资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．相邻两根电杆都用锅索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面（ ）
A．2.4米
B．8米
C．3米
D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面距离
2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
3．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
4．下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
5．如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．24
6．已知点P（a+1，）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点是一次函数的图像和反比例函数的图象的交点，当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
8．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（ ）
A．x＝ B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝ D．x＝0
9．如图，在直线上有相距的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为的圆，过点作直线.将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切.
A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5
10．在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与边BC交于点D，连接AD，则△ADB的面积为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
12．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________.
14．如图，与中，，，，，AD的长为________.
15．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2,4），B（1,1），则不等式ax2＞bx+c的解集是_________.
16．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是______ ．
17．若x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根，则x1+x2=______．
18．某商场在“元旦”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个.顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖.那么顾客摸奖一次，得奖的概率是_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，平行四边形中，，是上一点，，连接，点是的中点，且满足是等腰直角三角形，连接.
（1）若，求的长；
（2）求证：.
20．（8分）已知二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点(2，﹣6)，若这个二次函数与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，求出△ABC的面积．
21．（8分）如图，是半径为1的的内接正十边形，平分
（1）求证：；
（2）求证：
22．（10分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝1；
（2）x（x+1）＝1．
23．（10分）如图，在中，点在边上，，分别过点，作，的平行线，并交于点，且的延长线交于点，．
（1）求证：．
（2）求证：四边形为菱形．
（3）若，，求四边形的面积．
24．（10分）汽车产业的发展，有效促进我国现代建设．某汽车销售公司2007年盈利3000万元，到2009年盈利4320万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同，该公司2008年盈利多少万元?
25．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：
（1）△BCE∽△ADE；
（2）AB•BC=BD•BE．
26．小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．
（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；
（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】如图，作PE⊥BC于E，由CD//AB可得△APB∽△CPD，可得对应高CE与BE之比，根据CD∥PE可得△BPE∽△BDC，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【详解】如图，作PE⊥BC于E，
∵CD∥AB，
∴△APB∽△CPD，
∴，
∴，
∵CD∥PE，
∴△BPE∽△BDC，
∴，
∴，
解得：PE＝2.1．
故选：A．
本题考查相似三角形的应用，平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；正确作出辅助线构建相似三角形并熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
2、C
【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选C．
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
3、B
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】∵双曲线的图象的一支位于第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1．
故选B．
本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
4、C
【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果数据的个数是偶数，中间两数的平均数就是中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【详解】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；
C．一组数据，，，的众数是，中位数是，正确；
D．可能性是的事件在一次试验中可能会发生，D错误．
故选C．
本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键．
5、C
【解析】试题分析：x=-1时，y=6，x=-3时，y=2，所以点A（-1，6），点B（-3，2），应用待定系数法求得直线AB的解析式为y=2x+8，直线AB与x轴的交点C（-4，0），所以OC=4，点A 到x轴的距离为6，所以△AOC的面积为=1．
故选C．
考点：待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形．
6、C
【解析】试题分析：∵P（，）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴，，解得：，则a的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C．
考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．
7、C
【分析】把代入一次函数和反比例函数分别求出k和m,再将这两个函数解析式联立组成方程组，解出方程组再结合图象进行判断即可.
【详解】解：依题意，得：
2k+1=3和
解得，k=1，m=6
∴
解得， 或 ，
函数图象如图所示：
∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是或.
故选C.
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用图象确定不等式的取值范围，准确画出图形，利用数形结合是解题的关键.
8、C
【解析】根据题意对方程提取公因式x,得到x( 3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.
【详解】∵3x2﹣x=0，
∴x（3x﹣1）=0，
∴x=0或3x﹣1=0，
∴x1=0，x2=，
故选C．
本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.
9、C
【分析】根据与直线AB的相对位置分类讨论：当在直线AB左侧并与直线AB相切时，根据题意，先计算运动的路程，从而求出运动时间；当在直线AB右侧并与直线AB相切时，原理同上.
【详解】解：当在直线AB左侧并与直线AB相切时，如图所示
∵的半径为1cm，AO=7cm
∴运动的路程=AO－=6cm
∵以的速度向右移动
∴此时的运动时间为：÷2=3s；
当在直线AB右侧并与直线AB相切时，如图所示
∵的半径为1cm，AO=7cm
∴运动的路程=AO＋=8cm
∵以的速度向右移动
∴此时的运动时间为：÷2=4s；
综上所述：与直线在3或4秒时相切
故选：C.
此题考查的是直线与圆的位置关系：相切和动圆问题，掌握相切的定义和行程问题公式：时间=路程÷速度是解决此题的关键.
10、B
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，符合此定义的只有选项B．故选B．
11、A
【解析】过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），求得B（2a，2b），ab＝16，得到S△BCO＝2ab＝32，于是得到结论．
【详解】过A作AE⊥OC于E，
设A（a，b），
∵当A是OB的中点，
∴B（2a，2b），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，
∴ab＝16，
∴S△BCO＝2ab＝32，
∵点D在反比例函数数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△OCD＝16÷2=8，
∴S△BOD＝32﹣8＝24，
∴△ADB的面积＝S△BOD＝12，
故选：A．
本题主要考查反比例函数的图象与三角形的综合，掌握反比例函数的比例系数k的几何意义，添加合适的辅助线，是解题的关键.
12、A
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中，，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
考点：动点问题的函数图象
二、填空题（每题4分，共24分）
13、12
【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理可得：
故答案为
14、
【分析】先证明△ABC∽△ADB，然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可.
