资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．我市参加教师资格考试的人数逐年增加，据有关部门统计，2017年约为10万人次，2019年约为18.8万人次，设考试人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是
A．10（1+2x）=18.8 B．=10
C．=18.8 D．=18.8
2．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（ ）
A．5% B．20% C．15% D．10%
3．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定
4．下列计算中，结果是的是
A． B． C． D．
5．在下面的计算程序中，若输入的值为1，则输出结果为（ ）．
A．2 B．6 C．42 D．12
6．若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
7．如图是一个正八边形，向其内部投一枚飞镖，投中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如下图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A． B． C． D．
9．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．24
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，则tanB的值是( )
A． B． C． D．
11．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是( )
A．x(x﹣1)＝21 B．x(x﹣1)＝42
C．x(x+1)＝21 D．x(x+1)＝42
12．如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，若a＝2，则b的值是（ ）
A． B． C．+1 D．+1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为_____°．
14．当_____时，是关于的一元二次方程.
15．抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标是_____．
16．钟表的轴心到分钟针端的长为那么经过分钟，分针针端转过的弧长是_________________.
17．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为______．
18．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连结AB．
(1)求证：AB2=AE·AD；
(2)若AE=2，ED=4，求图中阴影的面积．
20．（8分）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
21．（8分）如图，已知二次函数的顶点为（2，），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）连结AB、AC，求△ABC面积．
22．（10分）如图，在O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°.
(1)求∠AOC的度数.
(2)若弦BC=8cm，求图中劣弧BC的长.
23．（10分）如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）求BC的长；
（2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．
（3）求CD的长．
24．（10分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线AC的上方的抛物线上，有一点P（不与点M重合），使△ACP的面积等于△ACM的面积，请求出点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点Q，使得△QAM为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以OC为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标；
（3）结合图象，请直接写出不等式≥ax+b的解集．
26．计算：2cos230°+﹣sin60°．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据增长率的计算公式：增长前的数量×（1+增长率）增长次数=增长后数量，从而得出答案．
【详解】根据题意可得方程为：10（1+x）2=18.8，
故选：C．
本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是明确基本的计算公式．
2、D
【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的本息和是5000（1+x）元，取3000元后余[5000（1+x）﹣3000]元，再存一年则有方程[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，解这个方程即可求解．
【详解】设定期一年的利率是x，
根据题意得：一年时：5000（1+x），
取出3000后剩：5000（1+x）﹣3000，
同理两年后是[5000（1+x）﹣3000]（1+x），
即方程为[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，
解得：x1＝10%，x2＝﹣150%（不符合题意，故舍去），即年利率是10%．
故选：D．
此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和 = 本金 ×(1+ 利率 × 期数），难度一般．
3、C
【解析】点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外.
【详解】∵点P到圆心O的距离为4.5，⊙O的半径为4，
∴点P在圆外.
故选：C.
此题考查点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离d的距离与半径r的大小确定点与圆的位置关系.
4、D
【解析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算后利用排除法求解.
【详解】解：
A、a2+a4≠a6，不符合；
B、a2•a3=a5，不符合；
C、a12÷a2=a10，不符合；
D、(a2)3=a6，符合.
故选D.
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方．需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错.
5、C
【分析】根据程序框图，计算，直至计算结果大于等于10即可．
【详解】当时，，继续运行程序，
当时，，继续运行程序，
当时，，输出结果为42，
故选C．
本题考查利用程序框图计算代数式的值，按照程序运算的规则进行计算是解题的关键．
6、A
【分析】将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的长度与矩形相等的一条边上的高为矩形的一半，即AB＝2AE．
【详解】解：将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，
平行四边形ABCD是原矩形变化而成，
∴FG＝BC，FH＝2AE．
又∵HF＝AB，
∴AB＝2AE，
在Rt△ABE中，AB＝2AE，
∠B＝30°．
故选：A．
本题考查了矩形各内角为90的性质，平行四边形面积的计算方法，特殊角的三角函数，本题中利用特殊角的正弦函数是解题的关键．
7、B
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．根据正八边形性质求出阴影部分面积占总面积之比，进而可得到答案
【详解】解：由正八边形性质可知∠EFB=∠FED=135°，故可作出正方形．
则是等腰直角三角形，设，则，，正八边形的边长是．
则正方形的边长是．
则正八边形的面积是：，
阴影部分的面积是：．
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：．
本题考查了几何概率的求法：一般用阴影区域表示所求事件（A）；首先根据题意将代数关系用面积表示出来；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．同时也考查了正多边形的计算，根据正八边形性质构造正方形求面积比是关键．
8、C
【解析】两对对应点的连线的交点即为位似中心，连接OD、AC，交点为（2，2，）即位似中心为（2，2，）；k=OA：CD=6：3=2，故选C．
9、C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.
