资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与y轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列5个结论中，其中正确的是（ ）
①abc＞0；②4a+c＞0；③方程ax²+bx+c=3两个根是=0，=2；④方程ax²+bx+c=0有一个实数根大于2；⑤当x＜0，y随x增大而增大
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在▱ABCD中，∠A﹣∠B=40°，则∠C的度数为( )
A．70° B．40° C．110° D．150°
4．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
6．2019年教育部等九部门印发中小学生减负三十条：严控书面作业总量，初中家庭作业不超过90分钟．某初中学校为了尽快落实减负三十条，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．下列关于40名同学每天做书面家庭作业的时间说法中，错误的是（ ）
书面家庭作业时间（分钟）
70
80
90
100
110
学生人数（人）
4
7
20
7
2
A．众数是90分钟 B．估计全校每天做书面家庭作业的平均时间是89分钟
C．中位数是90分钟 D．估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝4，cos∠ABC＝，则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
8．如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
9．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
12．已知关于的方程的一个根为-2，则方程另一个根为__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为_______．（填一般式）
14．对于为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝ab-b-1，那么x☆（2☆x）=0中x值为____．
15．当时，函数的最大值是8则=_________.
16．已知正方形ABCD的边长为，分别以B、D为圆心，以正方形的边长为半径在正方形内画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形ABCD内投掷一颗石子，则石子落在阴影部分的概率为_____．（结果保留π）
17．如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE：CE＝2：5，连接DE交AB于F，则=_____________
18．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关,,中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品,规定销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).
(1)请直接写出y关于x之间的关系式 ；
(2)设该商铺销售这批商品获得的总利润(总利润=总销售额一总成本)为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断:当x取何值时,P的值最大？最大值是多少？
(3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于400元,求销售单价x(元)的取值范围是 .(可借助二次函数的图象直接写出答案)
20．（6分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．
（1）用画树状图法或列表法分析这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求一辆车向右转，一辆车向左转的概率；
（3）求至少有一辆车直行的概率．
21．（6分）已知关于的方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值．
22．（8分）某商城某专卖店销售每件成本为40元的商品，从销售情况中随机抽取一些情况制成统计表如下：（假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律）
每件销售价（元）
50
60
70
75
80
85
……
每天售出件数
300
240
180
150
120
90
……
（1）观察这些数据，找出每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式；
（2）该店原有两名营业员，但当每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业，设营业员每人每天工资为40元，求每件产品定价多少元，才能使纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其他开支不计）．
23．（8分）某校为了弘扬中华传统文化，了解学生整体阅读能力，组织全校的1000名学生进行一次阅读理解大赛．从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分
频数
频率
50≤x＜60
6
0.12
60≤x＜70
0.28
70≤x＜80
16
0.32
80≤x＜90
10
0.20
90≤x≤100
4
0.08
（1）频数分布表中的 ；
（2）将上面的频数分布直方图补充完整；
（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，估计该校进入决赛的学生大约有 人．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠BAO＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过点A
（1）求∠AOB的度数
（2）若OA=，求点A的坐标
（3）若S△ABO＝，求反比例函数的解析式
26．（10分）如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】抛物线开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是不正确的；
由对称轴为直线x＝− ＝1得2a＋b＝0，当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，所以a＋2a＋c＜0，即3a＋c＜0，又a＜0，4a＋c＜0，故结论②不正确；
当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2＋bx＋c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；
抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且−1＜x1＜0，由对称轴为直线x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；
根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；
正确的结论有3个，
故选：B．
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
2、A
【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．
详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，
∴BC=，
∴sinA=.
故选：A．
点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．
3、C
【分析】由题意根据平行四边形的对角相等以及邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【详解】解：由题意画出图形如下所示：
则∠A+∠B=180°，
又∵∠A﹣∠B=40°，
∴∠A=110°，∠B=70°，
∴∠C=∠A=110°．
故选：C．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等以及邻角之和为180°进行分析.
4、B
【分析】朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.
【详解】依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=
故选B.
此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.
