资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，四边形内接于⊙，．若⊙的半径为2，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．3
2．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9︰16 B．3︰4 C．9︰4 D．3︰16
3．二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，则的图象与x轴的交点的横坐标分别为（ ）
A．1和5 B．﹣3和1 C．﹣3和5 D．3和5
4．如果函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．一组数据1，2，3，3，4，1．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
7．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）
x（分）
…
13.5
14.7
16.0
…
y（米）
…
156.25
159.85
158.33
…
A．32分 B．30分 C．15分 D．13分
8．如图是二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣1．关于下列结论：①ab<0；②b1﹣4ac>0；③9a﹣3b+c>0；④b﹣4a=0；⑤ 方程ax1+bx=0的两个根为 x1=0，x1=﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
9．二次函数y=3(x–2)2–5与y轴交点坐标为( )
A．(0，2) B．(0，–5) C．(0，7) D．(0，3)
10．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．圆锥的侧面展开图是一个_____形，设圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为_____．
12．二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线，将直线下方的二次函数图象沿直线向上翻折，与其它剩余部分组成一个组合图象，若线段与组合图象有两个交点，则的取值范围为_____．
13．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝4，CD＝3，则⊙O的半径的长是______．
14．已知抛物线y＝x2+2kx﹣6与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x＝2的两侧，则k的取值范围是_____．
15．在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外无其他差别．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有_____个．
16．设、是关于的方程的两个根，则__________．
17．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为 ．
18．圆锥的侧面展开的面积是12πcm2，母线长为4cm，则圆锥的底面半径为_________cm．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使每块草坪的面积都为.应如何设计道路的宽度？
20．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求证：CD= CE．
21．（6分）某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？
（1）设提价了元，则这种衬衫的售价为___________元，销售量为____________件.
（2）列方程完成本题的解答.
22．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围：
（2）当时，求的值．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，．求△ABC的周长．
24．（8分）周末，小马和小聪想用所学的数学知识测量图书馆前小河的宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.35m，BD=7m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB．
25．（10分）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，．
求证:是的切线；
求证:；
点是弧的中点，交于点，若，求的值．
26．（10分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】圆内接四边形的对角互补，可得∠A，圆周角定理可得∠BOD，再利用等腰三角形三线合一、含有30°直角三角形的性质求解．
【详解】连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E，
∵∠BOD＝120°，∠BOD＋∠A＝180°，
∴∠A＝60°，∠BOD＝2∠A＝120°，
∵OB＝OD，OE⊥BD，
∴∠EOD＝∠BOD＝60°，BD＝2ED，
∵OD＝2，
∴OE＝1，ED＝，
∴BD＝2，
故选A．
本题考查圆内接四边形的对角互补、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟悉“三线合一”是解答的关键．
2、B
【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．
因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.
考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
3、A
【分析】根据二次函数图象的平移规律可得交点的横坐标．
【详解】解：∵二次函数y＝（x+m）2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，
∴y＝（x+m﹣2）2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为：﹣1+2＝1和3+2＝5，
故选：A．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用平移的性质和点的坐标平移的性质解答．
4、D
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式即可得出答案．
【详解】∵函数的图象与轴有公共点，
，
解得 ．
故选：D．
本题主要考查二次函数与x轴的交点问题，掌握根的判别式是解题的关键．
5、C
【解析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答.
【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上，
得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2，
所以，；
故选C.
本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键.
6、D
【解析】A. ∵原平均数是：(1+2+3+3+4+1) ÷6=3;
添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3) ÷7=3;
∴平均数不发生变化.
B. ∵原众数是：3；
添加一个数据3后的众数是：3；
∴众数不发生变化；
C. ∵原中位数是：3；
添加一个数据3后的中位数是：3；
∴中位数不发生变化；
D. ∵原方差是：；
添加一个数据3后的方差是：；
∴方差发生了变化.
故选D.
点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
7、B
【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案．
【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟．
故选：B．
此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．
8、D
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案.