【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直且平分,
∴勾股定理求出菱形的边长=5,
∴菱形的周长=20,
故选C.
本题考查了菱形对角线的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
10、C
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出BC的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
【详解】∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，
∴AB=2CD=10，
根据勾股定理，BC=
tanB=．
故选C．
本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．
11、B
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：x（x-1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数=21场，依此等量关系列出方程即可．
【详解】设这次有x队参加比赛,则此次比赛的总场数为x(x−1)场，
根据题意列出方程得：x(x−1)=21，
整理,得：x(x−1)=42，
故答案为x(x−1)=42.
故选B.
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确找到等量关系是解题的关键.
12、C
【分析】从图中可以看出，正方形的边长＝a+b，所以面积＝（a+b）2，矩形的长和宽分别是2b+a，b，面积＝b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得＝（a+b）2＝b（a+2b），其中a＝2，求b的值，即可．
【详解】解：根据图形和题意可得：
（a+b）2＝b（a+2b），
其中a＝2，
则方程是（2+b）2＝b（2+2b）
解得：，
故选：C．
此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝125°，
∴∠C＝1°，
故答案为：1．
本题考查了圆内接四边形的性质，理解圆内接四边形的对角互补的性质是解答本题的关键.
14、
【分析】根据一元二次方程的定义得到m−1≠0，解不等式即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴m−1≠0，
∴m≠1，
故答案为：.
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．
15、（0，0）
【解析】令x=0求出y的值，然后写出即可．
【详解】令x=0，则y=0，
所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，0）．
故答案为（0，0）．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．
16、
【分析】钟表的分针经过40分钟转过的角度是，即圆心角是，半径是，弧长公式是，代入就可以求出弧长．
【详解】解：圆心角的度数是：，
弧长是．
本题考查了求弧长，正确记忆弧长公式，掌握钟面角是解题的关键．
17、1：1．
【解析】试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：1.
考点：相似三角形的性质.
18、1
【分析】依题意可知所求的长度等于AB的长，通过解直角△ABC即可求解．
【详解】如图，∵∠BAC＝30，∠ACB＝90，AC＝，
∴AB＝AC/cos30＝（m）．
故答案是：1．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．
三、解答题（共78分）
19、 (1)见解析;(2) 2π-3.
【解析】（1）点A是劣弧BC的中点，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可证得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=AE•AD.
(2) 连结OA，由S阴影=S扇形AOB-S△AOB求出即可.
【详解】(1)证明：∵点A是劣弧BC的中点，
∴=
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABE∽△ADB．
∴ ．
∴AB2=AE•AD．
(2)解：连结OA
∵AE=2，ED=4，
由(1)可知
∴AB2=AE•AD，
∴AB2=AE•AD=AE(AE+ED)=2×6=1．
∴AB=(舍负)．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
在Rt△ABD中，BD=
∴OB=．
∴OA=OB=AB=
∴△AOB为等边三角形
∴∠AOB=60°．
S阴影=S扇形AOB-S△AOB=
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质, 圆周角定理, 切线的性质, 解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质, 圆周角定理, 切线的性质, 解直角三角形.
20、，此时方程的根为
【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x1=x2=1．
此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
21、（1）；（2）.
【分析】（1）设该二次函数的解析式为，因为顶点（2，-1），可以求出h,k,将A（0，3）代入可以求出a，即可得出二次函数解析式.
（2）由（1）求出函数解析式，令y等于0可以求出函数图像与x轴的两个交点为B,C两点，然后利用面积公式,即可求出三角形ABC的面积.
【详解】（1）设该二次函数的解析式为
∵顶点为（2，）
∴
又∵图象经过A（0，3）
∴ 即
∴该抛物线的解析式为
（2）当时，，解得，
∴C（3，0） B（1，0）
得
∴.
熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积公式是本题的解题关键.