5、C
【分析】根据垂径定理得出BC=AB，再根据勾股定理求出OC的长：
【详解】∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=AB=1．
在Rt△BOC中，OB=10，BC=1，
∴．故选C．
6、D
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义分别确定后即可得到本题的正确的选项．
【详解】解：A、书面家庭作业时间为90分钟的有20人，最多，故众数为90分钟，正确；
B、共40人，中位数是第20和第21人的平均数，即＝90，正确；
C、平均时间为：×（70×4＋80×7＋90×20＋100×8＋110）＝89，正确；
D、随机调查了40名同学中，每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有8＋1＝9人，故估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人说法错误，
故选：D．
本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于统计基础题，比较简单．
7、D
【分析】由锐角三角函数可求∠ABC＝60°，由菱形的性质可得AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，由直角三角形的性质可求BO＝OC＝2，即可求解．
【详解】解：∵cos∠ABC＝，
∴∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，
∴OC＝BC＝2，BO＝OC＝2，
∴BD＝2BO＝4，
故选：D
此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知菱形的性质及解直角三角形的方法．
8、A
【分析】根据题意直接利用三角形三边长度，得出其比值，进而分析即可求出相似三角形．
【详解】解：∵AF＝4，DF＝4 ，AD＝4 ，AB＝2，BC＝2 ，AC＝2 ，
∴，
∴△AFD∽△ABC．
故选：A．
本题主要考查相似三角形的判定以及勾股定理，由勾股定理得出三角形各边长是解题的关键．
9、D
【分析】先利用平方差公式得到=（a+b）（a-b），再把，整体代入即可．
【详解】解：=（a+b）（a-b）==．
故答案为D．
本题考查了平方差公式，把a+b和a-b看成一个整体是解题的关键．
10、B
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是．
故选：B．
本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（3，0）．
【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为（3，0）．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
12、1
【分析】将方程的根-2代入原方程求出m的值，再解方程即可求解．
【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；
故原方程为：，
解方程得：．
故答案为：1．
本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．
13、
【分析】先由题意得到，再设设，由勾股定理得到，解得x的值，最后将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可得到答案.
【详解】解：点，反比例函数经过点B，则点，
则，，
∴，
设，则，，
由勾股定理得：，
解得：，故点，
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为．
本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
14、0或2
【分析】先根据a☆b＝ab-b-1得出关于x的一元二次方程，求出x的值即可．
【详解】∵a☆b＝ab-b-1，
∴2☆x=2x-x-1=x-1，
∴x☆（2☆x）= x☆（x-1）=0，即，
解得：x1=0，x2=2；
故答案为：0或2
本题考查了解一元二次方程以及新运算，理解题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
15、或
【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向分类讨论决定取值，列出关于a的方程，即可求解；
【详解】解：函数，
则对称轴为x=2，对称轴在范围内，
当a＜0时，开口向下，有最大值，最大值在x=2处取得，
即=8，解得a=；
当a＞0时，开口向上，最大值在x=-3处取得，
即=8，解得a=；
故答案为：或；
本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.
16、
【分析】先求出空白部分面积，进而得出阴影部分面积，再利用石子落在阴影部分的概率＝阴影部分面积÷正方形面积，进而得出答案．
【详解】∵扇形ABC中空白面积=，
∴正方形中空白面积=2×（2﹣）＝4﹣π，
∴阴影部分面积=2﹣（4﹣π）＝π﹣2，
∴随机向正方形ABCD内投掷一颗石子，石子落在阴影部分的概率= ．
故答案为：．
本题主要考查扇形的面积公式和概率公式，通过割补法，求出阴影部分面积，是解题的关键.
17、9:4
【分析】先证△ADF∽△BEF，可知 ，根据BE：CE＝2：5和平行四边形的性质可得AD:BE的值，由此得解.
【详解】解：∵BE：CE=2：5，
∴BE：BC=2：3 ，即BC：BE=3：2 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD：BE=3：2，△ADF∽△BEF，
∴.
故答案为：9:4.
本题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质.熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.
18、
【分析】分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率．
【详解】分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足：
一共有：,,、,、,三种情况，满足条件的有,、,两种，
∴能够让灯泡发光的概率为：
故答案为：．
本题考查概率运算，分析出所有可能的结果，寻找出满足条件的情况是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1)y=-x+100；(2)-x2+150x-5000(50≤x≤70)，x=70时p最大为600；(3)60≤x≤70.
【分析】（1）采用待定系数法求一次函数解析式；
（2）由题意，每件的利润为元，再根据总利润=单件利润×销量，即可得出关系式，x的取值范围可由题目条件得到，再求二次函数对称轴和最值即可;
（3）利用二次函数图像性质可得出x的取值范围.
【详解】（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
函数图象经过点（60，40）和（70，30）,代入y=kx+b得，
，解得，
∴y关于x之间的关系式为.
（2）由题意得：
，
∵销售单价不低于成本价,又不高于每件70元
∴x的取值范围为
故P与x之间的函数关系式为.
∵，，
∴函数图像开口向下，对称轴为，
∴当时，P随x的增大而增大，
∴当x=70时，P最大=.
（3）当P=400时，，
解得：，，
∵，抛物线开口向下，
∴当P≥400时，60≤x≤90，
又∵x的取值范围为
∴利润低于400元时,求销售单价x的取值范围为.
