资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．且 B． C． D．
2．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
3．小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．同圆中，圆周角等于圆心角的一半
C．平分弦的直径垂直于弦
D．一个三角形只有一个外接圆
5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
8．已知二次函数图象如图所示，对称轴为过点且平行于轴的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，若△ADE的面积是3，则△ABC的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．的最小值为1
B．图象顶点坐标为，对称轴为直线
C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小
D．当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大
11．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=3，那么正方形ABCD的面积是__________．
14．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．
15．当________时，的值最小.
16．计算：sin45°＝____________．
17．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为___度．
18．已知m，n是一元二次方程的两根，则________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，她记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系如图所示，日销量P（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如下表所示：
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画P随x的变化规律，请直接写出P与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）求出销售额W在哪一天达到最大，最大销售额是多少元？
20．（8分）在直角坐标平面内，某二次函数图象的顶点为，且经过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求直线y=-x-1与该二次函数图象的交点坐标．
21．（8分）利川市南门大桥是上世纪90年代修建的一座石拱桥，其主桥孔的横截面是一条抛物线的一部分，2019年在维修时，施工队测得主桥孔最高点到水平线的高度为.宽度为.如图所示，现以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
（1）直接写出点及抛物线顶点的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在主桥孔内搭建矩形“脚手架”，使点在抛物线上，点在水平线上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根钢管的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算.
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（﹣2，0），点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S△MBC取得最大值时，求点M的坐标；
（3）在直线的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由．
24．（10分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．
①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，
②求BC：AC：AB的值．
（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．
25．（12分）已知：如图，在矩形中，点为上一点，连接，过点作于点，与相似吗？请说明理由．
26．如图，某居民楼的前面有一围墙，在点处测得楼顶的仰角为，在处测得楼顶的仰角为，且的高度为2米，之间的距离为20米（，，在同一条直线上）.
（1）求居民楼的高度.
（2）请你求出、两点之间的距离.（参考数据：，，，结果保留整数）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据题意可得k满足两个条件，一是此方程是一元二次方程，所以二次项系数k不等于0，二是方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac>0，根据这两点列式求解即可.
【详解】解：根据题意得，
k≠0,且(-6)2-36k>0,
解得，且.
故选：A.
本题考查一元二次方程的定义及利用一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围，根据需满足定义及根的情况列式求解是解答此题的重要思路.
2、A
【分析】根据二次函数的图像和性质逐个分析即可．
【详解】解：对于①：∵抛物线开口向上，∴a>0，
∵对称轴，即，说明分子分母a,b同号，故b>0，
∵抛物线与y轴相交，∴c<0，故，故①正确；
对于②：对称轴，∴，故②正确；
对于③：抛物线与x轴的一个交点为(-3,0)，其对称轴为直线x=-1，根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为,1,0)，故当自变量x=2时，对应的函数值y=，故③错误；
对于④：∵x=-5时离对称轴x=-1有4个单位长度，x=时离对称轴x=-1有个单位长度，
由于＜4，且开口向上，故有，故④错误，
故选：A．
本题考查了二次函数的图像与其系数的符号之间的关系，熟练掌握二次函数的图形性质是解决此类题的关键．
3、B
【解析】分析: 先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解.
详解: 列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率=．
故选B.
点睛：本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.
4、D
【分析】由垂径定理的推论、圆周角定理、确定圆的条件和三角形外心的性质进行判断
【详解】解：A、平面内不共线的三点确定一个圆，所以A错误；
B、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以B错误；
C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以C错误；
D、一个三角形只有一个外接圆，所以D正确．
故答案为D．
本题考查了垂径定理、圆周角定理以及确定圆的条件，灵活应用圆的知识是解答本题的关键.
5、B
【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，
故选B．
6、C
【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；
当方程为一元一次方程时，k=1；
是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥1．
【详解】当k=1时，方程为3x-1=1，有实数根，
当k≠1时，△=b2-4ac=32-4×k×（-1）=9+4k≥1，
解得k≥-．
综上可知，当k≥-时，方程有实数根；
故选C．
本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．
7、C
【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∴6＞5，即：d＜r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．
8、D
【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧即可判断a、c、b的符号，进而可判断A项；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣，结合抛物线的对称轴公式即可判断B项；
由图象可知；当x=1时，a+b+c<0，再结合B项的结论即可判断C项；
由（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，可知当x=－2时，y<0，进而可判断D项.
