资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列事件中，随机事件是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180° B．经过有交通信号的路口，遇到红灯
C．在只装了红球的袋子中摸到白球 D．太阳从东方升起
2．抛物线y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是( )
A．(0，﹣1) B．(﹣2，﹣1) C．(2，﹣1) D．(0，1)
3．如图，中，，顶点，分别在反比例函数（）与（）的图象上.则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是反比例函数，则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
5．正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
6．若，则的值为( )
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球，其中8个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球实验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，记下其颜色，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
摸出黑球次数
49
425
1722
3208
16698
33329
根据列表，可以估计出m的值是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
9．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系数中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．若点A(-3，m)，B(3,m)，C(-1，m+n²+1)在同一个函数图象上，这个函数可能是( )
A．y＝x+2 B． C．y＝x²+2 D．y＝-x²-2
12．有一组数据：2，﹣2，2，4，6，7这组数据的中位数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（每题4分，共24分）
13．关于x的一元二次方程x2+nx﹣12＝0的一个解为x＝3，则n＝_____．
14．如图，在中，平分交于点，垂足为点，则__________．
15．在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是__________．
16．足球从地面踢出后，在空中飞行时离地面的高度与运动时间的关系可近似地表示为，则该足球在空中飞行的时间为__________．
17．如图，在半径为5的⊙中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为_____．
18．如图，正方形的顶点、在圆上，若，圆的半径为2，则阴影部分的面积是__________．（结果保留根号和）
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，3)，C(0，1)．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(－5，－3)，画出平移后的△A2B2C2，并写出B2，C2的坐标；
（3）若△A2B2C2和△A1B1C1关于点P中心对称，请直接写出对称中心P的坐标．
20．（8分）已知二次函数（、为常数）的图像经过点和点.
（1）求、的值；
（2）如图1，点在抛物线上，点是轴上的一个动点，过点平行于轴的直线平分，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点是抛物线上的一动点，以为圆心、为半径的圆与轴相交于、两点，若的面积为，请直接写出点的坐标.
21．（8分）如图，为外接圆的直径，点是线段延长线上一点，点在圆上且满足，连接，，，交于点.
（1）求证：.
（2）过点作，垂足为，，，求证：.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点且与反比例函数在第一象限的图象交于点轴于点.
根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围；
动点在轴上，轴交反比例函数的图象于点.若.求点的坐标.
23．（10分）为倡导绿色出行，某市推行“共享单车”公益活动，在某小区分别投放甲、乙两种不同款型的共享单车，甲型、乙型单车投放成本分别为元和元，乙型车的成本单价比甲型车便宜元，但两种类型共享单车的投放量相同，求甲型共享单车的单价是多少元？
24．（10分）三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹）
25．（12分）求下列各式的值：
（1）2sin30°﹣3cos60°
（2）16cos245°﹣．
26．现有三张分别标有数字-1,0,3的卡片，它们除数字外完全相同，将卡片背面朝上后洗匀.
（1）从中任意抽取一张卡片，抽到标有数字3的卡片的概率为 ；
（2）从中任意抽取两张卡片，求两张卡片上的数字之和为负数的概率.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】由题意根据随机事件就是可能发生也可能不发生的事件这一定义，依次对选项进行判断．
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，不符合题意；
B、经过有交通信号的路口遇到红灯，是随机事件，符合题意；
C、在只装了红球的袋子中摸到白球，是不可能事件，不符合题意；
D、太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
2、C
【解析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.
【详解】解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，
∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．
故选：C．
本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.
3、C
【解析】 【分析】过A作AF垂直x轴，过 B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F， E，得出 ，可得出，再根据反比例函数的性质得出两个三角形的面积，继而得出两个三角形的相似比，再逐项判断即可．
【详解】解：过A作AF垂直x轴，过 B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F， E，
由题意可得出 ，
继而可得出
顶点，分别在反比例函数 （）与 （）的图象上
∴
∴
∴
∴
A. ，此选项错误，
B. ，此选项错误；
C. ，此选项正确；
D. ，此选项错误；
故选：C．
本题考查的知识点是反比例函数的性质以及解直角三角形，解此题的关键是利用反比例函数的性质求出两个三角形的相似比．
4、A
【分析】首先根据反比例函数的定义，即可得出，进而得出反比例函数解析式，然后根据其性质，即可判定其所在的象限.
【详解】根据已知条件,得
即
∴函数解析式为
∴此反比例函数的图象在第一、三象限
故答案为A.
