资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．随直线的变化而变化
2．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是
A． B． C． D．
3．方程的解是（ ）．
A．x1=x2=0 B．x1=x2=1 C．x1=0, x2=1 D．x1=0, x2=-1
4．下列二次函数中，顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是（ ）
A．y＝（x－5）2 B．y＝x2－5 C．y＝－（x＋5）2 D．y＝（x＋5）2
5．方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知=3，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
8．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何? ”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为步，股(长直角边)长为步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线的顶点坐标是__________．
12．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．
13．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树AB的高度为_______cm.
14．如图，边长为4的正六边形内接于，则的内接正三角形的边长为______________.
15．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针旋转180º，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180º，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）则拼成的这个四边形纸片的周长的最大值为___cm．
16．请将二次函数改写的形式为_________________.
17．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为___________个．
18．已知菱形中，，，边上有点点两动点，始终保持，连接取中点并连接则的最小值是_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表:
···
···
···
···
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当时，的取值范围是 .
20．（6分）解方程：
（1）(x+1)2﹣9＝0
（2）x2﹣4x﹣45＝0
21．（6分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）综合与实践
问题情境
数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，.你能求出的度数吗？
(1)小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：
思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数.
思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数.
请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程.
类比探究
(2)如图2，若点是正方形外一点，，，，求的度数.
拓展应用
(3)如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，则的面积是______.
23．（8分）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.求台灯的高(即台灯最高点E到底盘AB的距离).(结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)
24．（8分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
理解：
（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D,使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，对角线BD平分∠ABC.
求证: BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝.连接EG,若△EFG的面积为，求FH的长.
25．（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，尺，其中1尺寸，求出直径的长．
解题过程如下：
连接，设寸，则寸．
∵尺，∴寸．
在中，，即，解得，
∴寸．
任务：
（1）上述解题过程运用了 定理和 定理．
（2）若原题改为已知寸，尺，请根据上述解题思路，求直径的长．
（3）若继续往下锯，当锯到时，弦所对圆周角的度数为 ．
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，sinB＝，求DE的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】如图，设E、F、G分别为⊙O与BC、AC、MN的切点，利用切线长定理得出BC=BD+CF，DM=MG，FN=GN，AD=AF，进而可得答案．
【详解】设E、F、G分别为⊙O与BC、AC、MN的切点，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BD=BE，CF=CE，AD=AF，
∴BD+CF=BC，
∵MN与⊙O相切于G，
∴DM=MG，FN=GN，
∵△ABC的周长为18cm，BC=5cm，
∴AD+AF=18-BC-(BD+CF)=18-2BC=8cm，
∴△AMN的周长=AM+AN+MG+GN=AM+DM+AN+FN=AD+AF=8cm，
故选：B.
本题考查切线长定理，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟练掌握定理是解题关键.
2、B
【解析】分析：认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值：tan∠AOB=．故选B．
3、D
【分析】利用提公因式法解方程，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴或；
故选择：D.
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握提公因式法解方程是解题的关键.
4、C
【分析】根据二次函数的顶点式：y=a(x-m)2+k，即可得到答案．
【详解】顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的二次函数解析式为：y＝－（x＋5）2，
故选：C．
本题主要考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的顶点式y=a(x-m)2+k，其中(m，k)是顶点坐标，是解题的关键．
5、C
【解析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案.
【详解】解：∵，
∴x－1=0或x－2=0，
解得：或.
故选：C.
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.
6、B
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
【详解】解：∵ab＜0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7、D
【分析】由得出，即，整体代入原式，计算可得.
【详解】 ，
，
，
则原式.
故选：.
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用.
8、A
【分析】抛物线平移的规律是：x值左加右减，y值上加下减，根据平移的规律解答即可.
【详解】∵将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
∴，
故选：A.
此题考查抛物线的平移规律，正确掌握平移的变化规律由此列函数关系式是解题的关键.
9、A
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径，进而得出直径.
【详解】根据勾股定理，得
斜边为，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，
故答案为A.
此题主要考查了三角形的内切圆与内心，熟练掌握，即可解题.
10、D
【分析】过点作轴于点，由直角三角形的性质求出长和长即可．
【详解】解：过点作轴于点，
∵四边形为菱形，，
∴，OB⊥AC，，
∵，∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选D．
本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（-1,-3）
【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案．
【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为，
∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3）
故答案为（-1，-3）．
本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键．
12、1
【分析】根据△EBD由△ABC旋转而成，得到△ABC≌△EBD，则BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，则有∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出.
