资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．在中，，若已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为，则得方程（ ）
A． B．
C． D．
5．如图为O、A、B、C四点在数线上的位置图，其中O为原点，且AC=1，OA=OB，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数与下列何者相等？（ ）
A．﹣（x+1） B．﹣（x﹣1） C．x+1 D．x﹣1
6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a-b+c的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
7．如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．CB2＝CP•CA
8．若x1是方程（a≠0）的一个根，设，，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定
9．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和3个绿球，从袋子中随机摸出一个小球，记下颜色后，不放回再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率为( )
A． B． C． D．
10．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( )
A．2x2－6x＋1＝0 B．3x2－x－5＝0 C．x2＋x＝0 D．x2－4x＋4＝0
11．对于题目“如图，在中，是边上一动点，于点，点在点的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，求阴影部分面积的大小变化的情况"甲的结果是先增大后减小，乙的结果是先减小后增大，其中（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果都不正确，应是一直增大 D．甲、乙的结果都不正确，应是一直减小
12．若x=5是方程的一个根，则m的值是（ ）
A．-5 B．5 C．10 D．-10
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是____.
14．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
15．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为(1，0)，则四边形ODEF的面积为_____．
16．在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示）
17．如图，用长的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是___________．(中间横框所占的面积忽略不计)
18．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO；
（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．
20．（8分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．
（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．
21．（8分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．
（1）用画树状图法或列表法分析这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求一辆车向右转，一辆车向左转的概率；
（3）求至少有一辆车直行的概率．
22．（10分）一位同学想利用树影测量树高，他在某一时间测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不完全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，测算一下这棵树的高时多少？
23．（10分）解方程
（1）（x+1）2﹣25＝0
（2）x2﹣4x﹣2＝0
24．（10分）已知＝，求的值．
25．（12分）如图，在中，， 点是边上一点，连接，以为边作等边.
如图1，若求等边的边长;
如图2，点在边上移动过程中，连接，取的中点，连接，过点作于点.
①求证:；
②如图3，将沿翻折得，连接，直接写出的最小值.
26．如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，联结，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果，，
①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为 ，线段的数量关系为 ；
②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】计算最大数19与最小数8的差即可.
【详解】19-8=11，
故选：D.
此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.
2、B
【分析】根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解．
【详解】解：在中，，
∵，
设BC=3x，则AC=4x，
根据勾股定理可得：，
∴.
故选：B.
本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
3、D
【解析】如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴=，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选D．
4、C
【分析】设调价百分率为x，根据售价从原来每件200元经两次调价后调至每件72元，可列方程．
【详解】解：设调价百分率为x，
则：
故选：C．
本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．
5、B
【解析】分析：首先根据AC=1，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据OA=OB，求出B点所表示的数是多少即可．
详解：∵AC=1，C点所表示的数为x，
∴A点表示的数是x﹣1，
又∵OA=OB，
∴B点和A点表示的数互为相反数，
∴B点所表示的数是﹣（x﹣1）．
故选B．
点睛：此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．
6、A
【解析】试题分析：因为对称轴x=1且经过点P（3，1）
所以抛物线与x轴的另一个交点是（-1，1）
代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a-b+c=1．
故选A．
考点：二次函数的图象．
7、D
【分析】观察图形可得, 与已经有一组角∠重合,根据三角形相似的判定定理,可以再找另一组对应角相等,或者∠的两条边对应成比例. 注意答案中的、两项需要按照比例的基本性质转化为比例式再确定.
【详解】解: 项, ∠=∠,可以判定;
项, ∠=∠,可以判定;
项, ,,可以判定;
项, ,,不能判定.
本题主要考查了相似三角形的判定定理,结合图形,按照定理找到条件是解答关键.
8、A
【分析】把x1代入方程ax2-2x-c=0得ax12-2x1=c，作差法比较可得．
【详解】解：∵x1是方程ax2-2x-c=0（a≠0）的一个根，
∴ax12-2x1-c=0，即ax12-2x1=c，
则p- q=（ax1-1）2-（ac+1.5）
=a2x12-2ax1+1-1.5-ac
=a（ax12-2x1）-ac-0.5
=ac-ac-0.5
=-0.5，
∵-0.5＜0，
∴p- q＜0，
∴p＜q．
故选：A．
本题主要考查一元二次方程的解及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解，利用比差法比较大小是解题的关键．
9、A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的结果数为6，
所以两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率==．
故选A．
此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.
10、D
【解析】试题分析：选项A，△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×1=28＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项B△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）=61＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项C，△=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项D，△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×4=0，即可得该方程有两个相等的实数根．故选D．
考点：根的判别式．
11、B
【分析】设PD=x，AB边上的高为h，求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】解：在中，∵，
∴，
设，边上的高为，则.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值随的增大而减小，
当时，的值随的增大而增大，
∴乙的结果正确.
故选B.
本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．
12、D
【分析】先把x=5代入方程得到关于m的方程，然后解此方程即可．
【详解】解：把x=5代入方程得到25-3×5+m=0，
解得m=-1．
故选：D．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．
【详解】解：小虫落到阴影部分的概率＝，
故答案为：．
本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
14、-1
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．
【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案为-1.