此题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.
5、B
【分析】作OE⊥AD于E,连接OD,在Rt△ODE中,根据垂径定理和勾股定理即可求解.
【详解】解：
作OE⊥AD于E,连接OD,则OD=.
在Rt△ODE中,易得∠EDO为45，△ODE为等腰直角三角形，ED=OE,
OD=== .
可得：ED=1，
AD=2ED=2，
所以B选项是正确的.
此题主要考查了正多边形和圆,本题需仔细分析图形,利用垂径定理与勾股定理即可解决问题.
6、A
【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【详解】由，得
4b＝a−b．，解得a＝5b，
故选：A．
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．
7、A
【分析】根据直角三角形的性质得到AC=BC=2，∠B=60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=BC=2，∠B=60°，
∴阴影部分的面积=S△ACB-S扇形BCD=×2×2-=
故选：A．
本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8、C
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于，
由题意得：，
解得：m=24，
故选：C．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
9、B
【解析】选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以A错误；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以B正确；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以C错误；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以D错误．
故选B．
点睛：在函数与中，相同的系数是“”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关.
10、C
【分析】根据ab>0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．
【详解】解：.A.根据一次函数可判断a>0，b<0，即ab<0，故不符合题意，
B. 根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意，
C. 根据一次函数可判断a<0，b<0，即ab>0，根据反比例函数可判断ab>0，故符合题意，
D.根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意．
故选：C．
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质是解决问题的关键．
11、D
【分析】先根据点A、B的坐标可知函数图象关于y轴对称，排除A、B选项；再根据点C的纵坐标大于点A的纵坐标，结合C、D选项，根据y随x的增减变化即可判断.
【详解】
函数图象关于y轴对称，因此A、B选项错误
又
再看C选项，的图象性质：当时，y随x的增大而减小，因此错误
D选项，的图象性质：当时，y随x的增大而增大，正确
故选：D.
本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质是解题关键.
12、B
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
【详解】解：将这组数据排序得：﹣2，2，2，4，6，7，
处在第3、4位两个数的平均数为（4+2）÷2＝3，
故选：B．
考查中位数的意义和求法，找一组数据的中位数需要将这组数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数即为中位数．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝3代入x2+nx﹣12＝0中可得到关于n的方程，然后解此方程即可．
【详解】把x＝3代入x2+nx﹣12＝0，得9+3n﹣12＝0，解得n＝1．故答案是：1．
本题考查一元二次方程解得概念，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
14、
【分析】首先解直角三角形得出BC，然后根据判定DE∥AC，再根据平行线分线段成比例即可得出，再利用角平分线的性质，得出CE=DE，然后构建方程，即可得出DE.
【详解】∵
∴
又∵
∴DE∥AC
∴
又∵CD平分
∴∠ACD=∠BCD=∠CDE=45°
∴CE=DE
∴
∴
故答案为.
此题主要考查利用平行线分线段成比例的性质构建方程，即可解题.
15、
【分析】根据弧长公式：即可求出结论．
【详解】解：由题意可得：弧长=
故答案为：．
此题考查的是求弧长，掌握弧长公式是解决此题的关键．
16、9.8
【分析】求当t=0时函数值，即与x轴的两个交点，两个交点之间的距离即足球在空中飞行的时间.
