资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列事件中，不可能事件的是（ ）
A．投掷一枚均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次
B．任意一个五边形的外角和等于
C．从装满白球的袋子里摸出红球
D．大年初一会下雨
2．二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣7＜y＜﹣4 B．﹣7＜y≤﹣3 C．﹣7≤y＜﹣3 D．﹣4＜y≤﹣3
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任意画两个圆，这两个圆是等圆 B．⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外
C．直径所对的圆周角为直角 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
4．抛物线（）的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，下列结论是：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，分别以A、D为圆心，AE和DF长为半径画圆弧交于点P．以下说法正确的是( )
①∠PAD=∠PDA=60º； ②△PAO≌△ADE；③PO=r；④AO∶OP∶PA=1∶∶.
A．①④ B．②③ C．③④ D．①③④
7．如图，AD是的一条角平分线，点E在AD上．若， ，则与的面积比为（ ）
A．1:5 B．5:1 C．3:20 D．20:3
8．由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，从正面看这个几何体得到的平面图形是( )
A． B． C． D．
9．将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）
A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2 C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣6
10．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．
12．把配方成的形式为__________．
13．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．
14．如图，内接于， 则的半径为__________．
15．2019年元旦前，无为米蒂广场开业期间，某品牌服装店举行购物酬宾抽奖活动，抽奖箱内共有15张奖券，4张面值100元，5张面值200元，6张面值300元，小明从中任抽2张，则中奖总值至少300元的概率为_____．
16．已知扇形半径为5cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm．
17．已知，=________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．
20．（6分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（6分）如图1，抛物线y = ax2+bx-3经过A、B、C三点，己知点A(-3，0)、C (1， 0)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B重合)．
①过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求 出此时P点的坐标；
②如图2，连接AP，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，当它恰好有一个顶点落在抛物 线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．
22．（8分）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值.
23．（8分）国家计划2035年前实施新能源汽车，某公司为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，决定对近期研发出的一种新型能源产品进行降价促销.根据市场调查：这种新型能源产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个新型能源产品的成本为100元.
问：（1）设该产品的销售单价为元，每天的利润为元.则_________（用含的代数式表示）
（2）这种新型能源产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
24．（8分）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．
(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？
①正方形是自相似菱形；
②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．
③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．
(2)如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．
①求AE，DE的长；
②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．
25．（10分） “五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到________元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
26．（10分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的跳水运动员人数为 ，图①中m的值为 ；
（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、投掷一枚硬币10次，有5次正面朝上是随机事件；
B、任意一个五边形的外角和是360°是确定事件；
C、从装满白球的袋子里摸出红球是不可能事件；
D、大年初一会下雨是随机事件，
故选：C．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2、B
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．
【详解】解：∵y＝﹣x2+2x﹣4，
＝﹣（x2﹣2x+4）
＝﹣（x﹣1）2﹣1，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，
∴﹣1＜x＜2时，x＝1取得最大值为﹣1，
x＝﹣1时取得最小值为﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣4＝﹣7，
∴y的取值范围是﹣7＜y≤﹣1．
故选：B．
本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
3、A
【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】A．任意画两个圆，这两个圆是等圆，属于随机事件，符合题意；
B．⊙O的半径为5，OP=3，点P在⊙O外，属于不可能事件，不合题意；
C．直径所对的圆周角为直角，属于必然事件，不合题意；
D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，属于必然事件，不合题意；
故选：A．
本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4、D
【分析】根据二次函数的对称性补全图像，再根据二次函数的性质即可求解.
【详解】如图，∵与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
实验求出二次函数与x轴的另一个交点为（-2,0）
故可补全图像如下，
由图可知a＜0，c＞0，对称轴x=1,故b＞0，
∴，①错误，
②对称轴x=1,故x=-,∴，正确；
③如图，作y=2图像，与函数有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，正确；④∵x=-2时，y=0,即，正确；⑤∵抛物线的对称轴为x=1,故点在该抛物线上，则，正确；
故选D
此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的对称性.
