资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )
A． B． C． D．
2．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．观察下列四个图形，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则是
A． B． C． D．
5．抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )
A．y＝(x+1)2+3 B．y＝(x+1)2﹣3
C．y＝(x﹣1)2﹣3 D．y＝(x﹣1)2+3
6．下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上
B．打开电视频道，正在播放《今日视线》
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．地球绕着太阳转
7．一个不透明的盒子有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有12 个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
8．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则( )
A．2 B． C． D．
9．若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD=5，BD=2，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
11．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
12．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和3个绿球，从袋子中随机摸出一个小球，记下颜色后，不放回再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知线段c是线段、的比例中项，且，，则线段c的长度为______．
14．某型号的冰箱连续两次降价，每台售价由原来的2370元降到了1160元，若设平均每次降价的百分率为，则可列出的方程是__________________________________.
15．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=2：3，则△ADE与△ABC的面积之比为________．
16．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线和直线外一点.
求作：直线的垂线，使它经过.
作法：如图2.
（1）在直线上取一点，连接；
（2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接交于点；
（3）以点为圆心，为半径作圆，交直线于点（异于点），作直线.所以直线就是所求作的垂线.
请你写出上述作垂线的依据：______.
17．一次函数与反比例函数（）的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是__________．
18．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE的长是__．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．
（1）求证：∠A＝∠CBD．
（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O相切，并说明理由．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C在坐标轴上，△OCB绕点O顺时针旋转90°得到△ODE，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，OC的长是方程x2-4=0的一个实数根．
（1）求直线BD的解析式．
（2）求△OFH的面积．
（3）在y轴上是否存在点M，使以点B、D、M三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，不必说明理由．
21．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CD＝BD，E、F是线段AC、AB的延长线上的点，并且EF与⊙O相切于点D．
（1）求证：∠A＝2∠BDF；
（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．
22．（10分） “垃圾分类”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就“垃圾分类”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中的值为 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）若从对垃圾分类知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加垃圾分类知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
23．（10分）受全国生猪产能下降的影响，猪肉价格持续上涨，某超市猪肉8月份平均价格为25元/斤，10月份平均价格为36元/斤，求该超市猪肉价格平均每月增长的百分率．
24．（10分）如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接、．
（1）求证：；
（2）当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由．
25．（12分）已知
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，求A的值．
26．如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动、两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小聪和小明利用这两个转盘做游戏：若两数之和为负数，则小聪胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗?如果不公平，对谁更有利？请你利用树状图或列表法说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵对角线上的两点、满足，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
故选A．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2、B
【分析】根据题意，门框的长、宽以及竹竿长是直角三角形的三边长，等量关系为：门框长的平方+门框宽的平方=门的对角线长的平方，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为（x-2）尺，宽为（x-4）尺，
∴可列方程为（x-4）2+（x-2）2=x2，
故选：B．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到门框的长，宽，竹竿长是直角三角形的三边长是解决问题的关键．
3、C
【分析】根据中心对称图形的定义即可判断.
【详解】在平面内，若一个图形可以绕某个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
根据定义可知，C选项中的图形是中心对称图形.
故答案选：C.
本题考查的知识点是中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形.
4、A
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴sinA=，
故选A.
本题考查锐角三角函数的定义.关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5、D
【分析】按“左加右减，上加下减”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】抛物线y＝x2先向右平移1个单位得y＝（x﹣1）2，再向上平移3个单位得y＝（x﹣1）2+3.
故选D.
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
6、D
【分析】根据事件发生的可能性大小及必然事件的定义即可作出判断．
【详解】解:A、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件；
B、打开电视频道，正在播放《今日视线》是随机事件；
C、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件；
D、地球绕着太阳转是必然事件；
故选：D．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定会发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、C
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值即可.
【详解】根据题意得：，
解得n=40，
所以估计盒子中小球的个数为40个.
故选C．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.
8、B
【分析】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1,AC= ,在直角三角形ACD中即可求得的值.
【详解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，
则CD=1，AC=
在直角三角形ACD中
故选：B
本题考查的是网格中的锐角三角函数，关键是创造直角三角形，尽可能的把直角三角形的顶点放在格点.
