重庆市九龙坡区育才中学2024-2025学年九上数学期末预测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（　　）

A．3m B．27m C．m D．m
2．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cosB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（　　）

A．7.5 B．9 C．10 D．5
3．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=(　　)

A．120° B．110° C．105° D．100°
4．如下图：⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（ ）

A．3 个 B．4个 C．5个 D．6个
5．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　）

A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S1．则S1﹣S2+S3+S1等于（　　）

A．1 B．6 C．8 D．12
7．抛物线（）的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，下列结论是：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( )

A． B． C． D．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，A、B、C、D四个点均在O上，∠AOD=40°，弦DC的长等于半径，则∠B的度数为（  ）

A．40° B．45° C．50° D．55°
11．下列事件中，必然事件是（ ）
A． 一定是正数
B．八边形的外角和等于
C．明天是晴天
D．中秋节晚上能看到月亮
12．一个小正方体沿着斜面前进了10 米，横截面如图所示，已知，此时小正方体上的点距离地面的高度升高了( )

A．5米 B．米 C．米 D．米
二、填空题（每题4分，共24分）
13．关于x的方程的两个根是﹣2和1，则nm的值为_____．
14．如图，在的矩形方框内有一个不规则的区城（图中阴影部分所示），小明同学用随机的办法求区域的面积．若每次在矩形内随机产生10000个点，并记录落在区域内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域内点的个数的平均值为6700个，则区域的面积约为___________．

15．如图，已知点A在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且△ABC的面积为3，则该反比例函数的表达式为__．

16．如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF=DC，若∠ADF=25°，则∠BEC=________．

17．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的表达式为__________．
18．设、是关于的方程的两个根，则__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)，C(0，3)，点M是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，
①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．
②当S取得最值时，求点P的坐标；
（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90º，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．

(1)求证:AE=CE ．
(2)若EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，且CD=CF=2cm，求⊙O的直径．
(3)若EF与⊙O相切于点E，点C在线段FD上，且CF:CD=2:1，求sin∠CAB ．
21．（8分）如图1，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E.

（1）求证：BEBC＝AECD．
（2）如图2，若点P是边AD上一点，且PE⊥EC，求证：AEAB＝DEAP.
22．（10分）（1）计算：sin230°+cos245°
（2）解方程：x（x+1）＝3
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝1．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（1）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
24．（10分）已知：二次函数，求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都在两个交点；
25．（12分）经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．
时间x（天）
1≤x<50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200-2x
（1）求出y与x的函数关系式
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．
26．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC、DC（或它们的延长线）于点M，N.

（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN=MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想。（不需要证明）
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】先根据题意得出AD的长，在中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE即可得出结论．
【详解】∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE=9m，AB=1.5m，
∴AD=BE=9m，DE=AB=1.5m，
在Rt中，
∵∠CAD=30°，AD=9m，
∴
∴(m) ．
故选：C．
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
2、C
【分析】先设DE＝x，然后根据已知条件分别用x表示AF、BF、BE的长，由DE∥AB可知，进而可求出x的值和BE的长．
【详解】解：设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∵cosB＝＝，
∴BE＝（18﹣2x），
∵DE∥AB，
∴，
∴
∴x＝6，
∴BE＝（18﹣12）＝10，
故选：C．
本题主要考查了三角形的综合应用，根据平行线得到相关线段比例是解题关键．
3、D
【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圆周角定理即可得出．
【详解】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形
∴∠A+∠BDC=180°
∵∠BDC=130°
∴∠A=50°
∴∠BOC=2∠A=100°
故选：D．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
4、A
【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长．
【详解】当P为AB的中点时，由垂径定理得OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB=8，
∴AP=BP=4，
在直角三角形AOP中，OA=5，AP=4，
根据勾股定理得OP=3，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP=5，
∴，则使线段OP的长度为整数的点P有3，4，5，共3个．
故选A
考点：1.垂径定理；2.勾股定理
5、A
【分析】△ABC的面积＝•AB•yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
【详解】解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m），
则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝6，
则k1﹣k2＝1．
故选：A．
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
6、B
【解析】本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件, 再根据全等三角形的判定定理和面积相等的性质得到S、S、、与△ABC的关系, 即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互转化的思想.
【详解】解：如图所示, 过点F作FG⊥AM交于点G, 连接PF.