5、A
【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=1，从而求解．
解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=120°，而∠BAC+∠BAF=120°，
∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，∴CH=BH，
∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=1．
∴，
∴BC＝2BH＝2．
故选A．
“点睛”本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
6、C
【解析】解：∵A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，
∴，
∴AE=DF＜AD，
根据题意得：AP=AE，DP=DF，
∴AP=DP＜AD，
∴△PAD是等腰三角形，∠PAD=∠PDA≠60°，①错误；
连接OP、AE、DE，如图所示，
∵AD是⊙O的直径，
∴AD＞AE=AP，②△PAO≌△ADE错误，∠AED=90°，∠DAE=30°，
∴DE=r，AE=DE=r，
∴AP=AE=r，
∵OA=OD，AP=DP，
∴PO⊥AD，
∴PO=r，③正确；
∵AO：OP：PA=r：r：r=1：：．
∴④正确；
说法正确的是③④，
故选C．
7、C
【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=3：2，再根据三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED，根据S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得．
【详解】解：∵AE：ED=3：2，
∴AE：AD=3：5，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴S△ABE：S△ACD=9：25，
∴S△ACD=S△ABE，
∵AE：ED=3：2，
∴S△ABE：S△BED=3：2，
∴S△ABE=S△BED，
∴S△ACD=S△ABE=S△BED，
∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=S△BED+S△BED+S△BED=S△BED，
∴S△BDE：S△ABC=3：20，
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．
8、A
【解析】根据题意，由题目的结构特点，依据题目的已知条件，正视图是有两行，第一行两个，第二行三个且右对齐，从而得出答案.即可得到题目的结论.
【详解】从正面看到的平面图形是：
，故选A.
此题主要考查的是简单的组合体的三视图等有关知识，题目比较简单，通过考查，了解学生对简单的组合体的三视图等知识的掌握程度.熟练掌握简单的组合体的三视图是解决本题的关键.
9、A
【解析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.
【详解】抛物线向右平移3个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
本题主要考查二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减.
10、C
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是1；
（1）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、a=0，故本选项错误；
B、有两个未知数，故本选项错误；
C、本选项正确；
D、含有分式，不是整式方程，故本选项错误；
故选：C．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】试题分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．共有正反，正正，反正，反反4种可能，则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为.
故答案为.
考点：概率公式．
12、
【分析】对二次函数进行配方，即可得到答案．
【详解】
=
=
=．
故答案是：．
本题主要考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的配方，是解题的关键．
13、
【解析】根据相似三角形的性质直接解答即可．
解：∵两个相似三角形的周长比是1：3，
∴它们的面积比是，即1：1．
故答案为1：1．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
14、2
【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=得到△ABC是等边三角形，即可得到半径OA=AB=2.
【详解】连接OA、OB，
∵，
∴∠AOB=，
∵OA=OB，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA=AB=2，
故答案为：2.
此题考查圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
15、．
【分析】有15张奖券中抽取2张的所有等可能结果数为种，其中中奖总值低于300元的有种知中奖总值至少300元的结果数为种，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：从15张奖券中抽取2张的所有等可能结果数为15×14＝210种，
其中中奖总值低于300元的有4×3＝12种，
则中奖总值至少300元的结果数为210﹣12＝198种，
所以中奖总值至少300元的概率为＝，
故答案为：．
本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键根据题意得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数．
16、
【分析】直接利用弧长公式进行计算．
【详解】解：由题意得：=,
故答案是：
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键．
17、
【分析】先去分母，然后移项合并，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法.
18、2．
【分析】在中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在中，再求出AB即可．
【详解】解：在Rt△BDC中，
∵BC＝4，sin∠DBC＝，
∴，
∴，
∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABD中，
∴，
故答案为：2．
考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1)见解析;(2)4.8cm,MN＝9.6cm．
【分析】（1）先由切线长定理和平行线的性质可求出∠OBC+∠OCB＝90°，进而可求∠BOC＝90°，然后证明∠NMC=90°，即可证明MN是⊙O的切线；
（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，通过证明△NMC∽△BOC，即可求出MN的长.
【详解】（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠DCB）＝×180°＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°＝90°.
∵MN∥OB，
∴∠NMC＝∠BOC＝90°，
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接OF，则OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC＝＝＝10，
∵S△BOC＝•OB•OC＝•BC•OF，
∴6×8＝10×OF，
∴OF＝4.8cm，
∴⊙O的半径为4.8cm，
由（1）知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，
∴△NMC∽△BOC，
∴，即＝，
∴MN＝9.6（cm）．
本题主要考查的是切线的判定与性质，切线长定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积等有关知识.熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
20、（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
考点：二次函数综合题．
21、（1）y = x2+2x﹣3；（2）①（﹣，），②（﹣－1，2）或（，）或(-1，-4)
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）①由抛物线解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，求出点B（0，-3），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b求出k=-1，b=-3，直线AB的解析式为y=﹣x﹣3，设E（x，﹣x﹣3），则PE=﹣（x+）2+，从而得当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；
②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的顶点落在抛物线对称轴上的情况有两种情况，i) 当点N在抛物线对称轴直线x=﹣1上；ii）当点M在抛物线对称轴直线x=﹣1；根据这两种情况，作出图形，找到线段之间的等量关系，解之即可．.
【详解】（1）把A（﹣3,0）和C（1,0）代入y = ax2+bx﹣3得，
，解得，
∴抛物线解析式为y = x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y=kx+b，
①由抛物线解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
当x=﹣时，y= x2+2x﹣3=，
∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）.
