.
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，连接AC，充分利用平行四边形的性质、构建三角形的中位线和相似三角形的模型是解题的关键.
16、2
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷1．
【详解】解：底面半径为3，则底面周长=6π，
设圆锥的母线长为x，
圆锥的侧面积=×6πx=12π．
解得：x=2，
故答案为2．
17、3
【分析】根据菱形面积公式求得.
【详解】解：
本题主要考查了菱形的对角线互相垂直，菱形的面积公式.
18、36°
【解析】360°÷5=72°，180°-72°=108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°，
即可知∠A=108°，又知△ABE是等腰三角形，则∠ABE=（180°-108°）=36°．
三、解答题（共78分）
19、（1），；（2）
【分析】（1）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）方程变形为：即，
因式分解得：，
则或，
解得：，；
（2）方程变形为：，
因式分解得：，
则，
解得：．
本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握因式分解法解方程的步骤．
20、（1）a=1或﹣1；（2）a=﹣10，方程的另一个根为1．
【分析】（1）由题意可得方程的判别式△=0，由此可得关于a的方程，解方程即得结果；
（2）把x=2代入原方程即可求出a，然后再解方程即可求出方程的另一个根．
【详解】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根，
∴a2－4×1×16=0，
解得a=1或﹣1；
（2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2，
∴22+2a+16=0，解得a=﹣10；
此时方程为x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=1；
∴a=﹣10，方程的另一个根为1．
本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的解法以及根的判别式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
21、（1）211－21x；（2）12元．
【解析】试题分析：（1）如果设每件商品提高x元，即可用x表示出每天的销售量；
（2）根据总利润=单价利润×销售量列出关于x的方程，进而求出未知数的值．
试题解析：解：（1）211－21x；
（2）根据题意，得 （11－8＋x）（211－21x）=711，
整理得 x2－8x＋12=1，
解得 x1=2，x2=3，
因为要采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，
所以取x=2．
所以售价为11+2=12（元），
答：售价为12元．
点睛：此题考查了一元二次方程在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程．
22、代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平.
【分析】设代理商平均每个季度向超市返个百分点，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案.
【详解】解：设代理商平均每个季度向超市返个百分点，
由题意得：，
解得：(舍去).
∴代理商平均每个季度向超市返个百分点，半年后超市的利润回到开始供货时的水平.
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目的等量关系，列出方程.
23、 (1) 2 ;(2)π-2.
【分析】（1）因为AB⊥DE，求得CE的长，因为DE平分AO，求得CO的长，根据勾股定理求得⊙O的半径
（2）连结OF，根据S阴影=S扇形– S△EOF求得
【详解】解：（1）∵直径AB⊥DE
∴
∵DE平分AO
∴
又∵
∴
在Rt△COE中，
∴⊙O的半径为2
（2）连结OF
在Rt△DCP中，
∵
∴
∴
∵
∴S阴影=
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
24、（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）4.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可
【详解】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=30°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=30°，
又∵∠EDF=∠B，
∴∠BFD=∠CDE．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴△BDF∽△CED．
∴．
∵BD=CD，
∴，即．
又∵∠C=∠EDF，
∴△CED∽△DEF．
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=1．
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣3，
∴AD=2．
∴S△ABC=•BC•AD=×3×2=42，
S△DEF=S△ABC=×42=3．
又∵•AD•BD=•AB•DH，
∴．
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD．
∵DH⊥BF，DG⊥EF，
∴∠DHF=∠DGF．
又∵DF=DF，
∴△DHF≌△DGF（AAS）．
∴DH=DG=．
∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=3，
∴EF=4．
本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．
25、（1）21600元，8或9间；（2）15间，1元
【分析】（1）设每个房间价格提高50x元，可列利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x，将此函数配方为顶点式，即可得到答案；
（2）将（1）中关系式﹣50x2+850x+18000＝19500，求出x的值，由租出去的客房数量最少即（30﹣x）最小，得到x取最大值15，再代入利润关系式求得每间客房的利润即可.
【详解】解：（1）设每个房间价格提高50x元，则租出去的房间数量为（30﹣x）间，
由题意得，利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x
＝﹣50x2+850x+18000
＝﹣50（x﹣8.5）2+21612.5
因为x为正整数
所以当x＝8或9时，利润w有最大值，wmax＝21600；
（2）当w＝19500时，﹣50x2+850x+18000＝19500
解得x1＝2，x2＝15，
∵要租出去的房间最少
∴x＝15，
此时每个房间的利润为600+50×15＝1．
此题考查二次函数的实际应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键，注意（1）x应为正整数，故而x应为对称轴x=8.5两侧的整数8或9.
26、（1），D的坐标为；（2）①；②以A，F，O为顶点的三角形与相似，F点的坐标为或．
【分析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点；
(2)①由A、C、D三点的坐标求出，，，可得为直角三角形，若，则点F为AD的中点，可求出k的值；
②由条件可判断，则，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，可分两种情况考虑：当或时，可分别求出点F的坐标．
【详解】(1)抛物线过点，，
，解得：，
抛物线解析式为；
，
顶点D的坐标为；
(2)①在中，，，
，
，，，
，
，
，
为直角三角形，且，
，
F为AD的中点，
，
；
②在中，，
在中，，
，
，
，
，
若以A，F，O为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：
当时，，
，
设直线BC的解析式为，
，解得：，
直线BC的解析式为，
直线OF的解析式为，
设直线AD的解析式为，
，解得：，
直线AD的解析式为，
，解得：，
．
当时，，
，
，
直线OF的解析式为，
，解得：，
，
综合以上可得F点的坐标为或．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
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