资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
181
186
181
186
方差
3.5
3.5
6.5
7.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．若∽，相似比为，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率均为，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知2x＝3y（x≠0，y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题错误的是 ( )
A．经过三个点一定可以作圆
B．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
6．图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
8．二位同学在研究函数(为实数，且)时，甲发现当 0<<1时，函数图像的顶点在第四象限；乙发现方程必有两个不相等的实数根，则( )
A．甲、乙的结论都错误 B．甲的结论正确，乙的结论错误
C．甲、乙的结论都正确 D．甲的结论错误，乙的结论正确
9．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（ ）
A．5 B． C．2 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A(3，0)，顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线y=－x2－5x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
11．计算（的结果为（ ）
A．8﹣4 B．﹣8﹣4 C．﹣8+4 D．8+4
12．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是_____．
14．如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD＝5：3，CF＝6，则DE的长为_____．
15．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解_____．
16．如图所示，等边△ABC中D点为AB边上一动点，E为直线AC上一点，将△ADE沿着DE折叠，点A落在直线BC上，对应点为F，若AB＝4，BF：FC＝1：3，则线段AE的长度为_____．
17．如图所示是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体最少是由________个正方体搭成的。
18．若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
20．（8分）如图1，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，根据中心对称性可以得知OA＝OB．
（1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试证明：AC＝BD；
（2）如图3，直线y＝ax+b与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试问：AC＝BD还成立吗？
（3）如果直线y＝x+3与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC≤5，求出k的取值范围．
21．（8分）解方程：（x+3）（x﹣6）＝﹣1．
22．（10分）解一元二次方程：
（1）
（2）
23．（10分）已知：为的直径，,为上一动点（不与、重合）.
（1）如图1，若平分，连接交于点.①求证：；②若，求的长；
（2）如图2，若绕点顺时针旋转得，连接.求证：为的切线.
24．（10分）如图，四边形是的内接四边形，，，，求的长．
25．（12分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求下列事件的概率．
（1）两次都摸到红球；
（2）第一次摸到红球，第二次摸到绿球．
26． “红灯停，绿灯行”是我们过路口遇见交通信号灯时必须遵守的规则.小明每天从家骑自行车上学要经过三个路口，假如每个路口交通信号灯中红灯和绿灯亮的时间相同，且每个路口的交通信号灯只安装了红灯和绿灯.那么某天小明从家骑车去学校上学，经过三个路口抬头看到交通信号灯.
（1）请画树状图，列举小明看到交通信号灯可能出现的所有情况；
（2）求小明途经三个路口都遇到红灯的概率.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据平均数与方差的意义解答即可.
【详解】解: ,
乙与丁二选一,
又,
选择乙.
本题考查数据的平均数与方差的意义,理解两者所代表的的意义是解答关键.
2、B
【分析】根据相似三角形的性质：周长之比等于相似比解答即可.
【详解】解：∵∽，相似比为，∴与的周长比为.
故选：B.
本题考查的是相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
3、B
【解析】直接根据题意得出第三季度投放单车的数量为：（1+x）2=1+0.1，进而得出答案．
【详解】解：设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，根据题意可得：
（1+x）2=1.1．
故选：B．
此题主要考查了根据实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
4、D
【分析】根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论．
【详解】A.由内项之积等于外项之积，得x：3=y：2，即，故该选项不符合题意，
B.由内项之积等于外项之积，得x：3=y：2，即，故该选项不符合题意，
C.由内项之积等于外项之积，得x：y＝3：2，即，故该选项不符合题意，
D.由内项之积等于外项之积，得2：y＝3：x，即，故D符合题意；
故选：D．
本题考查比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键．
5、A
【解析】选项A，经过不在同一直线上的三个点可以作圆；选项B，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；选项C，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；选项D，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；故选A.
6、A
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】∵S主=x1+1x=x（x+1），S左=x1+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+1，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+1）（x+1）=x1+3x+1．
故选A．
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
7、D
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．
【详解】解：主视图和左视图都是三角形，
此几何体为椎体，
俯视图是一个圆，
此几何体为圆锥．
故选：D．
本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
8、D
【分析】先根据函数的解析式可得顶点的横坐标，结合判断出横坐标可能取负值，从而判断甲不正确；再通过方程的根的判别式判断其根的情况，从而判断乙的说法.