根据正方形的性质可得: AB=BE, BC=BD,
∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90,即∠ABC=∠EBD.
在△ABC和△EBD中,
AB=EB，∠ABC=∠EBD, BC=BD
所以△ABC≌△EBD(SAS),故S=,同理可证,△KME≌△TPF,
△FGK≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90, 所以四边形AQFG是矩形, 则QF//AG, 又因为QP//AC, 所以点Q、P, F三点共线, 故S+S=, S=. 因为∠QAF+∠CAT=90,∠CAT+∠CBA=90,所以∠QAF=∠CBA, 在△AQF和△ACB中, 因为
∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB
所以△AQF≌△ACB(ASA), 同理可证△AQF ≌△BCA,故
S1﹣S2+S3+S1== 3 1 =6,
故本题正确答案为B.
本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.
7、D
【分析】根据二次函数的对称性补全图像，再根据二次函数的性质即可求解.
【详解】如图，∵与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
实验求出二次函数与x轴的另一个交点为（-2,0）
故可补全图像如下，
由图可知a＜0，c＞0，对称轴x=1,故b＞0，
∴，①错误，
②对称轴x=1,故x=-,∴，正确；
③如图，作y=2图像，与函数有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，正确；④∵x=-2时，y=0,即，正确；⑤∵抛物线的对称轴为x=1,故点在该抛物线上，则，正确；
故选D

此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的对称性.
8、C
【解析】分析：根据题意得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质可求出CD的长.
详解：∵，，
∴∠ABO=∠CDO,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴.
故选C.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD是解题关键．
9、C
【详解】试题解析：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，三个，
故选C．
10、C
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据圆周角定理即可得．
【详解】如图，连接OC，
由圆的半径得：，
弦DC的长等于半径，
，
是等边三角形，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：C．

本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
11、B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】A、a2一定是非负数，
则a2一定是正数是随机事件；
B、八边形的外角和等于360°是必然事件；
C、明天是晴天是随机事件；
D、中秋节晚上能看到月亮是随机事件；
故选B．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12、B
【分析】根据题意，用未知数设出斜面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．
【详解】解：Rt△ABC中，AB=2BC，
设BC=x，则AC=2x，
根据勾股定理可得，
x2+（2x）2=102，
解得x=或x=（负值舍去），
即小正方体上的点N距离地面AB的高度升高了米，
故选：B．
此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理的知识，此题比较简单．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、﹣1
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
【详解】解：∵关于x的方程的两个根是﹣2和1，
∴，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴．
故答案为：﹣1．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
14、8.04
【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求区域A的面积的估计值．
【详解】解：由题意，∵在矩形内随机产生10000个点，落在区域A内点的个数平均值为6700个，
∴概率P=，
∵4×3的矩形面积为12，
∴区域A的面积的估计值为：0.67×12=8.04；
故答案为：8.04；
本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
15、y＝﹣
【解析】根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△AOC的面积=△ABC的面积=3，再根据反比例函数中k的几何意义，即可确定k的值，进而得出反比例函数的解析式．
【详解】解：如图，连接AO，
设反比例函数的解析式为y＝ ．
∵AC⊥y轴于点C，
∴AC∥BO，
∴△AOC的面积＝△ABC的面积＝3，
又∵△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝3，
∴k＝±2；
又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，
∴k＜1．
∴k＝﹣2．
∴这个反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
故答案为y＝﹣ ．

本题考查待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
16、115°
【解析】由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性质得出∠DFC，从而求出∠BCE，最后用等腰三角形的性质即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，BE=CE．
∵∠ADF=25°，
∴∠CDF=∠ADC﹣∠ADF=90°﹣25°=65°．
∵DF=DC，
∴∠DFC=∠DCA=（180°-∠CDF）÷2=（180°-65°）÷2=，
∴∠BCE=∠BCD﹣∠DCA=90°﹣=．
∵BE=CE，
∴∠BEC=180°﹣2∠BCE=180°﹣65°=115°．
故答案为115°．
本题是矩形的性质，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是求出∠DFC．是一道中考常考的简单题．
17、
【分析】把点的坐标代入根据待定系数法即可得解．
【详解】解：∵反比例函数y=经过点M（-3，2），
∴2=，
解得k=-6，
所以，反比例函数表达式为y= ．
故答案为：y=．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，是求函数解析式常用的方法，需要熟练掌握并灵活运用．
18、1
【分析】根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=1
故答案为1．
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠0),则有：，是解答本题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①S＝﹣m2+3m，1≤m≤3；②P(，3)；（3）存在，点P的坐标为(，3)或(﹣3+3，12﹣6)．
【分析】（1）将点B，C的坐标代入 即可；
（2）①求出顶点坐标，直线MB的解析式，由PD⊥x轴且 知P（m，﹣2m+6），即可用含m的代数式表示出S；
②在①的情况下，将S与m的关系式化为顶点式，由二次函数的图象及性质即可写出点P的坐标；
（3）分情况讨论，如图2﹣1，当 时，推出 ，则点P纵坐标为3，即可写出点P坐标；如图2﹣2，当 时，证 ，由锐角三角函数可求出m的值，即可写出点P坐标；当 时，不存在点P．
【详解】（1）将点B（3，0），C（0，3）代入 ，
得 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）①∵ ，
∴顶点M（1，4），
设直线BM的解析式为 ，
将点B（3，0），M（1，4）代入，
得 ，
解得 ，
∴直线BM的解析式为 ，
∵PD⊥x轴且 ，
∴P（m，﹣2m+6），
∴，
即 ，
∵点P在线段BM上，且B（3，0），M（1，4），
∴ ；
②∵，
∵ ，
∴当 时，S取最大值 ，
∴P（ ，3）；
（3）存在，理由如下：
①如图2﹣1，当 时，
∵ ，
∴四边形CODP为矩形，
∴ ，
将 代入直线 ，
得，
∴P（ ，3）；
②如图2﹣2，当∠PCD＝90°时，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴P（，），
③当 时，
∵PD⊥x轴，
∴不存在，
综上所述，点P的坐标为（ ，3）或（，）．