【详解】由图像可知，a＜0，b＜0，故①错误；
∵图像与x轴有两个交点
∴，故②正确；
当x=-3时，y=9a﹣3b+c，在x轴的上方
∴y=9a﹣3b+c>0，故③正确；
∵对称轴
∴b-4a=0，故④正确；
由图像可知，方程ax1+bx=0的两个根为 x1=0，x1=﹣4，故⑤正确；
故答案选择D.
本题考查的是二次函数的图像与性质，难度系数中等，解题关键是根据图像判断出a，b和c的值或者取值范围.
9、C
【分析】由题意使x=0,求出相应的y的值即可求解.
【详解】∵y=3（x﹣2）2﹣5, ∴当x=0时，y=7, ∴二次函数y=3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为(0,7).
故选C.
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.
10、B
【分析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案.
【详解】如图，，AC=2，,
A、三边依次为： ， ，1，
∵，∴A选项中的三角形与不相似；
B、三边依次为：、、1，
∵，∴B选项中的三角形与相似；
C、三边依次为：3、、，
∵，∴C选项中的三角形与不相似；
D、三边依次为： 、、2，
∵，∴D选项中的三角形与不相似；
故选：B.
此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、扇 10π
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积即可得答案．
【详解】圆锥的侧面展开图是一个扇形，
圆锥的侧面积＝=π×2×3＝6π，
底面积为=4π，
∴全面积为6π+4π＝10π．
故答案为：扇，10π
本题考查圆锥的侧面展开图及侧面积的计算，熟记圆锥侧面积公式是解题关键．
12、或
【解析】画出图形，采用数形结合，分类讨论讨论，分直线y=t在x轴上方和下方两种情况，需要注意的是，原抛物线与线段BC本来就有B、C两个交点.具体过程见详解.
【详解】解：分类讨论（一）：原抛物线与线段BC就有两个交点B、C.
当抛物线在x轴下方部分，以x轴为对称轴向上翻折后，就会又多一个交点，所以要满足只有两个交点，直线y=t需向上平移，点B不再是交点，交点只有点C和点B、C之间的一个点，所以t >0；当以直线y=3为对称轴向上翻折时，线段与组合图象就只有点C一个交点了，不符合题意，所以t<3，故；
（二）∵=（x-2）2-1,
∴抛物线沿翻折后的部分是抛物线）2+k在直线y=t的上方部分，当直线BC：y=-x+3与抛物线只有一个交点时，即 的△=0，解得k= ,此时线段BC与组合图象W的交点，既有C、B,又多一个，共三个，不符合题意，所以翻折部分需向下平移，即直线y=t向下平移，k=时，抛物线）2+的顶点坐标为（2，），与的顶点（2，-1）的中点是（2，-），所以t<-，又因为，所以.
综上所述：t的取值范围是：或
故答案为或.
本题考查抛物线的翻折和上下平移、抛物线和线段的交点问题.解题关键是熟练掌握二次函数的图像和性质.
13、2.5
【分析】连接AC，根据∠ABC=90°可知AC是⊙O的直径，故可得出∠D=90°，再由AD=4，CD=3可求出AC的长，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∵AD=4，CD=3，
∴AC= 5,
∴⊙O的半径= 2.5,
故答案为：2.5.
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
14、
【分析】由抛物线y＝x2+2kx﹣6可得抛物线开口方向向上,根据抛物线与x轴有两个交点且这两个交点分别在直线x＝2的两侧可得:当x=2时,抛物线在x轴下方,即y＜1.
【详解】解：∵y＝x2+2kx﹣6与x轴有两个交点,两个交点分别在直线x＝2的两侧,
∴当x＝2时,y＜1．
∴4+4k﹣6＜1
解得：k＜；
∴k的取值范围是k＜,
故答案为：k＜．
本题主要考查二次函数图象性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象的性质.
15、1
【分析】设袋子中的红球有x个，利用红球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】解：设袋子中的红球有x个，
根据题意，得：＝0.7，
解得：x＝1，
经检验：x＝1是分式方程的解，
∴袋子中红球约有1个，
故答案为：1．
此题主要考查概率公式的应用，解题的关键是根据题意列式求解.