9、B
【解析】试题分析：∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故选B．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
10、D
【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠DAC，再利用同弧所对的圆周角相等，求证△AB
D△BED，利用其对应边成比例可得，然后将已知数值代入即可求出DE的长．
【详解】解:∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠DBC=∠DAC(同弧所对的圆周角相等）,
∴∠DBC=∠BAD，
∴△ABD△BED，
∴,
∴DE=
故选D.
本题考查圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，根据其定理进行分析.
11、A
【解析】解：连接OA，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD=AC=2；
∵∠DOB=45°，
∴∠MND=∠DOB=1．5°，
故选A．
本题考查切线的性质；等腰直角三角形．
12、A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的结果数为6，
所以两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率==．
故选A．
此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、6
【解析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.所以c2=4×9,解得c=±6(线段是正数,负值舍去)，
故答案为6.
14、
【分析】先列出第一次降价后售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价后售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
【详解】依题意得：第一次降价后售价为：2370（1-x），
则第二次降价后的售价为：2370（1-x）（1-x）=2370（1-x）2，
故．
故答案为．
此题考查一元二次方程的运用，解题关键在于要注意题意指明的是降价，应该是1-x而不是1+x．
15、4：1
【解析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．
【详解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=4：1．
故答案为：4：1．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
16、直径所对的圆周角是直角
【分析】由题意知点E在以PA为直径的圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠PEA＝90°，即PE⊥直线a．
【详解】由作图知，点E在以PA为直径的圆上，
所以∠PEA＝90°，
则PE⊥直线a，
所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
本题主要考查作图−尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及其性质和直径所对的圆周角是直角．
17、或
【分析】即直线位于双曲线下方部分，根据图象即可得到答案.
【详解】解：即直线位于双曲线下方部分，
根据图象可知此时或.
本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，用图解法解不等式.
18、6
【分析】由平行得比例，求出的长即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
故答案为：6.
此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）BM＝，理由见解析．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后就利用等角的余角相等得到结论；
（2）如图，连接OD，DM，先计算出BD＝8，OA＝5，再证明Rt△CBD∽Rt△BAD，利用相似比得到BC＝，取BC的中点M，连接DM、OD，如图，证明∠2＝∠4得到∠ODM＝90°，根据切线的判定定理可确定DM为⊙O的切线，然后计算BM的长即可．
【详解】（1）∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD；
（2）BM＝．
理由如下：
如图，连接OD，DM，
∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝8，OA＝5，
∵∠A＝∠CBD，
∵Rt△CBD∽Rt△BAD，
∴＝，即＝，解得BC＝
取BC的中点M，连接DM、OD，如图，
∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，
∴DM＝BM，
∵∠2＝∠4，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，
∴OD⊥DM，
∴DM为⊙O的切线，
此时BM＝BC＝．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理，掌握切线的判定定理及圆周角定理是关键．
20、（1）直线BD的解析式为：y=-x+1；（2）△OFH的面积为；（3）存在，M1(0，-4)、M2(0，-2)、M3(0，4)、M4(0，6)
【分析】（1）根据求出坐标点B（-2, 2），点D（2,0），然后代入一次函数表达式：y=kx+b得，利用待定系数法即可求出结果．
（2）通过面积的和差，S△OFH= S△OFD- S△OHD，即可求解．
（3）分情况讨论：当点M在y轴负半轴与当点M在y轴正半轴分类讨论．
【详解】解：（1）x2-4=0，解得：x=-2或2，
故OC=2，即点C（0，2）．
∴OD=OC=2，即：D（2,0）．
又∵四边形OABC是正方形．
∴BC=OC=2，即：B（-2, 2）．
将点B（-2, 2），点D（2,0）代入一次函数表达式：y=kx+b得：
，解得： ，
故直线BD的表达式为：y=-x+1 ．