【详解】解：∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，
∴；
故答案为1．
此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．
13、420
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【详解】解：在△DEF和△DBC中，
∠D=∠D,
∠DEF=∠DCB，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
解得BC=300cm，
∵，
∴AB=AC+BC=120+300=420m，
即树高420m．
故答案为：420.
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
14、
【分析】解：如图，连接OA、OB，易得△AOB是等边三角形，从而可得OA=AB=4，再过点O作OM⊥AE于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，然后解直角△AOM求得AM的长，进而可得答案.
【详解】解：如图，连接OA、OB，则∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，
过点O作OM⊥AE于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，
在直角△AOM中，，
∴AE=2AM=.
故答案为：.
本题考查了正多边形和圆，作辅助线构造直角三角形、利用解直角三角形的知识求解是解题关键.
15、
【分析】首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形，其周长大小取决于MN的大小．然后在矩形中探究MN的不同位置关系，得到其长度的最大值与最大值，从而问题解决．
【详解】解：画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示．
图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），
又∵M1M2∥N1N2，
∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，
其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．
∵BC=6为定值，
∴四边形的周长取决于MN的大小．
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，
过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；
而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即
，
四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，
∴最大值为12+2×=12+．
故答案为：12+．
此题通过图形的剪拼，考查了动手操作能力和空间想象能力，确定剪拼之后的图形，并且探究MN的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键．
16、
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】解：；
故答案为：.
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
17、1
【分析】根据题意，连续的三个自然数各位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时不会产生进位，然后根据这个数是几位数进行分类讨论，找到所有合适的数．
【详解】解：当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，一共3个，
当这个数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，一共9个，
∴小于100的自然数中，“纯数”共有1个．
故答案是：1．
本题考查归纳总结，解题的关键是根据题意理解“纯数”的定义，总结方法找出所有小于100的“纯数”．
18、1
【分析】过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．由菱形性质和可证明，进而可得，由BM最小值为BH即可求解．
【详解】解：过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．
∵在菱形中，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴当BM最小时FG最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，
∵在菱形中， ，
∴
又∵在Rt△CHD中，，
∴，
∴，
∴AM的最小值为6，
∴的最小值是1．
故答案为：1．
本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）或；（2）或
【分析】（1）根据抛物线的对称性从表格中得出其顶点坐标，设出顶点式，任意代入一个非顶点的点的坐标即可求解.
（2）结合表格及函数解析式及其增减性解答即可.
【详解】（1）由题意得顶点坐标为.设函数为.
由题意得函数的图象经过点，
所以.
所以.
所以两数的表达式为(或)；
由所给数据可知当时，有最小值，
二次函数的对称轴为.
又由表格数据可知当时，对应的的范围为或.
本题考查的是确定二次函数的表达式及二次函数的性质，掌握二次函数的对称性及增减性是关键.
20、（1），；（2），．
【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】（1）（x+1）2﹣9＝0
（x+1）2=9
x+1＝±3
x1＝2或x2＝﹣1．
（2）x2﹣1x﹣12＝0
（x﹣9）（x+2）＝0
x＝9或x＝﹣2．
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
21、（1）y=-x2+x+2，x=1；（2）C（0，2）；y=−x+2；（1）Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=−求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（1）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+2的图象经过点A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+2=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为 y=-x2+x+2，
又∵y=-x2+x+2=-（x-1）2+，
∴对称轴方程为：x=1．
（2）在y=-x2+x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）；
令y=0，即-x2+x+2=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，2）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=−x+2．
∵抛物线的对称轴方程为：x=1，
可设点Q（1，t），则可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）当AQ=CQ时，有=，
25+t2=t2-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（1，0）；
ii）当AC=AQ时，有
t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有，
整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=2±，
∴点Q坐标为：Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
本题考查二次函数综合题，综合性较强，有一定难度，注意分类讨论是本题的解题关键．
22、 (1)∠APB=135°，(2)∠APB=45°；(3).