【详解】解：A、∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，所以本选项错误；
B、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴，∴a﹣b＝0，所以本选项错误；
C、∵当x=1时，a+b+c<0，且a=b，∴，所以本选项错误；
D、∵（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，且当x=1时，y<0，∴当x=－2时，y<0，即4a﹣2b+c<0，∴，所以本选项正确.
故选：D.
本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
9、D
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】解：∵D是AB中点，E是AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABC＝4S△ADE＝12，
故选：D．
本题考查了相似三角形的面积问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10、C
【分析】根据，可知该函数的顶点坐标为（2,1），对称轴为x=2，最小值为1，当x<2时，y随x的增大而减小，当x≥2时，y随x的增大而增大，进行判断选择即可.
【详解】由题意可知，该函数当x<2时，y随x的增大而减小，当x≥2时，y随x的增大而增大，故C错误，所以答案选C.
本题考查的是一元二次函数顶点式的图像性质，能够根据顶点式得出其图像的特征是解题的关键.
11、B
【分析】根据反比例函数图象可知，经过第一三象限，，从而得出答案．
【详解】解：A、为二次函数表达式，故A选项错误；
B、为反比例函数表达式，且，经过第一三象限，符合图象，故B选项正确；
C、为反比例函数表达式，且，经过第二四象限，不符合图象，故C选项错误；
D、为一次函数表达式，故D选项错误．
故答案为B．
本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
12、D
【详解】解：由两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，﹣2）．
故选D．
本题考查关于原点对称的点的坐标．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】由正方形的面积公式可求解．
【详解】解：∵AC=3，
∴正方形ABCD的面积=3×3×=1，
故答案为：1．
本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是解题的关键．
14、1
【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝1．
【详解】解：∵ABCD是正方形（已知），
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°；
又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°，
∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）；
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在Rt△AFB和Rt△AED中，
∵ ，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等），
∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝1．
故答案为：1．
本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．
15、
【分析】根据二次根式的意义和性质可得答案.
【详解】解：由二次根式的性质可知，当时，取得最小值0
故答案为2
本题考查二次根式的“双重非负性”即“根式内的数或式大于等于零”和“根式的计算结果大于等于零”
16、1．
【分析】根据sin45°＝代入计算即可．
【详解】sin45°＝，
故答案为：1．
本题考查特殊角的三角函数值，熟练记忆是关键．
17、15
【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【详解】解： ∵∠AOB=70°-40°=30°
∴∠1=∠AOB=15°
故答案为：15°．
本题考查圆周角定理．
18、-1
【分析】根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后代入计算即可.
【详解】∵m，n是一元二次方程的两根，
∴m+n=2，mn=-3，
∴2-3=-1.
故答案为：-1.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， .
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）（x取整数）；（3）第10天销售额达到最大，最大销售额是4500元
【分析】（1）是分段函数，利用待定系数法可得y与x的函数关系式；
（2）从表格中的数据上看，是成一次函数，且也是分段函数，同理可得p与x的函数关系式；
（3）根据销售额=销量×销售单价，列函数关系式，并配方可得结论．
【详解】解：（1）① 当时，设（），把点（0，14），（5，9）代入，
得 ，解得： ，
∴；
②当时， ，
∴（x取整数）；
（2）∴（x取整数）；
（3）设销售额为元，
①当时，
=，
∴当时，；
②当时，
，
∴当时，；
③当时，，
∴当时，，
综上所述：第10天销售额达到最大，最大销售额是4500元；
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
20、（1）；（2）两个函数图象的交点坐标是和．
【分析】（1）根据题意可设该二次函数的解析式为，把点代入函数解析式，求出a值，进而得出该二次函数的解析式；
（2）由题意直线y=-x-1与该二次函数图象有交点得，进行求解进而分析即可.
【详解】解：（1）依题意可设该二次函数的解析式为，
把代入函数解析式，得，解得，
故该二次函数的解析式是.
（2）据题意，得，得，.
当时，可得；
当时，可得.
故两个函数图象的交点坐标是和.
本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是设出二次函数的顶点式，求出函数解析式．
21、（1）；（2），；（3）三根钢管的长度之和的最大值是.