（2）直线BD的表达式为：y=-x+1，则点F（0，1），得OF=1．
∵点E(2,2)，
∴直线OE的表达：y=x．
解得：
∴H
∴S△OFH= S△OFD- S△OHD
=-
=
=
（3）如图：当点M在y轴负半轴时．
情况一：令BD=BM1，此时时，BD=BM1，此时是等腰三角形，此时M1（0，-2）．
情况二：令M2D =BD，此时，M2D2 =BD2=，所以OM= ，此时M2（0，-4）．
如图：当点M在y轴正半轴时．
情况三：令M3D =BD，此时，M3D2 =BD2=，所以OM= ，此时M3（0， 4）．
情况四：令BM4= BD，此时， BM42= BD2=，所以CM= ，所以，OM=MC+OC=6,此时M4（0， 6）．
综上所述，存在，M1(0，-4)、M2(0，-2)、M3(0，4)、M4(0，6)
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到勾股定理、正方形的基本性质、解一元二次方程等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
21、（1）见解析：（2）CE＝1．
【分析】（1）连接AD，如图，先证明得到∠1＝∠2，再根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥EF，然后证明∠1＝∠4得到结论；
（2）连接BC交OD于F，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据垂径定理，由得到OD⊥BC，则CF＝BF，所以OF＝AC＝，从而得到DF＝1，然后证明四边形CEDF为矩形得CE＝1．
【详解】（1）证明：连接AD，如图，
∵CD＝BD，
∴，
∴∠1＝∠2，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠1+∠ABD＝90°，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴∠3+∠4＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠3＝∠OBD，
∴∠1＝∠4，
∴∠A＝2∠BDF；
（2）解：连接BC交OD于F，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵，
∴OD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴OF＝AC＝，
∴DF＝﹣＝1，
∵∠ACB＝90°，OD⊥BC，OD⊥EF，
∴四边形CEDF为矩形，
∴CE＝DF＝1．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．
22、（1）60，10；（2）96°；（3）
【分析】（1）根据基本了解的人数和所占的百分比可求出总人数，m=总人数-非常了解的人数-基本了解的人数-了解很少的人数；
（2）先求出“了解很少”所占总人数的百分比，再乘以360°即可；
（3）采用列表法或树状图找到所有的情况，再从中找出所求的1名男生和1名女生的情况，再由概率等于所求情况数与总情况数之比来求解.
【详解】（1）
（2）“了解很少”所占总人数的百分比为
所以所对的圆心角的度数为
（3）
由表格可知，共有12种结果，其中1名男生和1名女生的有8种可能，所以恰好抽到1名男生1名女生的概率为
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，根据图中信息解题，以及用列表法或树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率等于所求情况与总情况之比求解，注意列表时要做到不重不漏.
23、20%．
【分析】等量关系为：8月初猪肉价格×(1+增长率)2＝10月的猪肉价格．
【详解】解：设8、9两个月猪肉价格的月平均增长率为x．
根据题意，得25(1+x)2＝36，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(舍去)．
答：该超市猪肉价格平均每月增长的百分率是20%．
本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）在中点时，的面积最大，见解析
【分析】（1）由题意推出，结合正方形的性质利用SAS证明；
（2）设AE=x，表示出AF，根据∠EAF=90°，得出关于面积的二次函数，利用二次函数的最值求解.
【详解】解：（1）∵绕点顺时针旋转至的位置，
∴，，
∵在正方形中 ，
∴，，
∴，
即，
∴；
（2）由（1）知，
∴，，
∴，
设，
∵正方形的边长为，
故，
∴，
∴，
∴当即在中点时，的面积最大．
本题考查了全等三角形的判定、旋转的性质和二次函数的性质，准确利用题中的条件进行判定和证明，将待求的量转化为二次函数最值.
25、（1）ab；（1）A＝﹣1
【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再约分，然后同分母分式相加，分母不变，分子相加，最后把除法转化乘法，约分即可；
（1）把P点代入解析式，求得ab＝﹣1，即可求得A＝﹣1．
【详解】解：（1）
＝ab，
（1）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，
∴ab＝﹣1，
∴A＝﹣1．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式的运算，把分式化简是解题的关键．
26、见解析
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小力胜、小明胜的情况，继而求得小力胜与小明胜的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平．
【详解】列表得：两个数字之和
转盘A
转盘B
-1
0
2
1
1
0
1
3
2
-2
-3
-2
0
-1
-1
-2
-1
1
0
∵由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之和为非负数有7个，负数有5个，
，，
对小明有利，这个游戏对双方不公平．.
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
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