资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ）．
A．-1 B．2 C．-1或2 D．-1或2或1
2．一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
3．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若一元二次方程的两根为和，则的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．在Rt△ABC中，，如果∠A=，，那么线段AC的长可表示为（ ）．
A．； B．； C．； D．．
6．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
7．如图，AB是⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且AO＝CD，则∠PCA＝（ ）
A．30° B．60° C．67.5° D．45°
8．若关于x的函数y=（3-a）x2-x是二次函数，则a的取值范围( )
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3
9．如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是( )
A． B． C． D．
10．如图，点的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），若点的横坐标的最小值为0，则点的横坐标最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为_____．
12．若m是方程2x2﹣3x＝1的一个根，则6m2﹣9m的值为_____．
13．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．
14．已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 ______ ．
15．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．
16．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB=10，BC=6，M、N在AC边上，若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM=______．
17．如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4.某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为____.
18．如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．，平分，，的长为__．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，港口位于港口的南偏西方向，灯塔恰好在的中点处，一艘海轮位于港口的正南方向，港口的正东方向处，它沿正北方向航行到达处，侧得灯塔在北偏西方向上.求此时海轮距离港口有多远？
20．（6分）已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+m﹣4＝0；
（1）若该方程没有实数根，求m的取值范围．
（2）怎样平移函数y＝mx2+2mx+m﹣4的图象，可以得到函数y＝mx2的图象？
21．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，作于点，当点的横坐标为时，求的面积；
（3）若点为抛物线上的一个动点，以点为圆心，为半径作，当在运动过程中与直线相切时，求点的坐标（请直接写出答案）．
22．（8分）如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．
23．（8分）计算：2cos30°+（π﹣3.14）0﹣
24．（8分）某市某幼儿园“六一”期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏．主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．
（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）?
（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）
25．（10分） [阅读理解]对于任意正实数、，
∵，∴，
∴（只有当时，）．
即当时，取值最小值，且最小值为．
根据上述内容，回答下列问题：
问题1：若，当______时，有最小值为______；
问题2：若函数，则当______时，函数有最小值为______．
26．（10分）已知关于的方程
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根.
（2）设，是方程的两个根，记，S的值能为2吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】当a-1＝0，即a＝1时，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当a﹣1≠0时，利用判别式的意义得到，再求解关于a的方程即可得到答案．
【详解】当a﹣1＝0，即a＝1，函数为一次函数y＝-4x+2，它与x轴有一个交点；
当a﹣1≠0时，根据题意得
解得a＝-1或a＝2
综上所述，a的值为-1或2或1．
故选：D．
本题考察了一次函数、二次函数图像、一元二次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的性质，从而完成求解．
2、C
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，
满足ab<0，
∴a−b<0，
∴反比例函数y=的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab>0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选C.
此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小
3、C
【解析】直接利用二次根式的定义即可得出答案．
【详解】∵式子在实数范围内有意义，
∴x的取值范围是：x＞1．
故选：C．
本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解答本题的关键．
4、B
【分析】先将一元二次方程变为一般式，然后根据根与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：将变形为
根据根与系数的关系：
故选B．
此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之积等于是解决此题的关键．
5、B
【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，
，
故选：．
本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．
6、B
【解析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=∠BOD，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵直径CD⊥弦AB，
∴弧AD =弧BD，
∴∠C=∠BOD．
故选B．
本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7、C
【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠PCA的度数．
【详解】解：∵PD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵AO＝CD，
∴OC＝DC，
∴∠COD＝∠D＝45°，
∵AO＝CO，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：C．
此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠COD=∠D=45°是解题关键．
8、B
【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0列式求解即可．
【详解】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0，
3-a≠0，则a≠3，故选B
本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
9、A
【解析】∵在中，当时，；当时，解得；
∴点A、B的坐标分别为（-4，0）和（0，3），
∴OA=4，OB=3，
又∵∠AOB=90°，
∴AB=，
∴cos∠BAO=.
故选A.
10、B
【分析】根据待定系数法求得顶点是A时的解析式，进而即可求得顶点是B时的解析式，然后求得与x轴的交点即可求得．
【详解】解：∵点C的横坐标的最小值为0，此时抛物线的顶点为A，
∴设此时抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，
代入（0，0）得，a+1=0，
∴a=-1，
∴此时抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，
∴抛物线从A移动到B后的解析式为y=-（x-5）2+4，
令y=0，则0=-（x-5）2+4，
解得x=1或3，
∴点D的横坐标最大值为1．
故选：B．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，明确顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、12πcm
【分析】先根据底面半径求出底面周长，即为扇形的弧长，再设出扇形的半径，根据扇形的弧长公式，确定扇形的半径；最后用扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：∵底面圆的半径为2cm，
∴底面周长为4πcm，
∴侧面展开扇形的弧长为4πcm，
设扇形的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
∴＝4π，
解得：r＝6，
∴侧面积为×4π×6＝12πcm，
故答案为：12πcm．
本题考查了圆锥的表面积、扇形的面积以及弧长公式，解答的关键在于对基础知识的牢固掌握和灵活运用.
12、1
【分析】把m代入方程2x2﹣1x＝1，得到2m2-1m=1，再把6m2-9m变形为1（2m2-1m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程2x2﹣1x＝1的一个根，
∴2m2﹣1m＝1，
∴6m2﹣9m＝1(2m2﹣1m)＝1×1＝1．
故答案为1．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13、
【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，
故答案为：．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
14、h≤3
【解析】试题解析：二次函数的对称轴为：
当时,随的增大而增大，
对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.