22、（1）60°；（2）
【分析】（1）先根据垂径定理得出BE=CE，，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；
（2）连接OB，先根据勾股定理得出OE的长，由弦BC=8cm，可得半径的长，继而求劣弧的长；
【详解】解：
（1）连接OB，
∵BC⊥OA，
∴BE=CE，，
又∵∠ADB=30°，
∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB，
∴∠AOC=60°；
（2）连接OB得，∠BOC=2∠AOC=120°，
∵弦BC=8cm，OA⊥BC，
∴CE=4cm，
∴OC=cm，
∴劣弧的长为：
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，掌握勾股定理，垂径定理，圆周角定理是解题的关键.
23、（1）；（2）△ABD是等腰直角三角形，见解析；（3）
【解析】（1）由题意根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC的长；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义AD=BD，进而即可判断△ABD为等腰直角三角形；
（3）由题意过点A作AE⊥CD，垂足为E，可知，分别求出CE和DE的长即可求出CD的长．
【详解】解：（1）∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90o
在Rt△ABC中，.
（2）连接AD和BD，
∵CD平分∠ACB，∠ACD=∠BCD，
∴即有AD=BD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形 .
（3）过点A作AE⊥CD，垂足为E，
在Rt△ACE中，
∵CD平分∠ACB，且∠ACB=90o
∴CE=AE=AC=
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2 ，得出
在Rt△ADE中，
∴.
本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．以及其推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径进行分析．
24、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为：（2，3）；（3）存在，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；
（2）过点M作直线m∥AC，在AC下方作等距离的直线n，直线n与抛物线交点即为点P，即可求解；
（3）分AM时斜边、AQ是斜边、MQ是斜边三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作直线m∥AC，直线m与抛物线交点即为点P，
设直线m的表达式为：y＝﹣x+b，
点M（1，4），则直线m的表达式为：y＝﹣x+5，
联立方程组，
解得：x＝1（舍去）或2；
故点P的坐标为：（2，3）；
（3）设点Q的坐标为：（0，m），而点A、M的坐标分别为：（3，0）、（1，4）；
则AM2＝20，AQ2＝9+m2，MQ2＝（m﹣4）2+1＝m2﹣8m+17；
当AM时斜边时，则20＝9+m2+m2﹣8m+17，解得：m＝1或3；
当AQ是斜边时，则9+m2=20+ m2﹣8m+17，解得m＝；
当MQ是斜边时，则m2﹣8m+17=20+9+m2，解得m＝﹣，
综上，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
25、（1）y＝x﹣1；y＝；（1）点P1的坐标为（，0），点P1的坐标为（﹣，0），（11，0）；（3）0＜x≤2
【解析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D点，利用勾股定理看求出OC的长，分OC＝OP和CO＝CP两种情况考虑：①当OP＝OC时，由OC的长可得出OP的长，进而可求出点P的坐标；②当CO＝CP时，利用等腰三角形的性质可得出OD＝PD，结合OD的长可得出OP的长，进而可得出点P的坐标；
（3）观察图形，由两函数图象的上下位置关系，即可求出不等式≥ax+b的解集．
【详解】解：（1）将A（4，0），B（0，﹣1）代入y＝ax+b，得：
，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1．
当x＝2时，y＝x﹣1＝1，
∴点C的坐标为（2，1）．
将C（2，1）代入y＝，得：1＝，
解得：k＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝．
（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D点，则OD＝2，CD＝1，
∴OC＝．
∵OC为腰，
∴分两种情况考虑，如图1所示：
①当OP＝OC时，∵OC＝，
∴OP＝，
∴点P1的坐标为（，0），点P1的坐标为（﹣，0）；
②当CO＝CP时，DP＝DO＝2，
∴OP＝1OD＝11，
∴点P3的坐标为（11，0）．
（3）观察函数图象，可知：当0＜x＜2时，反比例函数y＝的图象在直线y＝x﹣1的上方，
∴不等式≥ax+b的解集为0＜x≤2．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次（反比例）函数的关系式；（1）分OC=OP和CO=CP两种情况求出点P的坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
26、
【分析】先根据特殊三角函数值计算,然后再进行二次根式的加减.
【详解】原式=,
=,
=.
本题主要考查特殊三角函数值,解决本题的关键是要熟练掌握特殊三角函数值.
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