②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的顶点落在抛物线对称轴上的情况有三种：
i)当点N在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，作PR⊥x轴于点R，设对称轴与x轴的交点为L，如图①，
∵四边形APMN为正方形，
∴AN=AP，∠PAR+∠RAN=90°，
∵∠PAR+∠APR=90°，
∴∠APR=∠RAN，
在△APR和△NAL中
∴△APR≌△NAL（AAS），
∴PR=AL，
∵AL=﹣1－（﹣3）=2，
∴PR=2，此时x2+2x﹣3=2，解得x1=－1，x2=﹣－1，
∵P在直线AB下方，
∴x=﹣－1，
∴P（﹣－1，2）；
ii)当点M在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，如图②，过点P作PH⊥对称轴于点H、作AG⊥HP于点G，
∵四边形APMN为正方形，
∴PA=PM，∠APM=90°，
∴∠APG+∠MPH=90°，
∵∠APG+∠GAP=90°，
∴∠GAP=∠HPM，
在△APG和△PMH中
∴△APG≌△PMH（AAS），
∴AG=PH，PG=MH，
∴GH=PG+PH
∵P(x，x2+2x-3)
∴x+3+（-x2-2x+3）=2，解得x1=，x2=，
∵P在直线AB下方，
∴x=，
∴P（，）
ⅲ) 当点P在抛物线对称轴直线x=-1.上时,P(-1，-4)，
终上所述，点P对应的坐标为（﹣－1，2）或（，）或(-1，-4).
本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式、配方法求二次函数最值、全等三角形的判定与性质等知识点，有一定综合性，难度适中．第（3）问的两种情况当中，根据图形，构造全等三角形是关键．
22、（1）；（2）m=-1.
【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根可得：△≥0，列出不等式即可求出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，分别表示出和，然后代入已知等式即可求出m的值.
【详解】（1）解：由题可知：
解出：
（2）解：由根与系数的关系得：
，
又∵
∴
解出：
此题考查的是求一元二次方程的参数的取值范围和参数的值，掌握一元二次方程根的情况与△的关系和根与系数的关系是解决此题的关键.
23、（1）或；（2）当销售单价为180元时，公司每天可获利32000元.
【分析】（1）根据总利润＝单件利润销量，用的代数式分别表示两个量，构建方程即可；
（2）由(1)所得的函数，当时,解一元二次方程即可求得答案.
【详解】（1）依题意得：
（2）公司每天可获利32000元，即,则
，
化简得：，
解得：，
答：当销售单价为180元时，公司每天可获利32000元.
本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．
24、 (1)见解析；(2)①AE=2，DE=4；②tan∠DBC=．
【分析】（1）①证明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；
②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；
③由自相似菱形的性质即可得出结论；
（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出，求出AE＝2，DE＝4即可；
②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：
如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，
∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE=90°，
在△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴△ABE∽△DCE，
∴正方形是自相似菱形，
故答案为：真命题；
②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：
如图4所示：
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，
∵点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=∠DAE=90°，
∴只能△AEB与△DAE相似，
∵AB∥CD，
∴只能∠B=∠AED，
若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE，不成立，
∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，
故答案为：假命题；
③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，
则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：
∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，
∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C=180°，△ABE与△EDC不能相似，
同理△AED与△EDC也不能相似，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，
当∠AED=∠B时，△ABE∽△DEA，
∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，
则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，
故答案为：真命题；
(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，
∴BE=2，AB=AD=4，
由(1)③得：△ABE∽△DEA，
∴
∴AE2=BE•AD=2×4=8，
∴AE=2，DE===4，
故答案为：AE=2；DE=4；
②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，
∴DN=EM，DM=EN，∠M=∠N=90°，
设AM=x，则EN=DM=x+4，
由勾股定理得：EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2，
即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2，
解得：x=1，
∴AM=1，EN=DM=5，
∴DN=EM==，
在Rt△BDN中，
∵BN=BE+EN=2+5=7，
∴tan∠DBC=，
故答案为：．
本题考查了自相似菱形的定义和判定，菱形的性质应用，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
25、（1）70；（2）画树状图见解析，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率
【解析】试题分析：（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：．
26、（1）40人；1；（2）平均数是15；众数16；中位数15.
【分析】（1）用13岁年龄的人数除以13岁年龄的人数所占的百分比，即可得本次接受调查的跳水运动员人数；用16岁年龄的人数除以本次接受调查的跳水运动员人数即可求得m的值；（2）根据统计图中给出的信息，结合求平均数、众数、中位数的方法求解即可.
【详解】解：（1）4÷10%=40（人），
m=100-27.5-25-7.5-10=1；
故答案为40，1．
（2）观察条形统计图，
∵，
∴这组数据的平均数为15；
∵在这组数据中，16出现了12次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为16；
∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有，
∴这组数据的中位数为15.
本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．
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