本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
15、1
【分析】利用位似图形的性质得出D点坐标，进而求出正方形的面积．
【详解】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），
∴OA:OD=1:，
∵OA=1，
∴OD=，
∴正方形ODEF的面积为：OD1=×＝1．
故答案为：1．
此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出OD的长是解题关键．
16、
【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决．
【详解】解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，
∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上，
假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上，
∴m=，得x3=，
∴=x1+x2+x3=0+x3=；
故答案为：.
本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答．
17、
【分析】设窗的高度为xm，宽为m，根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【详解】解：设窗的高度为xm，宽为．
所以，即，
当x=2m时，S最大值为．
故答案为：．
本题考查二次函数的应用．能熟练将二次函数化为顶点式，并据此求出函数的最值是解决此题的关键．
18、16 cm
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm．
故答案为：16.
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比．
三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）⊙O的半径是．
【分析】（1）连接OA，求出OA∥BC，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠OBA＝∠OAB，∠OBA＝∠ABC，即可得出答案；
（2）根据矩形的性质求出OD＝AC＝1，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理求出BD，再根据勾股定理求出OB即可．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AC切⊙O于A，
∴OA⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OA∥BC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABO；
（2）解：过O作OD⊥BC于D，
∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，
∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，
∴OD＝AC＝1，
在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，
∵OD⊥BC，OD过O，
∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝，
即⊙O的半径是．
此题主要考查切线的性质及判定，解题的关键熟知等腰三角形的性质、垂径定理及切线的性质.
20、（1）详见解析；（2）tan∠ADP＝．
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE．
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴tan∠ADP＝＝．
本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
21、（1）见解析；（2）（一辆车向右转，一辆车向左转）．（3）（至少有一辆汽车直行）．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案；
（3）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案.
【详解】解：（1）如图：
可以看出所有可能出现的结果共9种，
即：直左，直直，直右，左左，左直，左右，右直，右左，右右．它们出现的可能性相等．
（2）一辆车向右转，一辆车向左转的结果有2种，即：左右，右左．
∴P（一辆车向右转，一辆车向左转）．
（3）至少有一辆汽车直行的结果有5种，即：左直，直左，直直，直右，右直．
∴P（至少有一辆汽车直行）．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22、树高为7.45米
【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
【详解】设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.8m，墙上的影高CD为1.2m，
∴，
解得x=0.96，
∴树的影长为：0.96+5=5.96（m），
∴，
解得h=7.45（m）．
∴树高为7.45米．
本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．
23、（1）x1＝4，x2＝﹣6；（2）x1＝2+，x2＝2﹣
【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；
（2）先求出一元二次方程的判别式，再解出方程．
【详解】解：（1）（x+1）2﹣25＝0，
（x+1）2＝25，
x+1＝±5，
x＝±5﹣1，
x1＝4，x2＝﹣6；
（2）x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
∴x＝＝2±，
即x1＝2+，x2＝2﹣．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题关键．
24、-7
【分析】根据等式的性质可得＝b，再根据分式的性质可得答案．
【详解】解：由＝，得＝b．
∴
本题考查了比例的性质和分式性质，利用等式性质求得＝b是解题关键．
25、（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为
【分析】(1)过C做CF⊥AB，垂足为F，由题意可得∠B=30°，用正切函数可求CF的长，再用正弦函数即可求解；
(2) 如图（2）1：延长BC到G使CG=BC，易得△CGE≌△CAD，可得CF∥GE，得∠CFA=90°，CF=GE再证DG=AD，得CF=DG，可得四边形DGFC是矩形即可；
（3）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG,先证△EDF≌△F D'B得BD'=DE，当DE最大时最小，然后求解即可；
【详解】解：（1）如图：过C做CF⊥AB，垂足为F，
∵，
∴∠A=∠B=30°，BF=3
∵tan∠B=
∴CF=
又∵sin∠CDB= sin45°=
∴DC=
∴等边的边长为；
①如图（2）1：延长BC到G使CG=BC
∵∠ACB=120°
∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°
又∵∠ACB=60°
∴∠GCE=∠ ACD
又∵CE=CD
∴△CGE≌△CAD（SAS）
∴∠G=∠ A=30°，GE=AD
又∵EF=FB
∴GE∥FC, GE=FC,
∴∠BCF=∠G=30°
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°
∴CF∥DG
∵∠ A=30°
∴GD=AD,
∴CF=DG
∴四边形DGFC是平行四边形，
又∵∠ACF=90°
∴四边形DGFC是矩形，
∴
②）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG
由题意得：EF=BF, ∠EFD=∠D'FB
∴△EDF≌△F D'B
∴BD'=DE
∴BD'=CD
∴当BD'取最小值时，有最小值
当CD⊥AB时，BD'min=AC,
设CDmin=a，则AC=BC=2a，AB=2a
的最小值为；
本题属于几何综合题，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性质等知识点；但本题知识点比较隐蔽，正确做出辅助线，发现所考查的知识点是解答本题的关键.
26、（1）①垂直，相等；②见解析;（2）见解析.
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，于是得到∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，证得AC=AG，根据（1）的结论于是得到结果．
【详解】（1）①正方形ADEF中，AD=AF．
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF．
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．
故答案为垂直、相等；
②成立，理由如下：
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°，∴CF⊥BD；
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°．
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，
∴∠AGC=90°﹣45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG．
在△GAD与△CAF中，，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G构造全等三角形是解题的关键．
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