【分析】（1）根据题意，即可写出点及抛物线顶点的坐标；
（2）抛物线过原点，故设抛物线为，将M和P的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（3）设，分别用含x的式子表示出的长度，设“脚手架”三根钢管的长度之和为，即可求出与x的函数关系式，最后利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）由题意可知：抛物线顶点；
（2）抛物线过原点，故设抛物线为，
由在抛物线上有
，解得，
所以抛物线的函数解析式为，由图象可知；
（3）设，
根据点A在抛物线上和矩形的性质可得
，
∵点A和点D关于抛物线的对称轴对称
∴点D的坐标为（60－x，y）
∴
设“脚手架”三根钢管的长度之和为，则
，
即
当时，，
所以，三根钢管的长度之和的最大值是．
此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和利用二次函数求最值是解决此题的关键．
22、（1）y＝﹣x2+x+4；（2）（2，4）；（3）存在，（1，）或（3，）
【分析】（1）抛物线的表达式为：：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），故-8a=4，即可求解；
（2）根据题意列出S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，即可求解；
（3）四边形ABMC的面积S＝S△ABC+S△BCM＝6×4+（﹣x2+4x）＝15，，即可求解.
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
故﹣8a＝4，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）过点M作MH∥y轴交BC于点H，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
设点M（x，﹣x2+x+4），则点H（x，﹣x+4），
S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，此时点M（2，4）；
（3）四边形ABMC的面积S＝S△ABC+S△BCM＝×6×4+（﹣x2+4x）＝15，
解得：x＝1或3，故点M（1，）或（3，）．
本题考查的是二次函数综合运用，考查了一次函数、面积的计算等知识，其中面积的计算是解答本题的难点.
23、（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点P坐标为（，4）或（，）或（，﹣）．
【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；
（2）根据等腰三角形的定义，分和，再分别利用两点之间的距离公式求出点P坐标即可．
【详解】（1）将点代入抛物线的解析式得
解得
故二次函数的解析式为；
（2）存在，求解过程如下：
由二次函数的解析式可知，其对称轴为
则点D的坐标为，可设点P坐标为
由勾股定理得，
由等腰三角形的定义，分以下2种情况：
①当时，则
解得或（不符题意，舍去），因此，点P坐标为
②当时，
解得，因此，点P坐标为或
综上，存在满足条件的点P，点P坐标为或或．
本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义等知识点，较难的是（2），依据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
24、（1）① “匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②BC：AC：AB＝；（2）CD＝a，CM不是△ACD的“匀称中线”．理由见解析.
【分析】（1）①先作出Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，然后利用匀称中线的定义分别验证即可得出答案；
②设AC＝2a，利用勾股定理分别把BC,AB的长度求出来即可得出答案.
（2）由②知：AC：AD：CD＝，设AC＝，则AD＝2a，CD＝，过点C作CH⊥AB，垂足为H，利用的面积建立一个关于a的方程，解方程即可求出CD的长度；假设CM是△ACD的“匀称中线”，看能否与已知的定理和推论相矛盾，如果能，则说明假设不成立，如果不能推出矛盾，说明假设成立.
【详解】（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，
∵∠ACB＝90°，
∴CF＝，即CF不是“匀称中线”．
又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．
∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，
②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，
在Rt△BCE中∠BCE＝90°，
∴BC＝，
在Rt△ABC中，AB＝，
∴BC：AC：AB＝
（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，
∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，
∵Rt△ACD是“匀称三角形”．
由②知：AC：AD：CD＝
设AC＝，则AD＝2a，CD＝，
如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴
∵
解得a＝2，a＝﹣2（舍去），
∴
判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．
理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．
则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，
∴
又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝ ，BH＝4-，
∴
即
这与∠AMC＝∠B相矛盾，
∴假设不成立，
∴CM不是△ACD的“匀称中线”．
本题主要为材料理解题，掌握匀称三角形和匀称中线的意义是解题的关键.
25、相似，见解析
【分析】先得出，，再根据两角对应相等两个三角形相似即可判断．
【详解】解：相似，理由如下：
在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查矩形的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，属于中考常考题型．
26、（1）居民楼的高约为22米；（2）、之间的距离约为48米
【分析】（1）过点作，垂足为，设为在中及中，根据三角函数即可求得答案；
（2）方法一：在中，根据，即可求得AE的值．
方法二：在中，根据，即可求得AE的值．
【详解】（1）如图，过点作，垂足为，
∴四边形为矩形，
∴，.
设为.
在中，，
∴，
∴.
在中，，，
∵，
∴，
∴.
答：居民楼的高约为22米.
（2）方法一：由（1）可得.
在中，，
∴，
∴，
即、之间的距离约为46米.
方法二：由（1）得.
在中，，
∴，
∴，
即、之间的距离约为48米.
（注：此题学生算到46或48都算正确）
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，得出三角函数的关系是解题的关键.
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