【分析】（1）思路一、先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；
思路二、同思路一的方法即可得出结论；
（2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，然后同（1）的思路一的方法即可得出结论；
（3）可先将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP'C，根据旋转性质，角的计算可得到△APP'是等边三角形，再根据勾股定理，得到AP的长，最后根据三角形面积得到所求．
【详解】解：(1)思路一，如图1，
将绕点逆时针旋转，得到，连接，
则≌，，
，，
∴，
根据勾股定理得，，
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
思路二、同思路一的方法.
(2)如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接，
则≌，，，，
∴，
根据勾股定理得，.
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（3）如图3，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP'C，
∴∠AP'C＝∠APB＝360°-90°-120°＝150°．
∵AP＝AP'，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'＝AP，∠AP'P＝∠APP'＝60°，
∴∠PP'C＝90°，∠P'PC＝30°，
∴，即．
∵APC＝90°，
∴AP2＋PC2＝AC2，且，
∴PC＝2，
∴，
∴．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
23、台灯的高约为45cm.
【分析】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，可得四边形DGFH是矩形，可得DG=FH，根据∠A的余弦可求出AC的长，进而可得AD的长，根据∠A的正弦即可求出DG的长，由∠ADE=135°可得∠EDH=15°，根据∠DEH的正弦可得EH的长，根据EF=EH+FH求出EF的长即可得答案.
【详解】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，
∴四边形DGFH是矩形，
∴DG=FH，
∵∠A=60°，AB=16，
∴AC=AB·cos60°=16×=8，
∴AD=AC+CD=8+40=48，
∴DG=AD·sin60°=24，
∵DH⊥EF，AF⊥EF，
∴DH//AF，
∴∠ADH=180°-∠A=120°，
∵∠ADE=135°，
∴∠EDH=∠ADE-∠ADH=15°，
∵DE=15，
∴EH=DE·sin15°≈3.9，
∴EF=EH+FH=EH+DG=24+3.9≈45，
答：台灯的高约为45cm.
本题主要考查解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数的关系是解题关键.
24、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4
【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置.
（2）通过导出对应角相等证出∽，根据四边形ABCD的“相似对角线”的定义即可得出BD是四边形ABCD的“相似对角线”.
（3）根据四边形“相似对角线”的定义，得出∽，利用对应边成比例，结合三角形面积公式即可求.
【详解】解：（1）如图1所示.
（2）证明：
平分,
∽
∴BD是四边形的“相似对角线”.
(3)是四边形的“相似对角线”，
三角形与三角形相似.
又
∽
过点作垂足为
则
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用及解直角三角形，对于这种新定义阅读材料题目读,懂题意是解答此题的关键.
25、（1）垂径，勾股；（2）26寸；（3）或
【分析】（1）由解题过程可知根据垂径定理求出AE的长，在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值，即可得到答案．
（2）连接OA，设OA=r寸，则OE=DE-r=25-r，再根据垂径定理求出AE的长，在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论．
（3）当AE=OE时，△AEO是等腰直角三角形，则∠AOE=45°，∠AOB=90°，所以由圆周角定理推知弦AB所对圆周角的度数为 45°或135°．
【详解】解：（1）根据题意知，上述解题过程运用了 垂径定理和 勾股定理．
故答案是：垂径；勾股；
（2）连接OA，设OA=r寸，则OE=DE-r=（25-r）寸
∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=AB=5寸
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（25-r）2，解得r=13，
∴CD=2r=26寸
（2）∵AB⊥CD，
∴当AE=OE时，△AEO是等腰直角三角形，
∴∠AOE=45°，
∴∠AOB=2∠AOE=90°，
∴弦AB所对圆周角的度数为∠AOB=45°．
同理，优弧AB所对圆周角的度数为135°．
故答案是：45°或135°．
此题考查圆的综合题，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，解题关键在于需要我们熟练各部分的内容，要注意将所学知识贯穿起来．
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据线段垂直平分线的性质证明；
（2）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，得到DE⊥OD，证明结论；
（3）解直角三角形求得AD，进而根据勾股定理求得BD、CD，据正弦的定义计算即可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又DC＝BD，
∴AB＝AC；
（2）证明：如图，连接OD，
∵AO＝BO，CD＝DB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，又DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝AC＝10，
∵sinB＝ ＝ ，
∴AD＝8，
∴CD＝BD＝ ＝6，
∴sinB＝sinC＝＝，
∴DE＝．
本题考查的是圆周角定理、切线的判定定理以及三角形中位线定理，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
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