即：
故答案为：
点睛：本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
当时, 随的增大而增大，可知对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.根据对称轴为,即可求出的取值范围.
15、1
【解析】分析：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于-，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=1．
故答案为1．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．
16、
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得OC=OA=OB=AB，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠OCA，∠OCB=∠B，由相似三角形的性质可得∠ONC=∠OCB，，可得OM=MN，利用等量代换可得∠ONC=∠B，即可证明△CNO∽△ABC，利用外角性质可得∠ACO=∠MOC，可得OM=CM，即可证明CM=CN，利用勾股定理可求出AC的长，根据相似三角形的性质即可求出CN的长，即可求出CM的长.
【详解】∵O为Rt△ABC斜边中点，AB=10，BC=6，
∴OC=OA=OB=AB=5，AC==8，
∴∠A=∠OCA，∠OCB=∠B，
∵△OMN∽△BOC，
∴∠ONC=∠OCB，，∠COB=∠OMN，
∴MN=OM，∠ONC=∠B，
∴△CNO∽△ABC，
∴，即，
解得：CN=，
∵∠OMN=∠OCM+∠MOC，∠COB=∠A+∠OCA，
∴∠OCM=∠MOC，
∴OM=CM，
∴CM=MN=CN=.
故答案为：
本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
17、1
【解析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=1．
【详解】如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD=OA=1．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=1，
∴AB=AD=1．
即该船航行的距离（即AB的长）为1．
故答案为1．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18、．
【分析】根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明BM=MN．再证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．
【详解】在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
三、解答题(共66分)
19、海轮距离港口的距离为
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，设CF=x，根据正切的定义用x表示出AF，根据等腰直角三角形的性质用x表示出EF，根据三角形中位线定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解:如图，过点作于点 ．
设，表示出
利用，求出
列方程：
求出
求出
答：海轮距离港口的距离为．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20、（1）m＜0；（1）向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx1+1mx+m﹣4＝0没有实数根，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围；
（1）先将函数y＝mx1+1mx+m﹣4化为顶点式，再根据平移的性质可以得到函数y＝mx1．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程mx1+1mx+m﹣4＝0没有实数根，
∴ ，
解得，m＜0，
即m的取值范围是m＜0；
（1）∵函数y＝mx1+1mx+m﹣4＝m(x+1)1﹣4，
∴函数y＝mx1+1mx+m﹣4的图象向右平移一个单位长度，在向上平移4个单位长度即可得到函数y＝mx1的图象．
本题考查了一元二次方程的问题，掌握根的判别式、一元二次方程的性质以及图象是解题的关键．
21、（1）；（2）；（3）点为或
【分析】⑴根据，求出B、C的坐标，再代入求出解析式；
⑵根据题意可证△PED∽△BOC,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△PED的面积；
⑶根据二次函数图象的性质及切线性质构造相似三角形来求出点M的坐标.点M在直线BC的上方或在直线BC的下方两种情况来讨论．
【详解】解：（1），
，，
点为，点为
代入得：
，
（2）当时，，点坐标为，
点坐标为，点坐标为
直线解析式为，
平行于轴，点坐标为
平行于轴，
，，
，
与的面积之比是对应边与的平方，
的面积为，
的面积是
（3）过点作于点，过点作于点，
，
与直线相切，，
设点的坐标为
如图1，点的坐标为
代入直线得
解得，
点的坐标为或
图1
如图2，点的坐标为
代入直线得
方程无解
综上，点为或
图2
本题考查了了二次函数图象的性质及二次函数的图形问题，（1）用图象上的点求系数；（2）用相似三角形的性质求三角形的面积；（3）构造相似三角形，利用相似三角形的性质来解决问题即可．
22、（1）反比例函数表达式为，正比例函数表达式为；
（2），.
【解析】试题分析：（1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可；（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积．
试题解析：（）把代入反比例函数表达式，
得，解得，
∴反比例函数表达式为，
把代入正比例函数，
得，解得，
∴正比例函数表达式为．
（）直线由直线向上平移个单位所得，
∴直线的表达式为，
由，解得或，
∵在第四象限，
∴，
连接，
∵，
，
，
．
23、.
【分析】分别根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则和二次根式的性质计算各项，再合并即得结果.
【详解】解：原式=.
本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质等知识，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是关键.
24、；
【分析】根据概率的计算法则得出概率，首先根据题意列出表格，然后求出概率．
【详解】（1）P（恰好是A，a）的概率是=
（2）依题意列表如下：
共有9种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有（AB，ab），（ AC，ac），（ BC，bc）3种，
故恰好是两对家庭成员的概率是P=
考点：概率的计算．
25、（1）2，4；（2）4，1
【分析】（1）根据题目给的公式去计算最小值和m的取值；
（2）先将函数写成，对用上面的公式算出最小值，和取最小值时a的值，从而得到函数的最小值．
【详解】解：（1），
当，即（舍负）时，取最小值4，
故答案是：2，4；
（2），
，
当，，，（舍去）时，取最小值6，
则函数的最小值是1，
故答案是：4，1．
本题考查实数的运算，解题的关键是根据题目给的公式进行最值的计算．
26、（1）见解析；（2）时，S的值为2
【解析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；
（2）由韦达定理得，代入到中，可求得k的值．
【详解】解：（1）①当，即k=1时，方程为一元一次方程，
∴是方程的一个解.
②当时，时，方程为一元二次方程，
则，
∴方程有两不相等的实数根.
综合①②得，无论k为何值，方程总有实数根.
（2）S的值能为2，根据根与系数的关系可得
∴，
即，解得，
∵方程有两个根，
∴
∴应舍去，
∴时，S的值为2
本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握，是解题的关键.
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