本题考查了二次函数应用中的营销问题，关键是根据总利润公式得到二次函数关系式，再根据二次函数的性质解决最值问题.
20、（1）见解析；（2）（一辆车向右转，一辆车向左转）．（3）（至少有一辆汽车直行）．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案；
（3）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案.
【详解】解：（1）如图：
可以看出所有可能出现的结果共9种，
即：直左，直直，直右，左左，左直，左右，右直，右左，右右．它们出现的可能性相等．
（2）一辆车向右转，一辆车向左转的结果有2种，即：左右，右左．
∴P（一辆车向右转，一辆车向左转）．
（3）至少有一辆汽车直行的结果有5种，即：左直，直左，直直，直右，右直．
∴P（至少有一辆汽车直行）．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21、（1）；（1）1.
【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k≠0两种情况分别进行讨论即可得；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由此可得关于k的方程，解方程即可得.
【详解】(1)当时，方程是一元一次方程，有实根符合题意，
当时，方程是一元二次方程，由题意得
，
解得：，
综上，的取值范围是；
(2)和是方程的两根，
，，
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，且，
答：的值为.
本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解题的关键.
22、（1）y=-6x+600；（2）每件产品定价72元，才能使纯利润最大，纯利润最大为5296元．
【分析】（1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，设y＝kx＋b，解出k、b即可求出；
（2）由利润＝（售价−成本）×售出件数−工资，列出函数关系式，求出最大值．
【详解】（1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，
设y＝kx＋b，经过（50，300）、（60，240），
，
解得k＝−6，b＝600，
故y＝−6x＋600；
（2）①设每件产品应定价x元，由题意列出函数关系式
W＝（x−40）×（−6x＋600）−3×40
＝−6x2＋840x−24000−120
＝−6（x2−140x＋4020）
＝−6（x−70）2＋1．
②当y＝168时x＝72，这时只需要两名员工，
W＝（72−40）×168−80＝5296＞1．
故当每件产品应定价72元，才能使每天门市部纯利润最大．
此题主要考查了二次函数的应用，由利润＝（售价−成本）×售出件数−工资，列出函数关系式，求出最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
23、（1）14；（2）补图见解析；（3）1.
【解析】（1）根据第1组频数及其频率求得总人数，总人数乘以第2组频率可得a的值；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整；
（3）根据样本中90分及90分以上的百分比，乘以1000即可得到结果．
【详解】（1）∵被调查的总人数为6÷0.12=50人，
∴a=50×0.28=14，
故答案为：14；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计该校进入决赛的学生大约有1000×0.08=1人，
故答案为：1．
此题考查了用样本估计总体，频数（率）分布表，以及频数（率）分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键．
24、（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，.
【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，
设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：
当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
25、（1）30°；（2）A(﹣6，)；（3）
【分析】（1）由题意直接根据等腰三角形的性质进行分析即可；
（2）由题意过点A作AC⊥x轴于点C，由∠AOB=30°，解直角三角形可得出AC=2，再由锐角三角函数或勾股定理得出OC=6，即可求得A点的坐标；
（3）根据题意设OB=AB=m，根据BA=BO可得出∠ABC=60°，由此可得出AC=m，由S△ABO=，列出关于m的方程，解方程求得m的值，进而AC和OC，结合反比例函数系数k的几何意义求得解析式．
【详解】解（1）∵AB＝BO，∠BAO＝30°，
∴∠AOB=∠BAO＝30°.
（2）过点A作AC⊥x轴，
∵
∴，
∴A(﹣6，).
（3）设OB=AB=，
得出∠ABC=60°，
在直角三角形ACB中得出AC=，
∵S△ABO＝，
∴，
∴，
∴AC==，
∴A(﹣3，).
把A点坐标代入得反比例函数的解析式为.
本题考查反比例函数系数k的几何意义、特殊角的三角函数值，解题的关键是根据特殊角的三角函数值找出线段的长度．
26、（1）y=- （2）点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
【分析】（1）利用点A在y=﹣x+4上求a，进而代入反比例函数求k．
（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【详解】（1）把点A（﹣1，a）代入y=x+4，得a=3，
∴A（﹣1，3）
把A（﹣1，3）代入反比例函数
∴k=﹣3，
∴反比例函数的表达式为
（2）联立两个函数的表达式得
解得
或
∴点B的坐标为B（﹣3，1）
当y=x+4=0时，得x=﹣4
∴点C（﹣4，0）
设点P的坐标为（x，0）
∵，
∴
解得x1=﹣6，x2=﹣2
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过
联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
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