【详解】解：当t=0时，
解得：
∴足球在空中的飞行时间为9.8s
故答案为：9.8
本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想球解题，求抛物线与x轴的交点是本题的解题关键
17、8或
【解析】根据题意，以为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例关系求解即可，当AB=BP时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可．
【详解】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP， 过点O作OH⊥AB于点H，
∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，
由垂径定理可知，
∴，
在Rt△OAH中，
在Rt△CAP中， ，且
∴，
在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，
∴Rt△PAG∽Rt△PCA
∴ ，则，
∴；
②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，
∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，
∴BC=AB=8
故答案为8或
本题考查了圆的性质及圆周角定理、相似三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证．
18、
【分析】设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF为圆的直径，从而求出AF，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求出∠AFB和BF，然后根据平行线的性质、锐角三角函数和圆周角定理，即可求出OG、AG和∠EOF，最后利用S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF计算即可．
【详解】解：设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABF=90°，AD∥BC，BC=CD=AD=cm
∴AF为圆的直径
∵，圆的半径为2，
∴AF=4cm
在Rt△ABF中sin∠AFB=，BF=
∴∠AFB=60°，FC=BC－BF=
∴∠EAF=∠AFB=60°
∴∠EOF=2∠EAF=120°
在Rt△AOG中，OG=sin∠EAF·AO=，AG= cos∠EAF·AO=1cm
根据垂径定理，AE=2AG=2cm
∴S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF
=
=
=
故答案为：．
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握正方形的性质、90°的圆周角对应的弦是直径、垂径定理、勾股定理和锐角三角函数的结合和扇形的面积公式是解决此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析，A1(3，1)，B1(1，－1)． （2）见解析，B2(－3，－1)，C2(－2，－3)． （3）（-1，-1）
【分析】（1）依据以点C为旋转中心旋转180°，即可画出旋转后的△A1B1C1；
（2）依据点A的对应点A2的坐标为（−5，−3），即可画出平移后的△A2B2C2；
（3）依据中心对称的性质，即可得到对称中心P的坐标．
【详解】(1)如图所示，△A1B1C1为所作三角形，A1(3，1)，B1(1，－1)．
(2)如图所示，△A2B2C2为所作三角形，B2(－3，－1)，C2(－2，－3)．
(3)对称中心P的坐标为(－1，－1)．
本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20、（1），；（2）；（3）或或
【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b，c的二元一次方程组求解即可
(2) 过点作，过点作.证明△CMD相似于△AME，再根据对应线段成比例求解即可
(3)根据题意设点P的纵坐标为y，首先根据三角形面积得出EF与y的关系，再利用勾股定理得出EF与y的关系，从而得出y的值，再代入抛物线解析式求出x的值，得出点坐标.
【详解】解：(1)把和代入得：
解方程组得出：
所以，
，
(2)由已知条件得出C点坐标为，设.过点作，过点作.
两个直角三角形的三个角对应相等，
∴
∴
∴
∵解得：
∴
(3)设点P的纵坐标为y,由题意得出，，
∵MP与PE都为圆的半径，
∴MP=PE
∴
整理得出，
∴
∵
∴y=1,
∴当y=1时有，，解得，；
∴当y=-1时有，，此时，x=0
∴综上所述得出P的坐标为：或或
本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.
21、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；
（2）构造全等三角形，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出OM＝PE，得出△ODM≌△PDE即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）证明：连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
设圆半径为，在中，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，又为中点，
∴，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴.
此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，全等三角形的判定和学生，解本题的关键是构造全等三角形，难点是找OM＝PE．
22、或.或.
【分析】(1)根据函数图象即可得出答案
(2)由已知条件得出点C的坐标为（2，5），再利用B,C的坐标求出直线AC的解析式，可求出A的坐标为（-2，0），由已知条件得出三角形POQ的面积为5，则三角形PAC的面积为10，再利用三角形面积公式可求出PA的值，进而确定P点的坐标.
【详解】解： 由已知图象得出，
当时，y<0,
当x=2时，y=5,∴时，
所以，x的取值范围为：或.
轴于点.点的横坐标为.
把代入反比例函数，得.
设直线的解析式为，
把代入，得
直线的解析式为
令，解得.
轴，点在反比例函数的图象上
则，
或.
本题是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，用到的知识点有一次函数的图象与二次函数的图象与性质，此类题目往往需要利用数形结合的方法来求解.
23、甲型共享单车的单价是元．
【分析】设甲型共享单车的单价是元，根据两种类型共享单车的投放量相同列方程求解即可．
【详解】解：设甲型共享单车的单价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
原方程的解是，
答：甲型共享单车的单价是元．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
24、见解析
【解析】分别作过乙，丙的头的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，连接点光源和甲的头的顶端并延长交平面于一点，这点到甲的脚端的距离是就是甲的影长．
解：
．
25、（1）；（2）．
【分析】（1）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案；
（2）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】（1）2sin30﹣3cos60
＝2×﹣3×
＝1﹣
＝﹣；
（2）16cos245﹣tan260
＝16×（）2﹣×（）2
＝8﹣
＝．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
26、（1）；（2）.
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用画树状图得出全部可能的情况，再找出符合题意的情况，即可得出所求概率．
【详解】解：（1），
∴抽到标有数字3的卡片的概率为；
（2）解：用树状图列出所有可能出现结果：
共有6种等可能结果，其中2种符合题意．
∴（数字之和为负数）=．
本题考查的知识点是用树状图法求事件的概率，根据题意找出全部可能的情况，再找出符合题意的情况是解此题的关键．
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