本题考查了二次函数的动点问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）2cm；（3）
【分析】（1）连接DE，根据可知：是直径，可得，结合点D是AC的中点，可得出ED是AC的中垂线，从而可证得结论；
（2）根据，可将AE解出，即求出⊙O的直径；
（3）根据等角代换得出，然后根据CF:CD=2:1，可得AC=CF，继而根据斜边中线等于斜边一半得出，在中，求出sin∠CAB即可．
【详解】证明：（1）连接，

，
，
∴是直径
∴，即，
又∵ 是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴；
（2）在 和中，
，
故可得，
从而 ，即，
解得：AE=2；
即⊙O的直径为2．
（3），
，
， 是的中点，
，
，
在中，．
故可得．
本题主要考查圆周角定理、切线的性质及相似三角形的性质和应用，属于圆的综合题目，难度较大，解答本题的关键是熟悉各个基础知识的内容，并能准确应用．
21、（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据两角对应相等证，由对应边成比例得比例式，化等积式即可；（2）根据两角对应相等证，由对应边成比例得比例式后化等积式，再由AB=CD进行等量代换即可得结论.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°,

∵AE⊥BD
∴

∵ ∠AEB=∠C=90°

(2)

又

本题考查相似三角形的判定及性质，正确找出相似条件是解答此题的关键.
22、 (1) ；(2) x1＝，x2＝．
【分析】（1）sin30°=，cos45°=，sin230°+cos245°=（）2+（）2=
（2）用公式法：化简得，a=1,b=1,c=-3,b-4ac=13,∴x=.
【详解】解：（1）原式＝（）2+（）2＝；
（2）x（x+1）＝3，
x2+x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，b﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
本题的考点是三角函数的计算和解一元二次方程.方法是熟记特殊三角形的三角函数及几种常用的解一元二次方程的方法.
23、（1）y＝，y＝1x+1；（1）四边形MBOC的面积是2．
【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（1）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四边形，根据面积公式即可求得．
【详解】解：（1）∵BM＝OM＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，
则﹣1＝，得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A的纵坐标是2，
∴2＝，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，2），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，2）、点B（﹣1，﹣1），
∴，解得，
即一次函数的解析式为y＝1x+1；
（1）∵y＝1x+1与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，1），
∵点B（﹣1，﹣1），点M（﹣1，0），
∴OC＝MB＝1，
∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝2．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．
24、见解析
【分析】计算判别式，并且配方得到△=，然后根据判别式的意义得到结论．
【详解】二次函数
∵，，，
∴

，
而，
∴，即为任何实数时， 方程都有两个不等的实数根，
∴二次函数的图象与轴都有两个交点．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
25、（1）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000；（2）
第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
【解析】试题分析：（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
试题解析：（1）当1≤x＜50时，y=（x+40﹣30）(200-2x)=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，y=（90﹣30）（200-2x）=﹣120x+12000；
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；
当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，
因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
26、（1）见解析；（2）DN-BM=MN
【分析】（1）根据题意延长CB至E使得BE=DN，连接AE，利用全等三角形判定证明△ABE≌△AND和△EAM≌△NAM，等量代换即可求证BM+DN=MN；
（2）由题意在DN上截取DE=MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中
∵AD=AB∠D=∠ABEDN=BE，
△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中
AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN；
（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN-BM=MN．
证明：如图2，在DN上截取DE=MB，连接AE，

∵AD=AB，∠D=∠ABM=90°，BM=DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM=AE；∠MAB=∠EAD，
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中，AM＝AE，∠MAN＝∠EAN，AN＝AN，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
∵DN-DE=EN，
∴DN-BM=MN．
本题为四边形的综合题，考查知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等，熟练利用全等三角形判定定理以及作辅助线技巧构造三角形全等是解题的关键．