【详解】∵，，
∴△ABC∽△ADB，
∴,
∵，，
∴，
∴AD=.
故答案为：.
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
15、x＜-2或x＞1
【分析】根据图形抛物线与直线的两个交点情况可知，不等式的解集为抛物线的图象在直线图象的上方对应的自变量的取值范围．
【详解】如图所示：
∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，
∴二次函数图象在一次函数图象上方时，即不等式的解集为：或．
故答案为：或．
本题主要考查了二次函数与不等式组．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解不等式．
16、
【解析】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，转盘所转到的两个数字之积为奇数的有2种情况，
∴转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是：.
故答案是：.
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题属于放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17、1
【解析】一元二次方程x1-1x-3=0的两个实数根分别为x1和x1，根据根与系数的关系即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程x1-1x-3=0的两个实数根分别为x1和x1，
∴根据韦达定理，x1+x1=1，
故答案为：1．
本题考查了根与系数的关系，难度不大，关键掌握x1，x1是方程x1+px+q=0的两根时，x1+x1=-p，x1x1=q．
18、
【分析】根据题意列举出所有情况，并得出两球颜色相同的情况，运用概率公式进行求解．
【详解】解：一次摸出两个球的所有情况有（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2）6种，其中两球颜色相同的有2种．
所以得奖的概率是.
故答案为：.
本题考查概率的概念和求法，熟练掌握概率的概念即概率=所求情况数与总情况数之比和求法是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）见解析
【解析】（1）延长交于，根据平行四边形的性质可证，再运用勾股定理可求出AD的值；
（2）延长交的延长线于，可证明，得到，由此可得，进一步证明得到，根据勾股定理即可得到结论.
【详解】（1）如图，延长交于.
∵四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，；
（2）如图，延长交的延长线于，
∵，
∴，
∴，
又∵，
则
∴
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴.
本题考查了平行四边形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．
20、1．
【分析】如图，把（0，6）代入y＝2x2+bx﹣6可得b值，根据二次函数解析式可得点C坐标，令y=0，解方程可求出x的值，即可得点A、B的坐标，利用△ABC的面积＝×AB×OC，即可得答案．
【详解】如图，
∵二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点(2，﹣6)，
∴﹣6＝2×4+2b﹣6，
解得：b＝﹣4，
∴抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4x﹣6；
∴点C（0，﹣6）；
令y＝0，则2x2﹣4x﹣6=0，
解得：x1＝﹣1，x2=3，
∴点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），
∴AB=4，OC=6，
∴△ABC的面积＝×AB×OC＝×4×6＝1．
本题考查二次函数图象上的点的坐标特征及图象与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0，即可得出抛物线与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积．
21、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据题意得出角相等得出△A1A2P∽△A1OA2，再根据相似三角形的性质即可得出答案；
（2）设A1A2＝x，得出OP＝PA2＝A1A2＝x，A1 P＝1－x，再代入中即可求出答案．
【详解】证明：（1）∵A1A2A3…A10是半径为1的⊙O的内接正十边形，A2P平分∠OA2A1
∴∠A1OA2＝36°，∠A1＝∠OA2A1＝72°，∠A1A2P＝∠O＝36°
∴∠A1 P A2＝72°，OP＝PA2，
∴△A1A2P∽△A1OA2，
∴A1A22＝A1P•O A1
（2）设A1A2＝x，
则OP＝PA2＝A1A2＝x，
∴A1 P＝1－x，
由（1）得A1A22＝A1P•O A1
∴，
∴，
解得，（负值舍去）
∴，
即
本题考查了正十边形的性质及相似三角形的判定及性质定理，能够根据正十边形的性质得出角的度数是解题的关键．
22、（1）；（2）
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）根据因式分解的性质，直接得到答案即可．
【详解】解：（1）x2﹣2x﹣3＝1
；
（2）
．
本题考查了解一元二次方程，应熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
23、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；
（2）先证明四边形ABED是平行四边形，再证出AD=AB，即可得出四边形ABED为菱形；
（3）连接AE交BD于O，由菱形的性质得出BD⊥AE，OB=OD，由相似三角形的性质得出AB=3DF=5，求出OB=3，由勾股定理求出OA=4，AE=8，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
又∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）解：连接交于，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理得：
∴，
∴四边形的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
24、2008年盈利3600万元．
【分析】设该公司从2007年到2009年，每年盈利的年增长率是x，根据题意列出方程进行求解即可求出年增长率；然后根据2007年的盈利，即可算出2008年的盈利．
【详解】解：设每年盈利的年增长率为x，由题意得：
3000(1+x)2=4320，
解得：，（不合题意，舍去），
∴年增长率20%，
∴3000×(1+20%)=3600，
答：该公司2008年盈利3600万元．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是求出从2007年到2009年，每年盈利的年增长率．
25、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．
（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DC2=DE•DB，
∴=，∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE=∠DBC，
∴∠DAE=∠EBC，
∵∠AED=∠BEC，
∴△BCE∽△ADE，
（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC
∴AD2=DE•DB，
同法可得△ADE∽△BDA，
∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，
∵△BCE∽△ADE，
∴∠ADE=∠BCE，
∴△BCE∽△BDA，
∴=，
∴AB•BC=BD•BE．
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
26、（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析.
【解析】判断游戏是否公平，即是看双方取胜的概率是否相同，若相同，则公平，不相同则不公平．
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