16、1
【分析】根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=1
故答案为1．
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠0),则有：，是解答本题的关键．
17、1．
【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：OA•AD=2，然后可求得OA•AB的值，从而可求得矩形OABC的面积．
【详解】∵反比例函数的图象经过点D，
∴OA•AD=2．
∵D是AB的中点，
∴AB=2AD．
∴矩形的面积=OA•AB=2AD•OA=2×2=1．
故答案为1．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
18、1
【分析】由题意根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设底面半径为rcm，12π=πr×4，
解得r=1．
故答案为：1．
本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积的计算公式．
三、解答题(共66分)
19、道路的宽度应设计为1m.
【分析】设道路的宽度为m，横、竖道路分别有2条，所以草坪的宽为：（20-2x）m，长为：（30-2x）m，草坪的总面积为56×9，根据长方形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：设道路的宽度为m.
由题意得：
化简得：
解得：，（舍）
答：道路的宽度应设计为1m．
本题考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目条件进行设未知数，列出方程并且求解是解题的关键．
20、见解析
【解析】试题分析：作BF∥AC交EC于F，通过证明△FBC≌△DBC，得到CD=CF，根据三角形中位线定理得到CF=CE，等量代换得到答案．
试题解析：证明：作BF∥AC交EC于F．
∵BF∥AC，∴∠FBC=∠ACB．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠FBC=∠ABC．
∵BF∥AC，BE=AB，∴BF= AC，CF=CE．
∵CD是AB边上的中线，∴BD=AB，∴BF=BD．
在△FBC和△DBC中，∵BF＝BD，∠FBC＝∠DBC，BC＝BC，∴△FBC≌△DBC，∴CD=CF，∴CD=CE．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．
21、（1），；（2）（60＋x−50）（800−1x）＝1100，2，见解析
【分析】（1）根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；
（2）根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．
【详解】（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60＋x）元，
销售量为（800−x）＝（800−1x）件．
故答案为（60＋x）;（800−1x）．
（2）根据（1）得：
（60＋x−50）（800−1x）＝1100
整理，得x2−30x＋10＝0
解得：x1＝10，x2＝1．
为使顾客获得更多的优惠，
所以x＝10，60＋x＝2．
答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为2元．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．
22、（1）；（2）
【分析】（1）由条件可知该方程的判别式大于或等于0，可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围;
（2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值．
【详解】解：（1）原方程有两个实数根，
整理，得：
解得：
（2），，
即
解得：
又
的值为.
本题考查了根据一元二次方程的根与判别式的关系来确定未知系数的取值范围，以及根据根与系数的关系来确定未知系数的值．
23、
【分析】过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中解直角三角形可得出AD、BD的长，再在Rt△ACD中解直角三角形求出CD的长，利用勾股定理求出AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D．
∵Rt△ADB中，∠B=45°，∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，
又AB=，
∴AD=AB·sin∠B=×=1=BD．
∵Rt△ACD中，，
∴DC=2，∴BC=BD+DC=1．
又Rt△ADC中，AD=1，DC=2，
∴AC==．
∴△ABC的周长为．
本题考查了解直角三角以及勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
24、20米
【分析】先利用CB⊥AD,ED⊥AD得到∠CBA=∠EDA=90,由此证明△ABC∽△ADE,得到，将数值代入即可求得AB.
【详解】∵CB⊥AD,ED⊥AD,
∴∠CBA=∠EDA=90,
∵∠CAB=∠EAD,
∴△ABC∽△ADE,
∴,
∵AD=AB+BD,BD=7,BC=1,DE=1.35,
∴,
∴AB=20,
即河宽为20米.
此题考查相似三角形的实际应用，解决河宽问题.
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1．
【分析】（1）根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90，即OC⊥CP，故PC是⊙O的切线；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故；代入数据即可求得答案．
【详解】，
，
又，
，
又是的直径，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
，
，
，
又，
，
，
；
连接，
点是的中点，
∴，
，
，
，
，
，
，
又是的直径，，
，
，
，
．
此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，证得是解题的关键．
26、（1）y=2x2﹣x﹣1；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）．
【分析】（1）将三点代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解方程组即可得到a，b，c的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）把(-1,0)，(0,-1)，(2,1)代入y=ax2+bx+c，得，解得．
所以，这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣1．
（2）y=2x2﹣x﹣1=2(x﹣)2﹣，
所以，抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
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