【详解】，原函数定为二次函数
甲：顶点横坐标为
，，所以甲不正确
乙：原方程为，化简得：
必有两个不相等的实数根，所以乙正确
故选：D.
本题考查二次函数图象的性质、顶点坐标、一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根.
9、C
【解析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．
【详解】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2，
故选：C．
本题考查垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
10、B
【分析】根据抛物线的解析式结合抛物线过点B、C，即可得出点C的横坐标，由菱形的性质可得出AD=AB=BC=1，再根据勾股定理可求出OB的长度，套用平行四边形的面积公式即可得出菱形ABCD的面积．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∵抛物线y=-x2-1x+c经过点B、C，且点B在y轴上，BC∥x轴，
∴点C的横坐标为-1．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=1，
∴点D的坐标为（-2，0），OA=2．
在Rt△ABC中，AB=1，OA=2，
∴OB=，
∴S菱形ABCD=AD•OB=1×4=3．
故选：B．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的性质以及平行四边形的面积，根据二次函数的性质、菱形的性质结合勾股定理求出AD=1、OB=4是解题的关键．
11、B
【分析】先按照平方差公式与完全平方公式计算，同时按照二次根式的除法计算，再合并即可得到答案．
【详解】解：
故选B．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法与二次根式的除法运算是解本题的关键．
12、B
【分析】根据2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，即可列出方程．
【详解】解：根据题意可得，2018年的产量为50（1+x），
2019年的产量为50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
即所列的方程为：50（1+x）2=1．
故选：B．
此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1或﹣1
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【详解】当x≥﹣x，即x≥0时，
∴x=x2﹣6，
即x2﹣x﹣6=0，
(x﹣1)(x+2)=0，
解得：x1=1，x2=﹣2(舍去)；
当x＜﹣x，即x＜0时，
∴﹣x=x2﹣6，
即x2+x﹣6=0，
(x+1)(x﹣2)=0，
解得：x1=﹣1，x4=2(舍去)．
故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．
14、1
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，证明△AED∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，∠AED＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A，又∠AED＝∠C，
∴△AED∽△ECF，
∴，即，
解得，DE＝1，
故答案为：1．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理， 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
15、x1＝0，x4＝﹣1．
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣1．
故答案为：x1＝0，x4＝﹣1．
此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知整体法的应用.
16、或14
【解析】点E在直线AC上，本题分两类讨论，翻折后点F在BC线段上或点F在CB延长线上，根据一线三角的相似关系求出线段长．
【详解】解：按两种情况分析：①点F在线段BC上，如图所示，由折叠性质可知
∠A＝∠DFE＝60°
∵∠BFD+∠CFE＝120°，∠BFD+∠BDF＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠B＝∠C
∴△BDF∽△CFE，∴
∵AB＝4，BF：FC＝1：3
∴BF＝1，CF＝3
设AE＝x，则EF＝AE＝x，CE＝4﹣x
∴
解得BD＝，DF＝
∵BD+DF＝AD+BD＝4
∴
解得x＝，经检验当x＝时，4﹣x≠0
∴x＝是原方程的解
②当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知
△BDF∽△CFE
∴
∵AB＝4，BF：FC＝1：3，可得BF＝2，CF＝6
设AE＝a，可知AE＝EF＝a，CE＝a﹣4
∴
解得BD＝，DF＝
∵BD+DF＝BD+AD＝4
∴解得a＝14
经检验当a＝14时，a﹣4≠0
∴a＝14是原方程的解，综上可得线段AE的长为或14
故答案为或14
本题考查了翻折问题，根据点在不同的位置对问题进行分类，并通过一线三角形的相似关系建立方程是本题的关键．
17、
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层、第三层立方体最少的个数，相加即可．
【详解】结合主视图和俯视图可知，第一层、第二层最少各层最少1个，第三层一定有3个，
∴组成这个几何体的小正方体的个数最少是1个，
故答案为： 1．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
18、
【分析】设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0），把A（3，8）代入函数解析式求出k，得出函数解析式，把B点的坐标代入，即可求出答案．
【详解】解：设反比例函数的解析式为 (k为常数,k≠0)，
把A(3,8)代入函数解析式得：k=24，
即，
把B点的坐标代入得：
故答案为−6.
考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析
（2）。
【解析】试题分析：（1）根据列表法与画树状图的方法画出即可。
（2）根据概率公式列式计算即可得解。
解：（1）画树状图表示如下：
抽奖所有可能出现的结果有12种。
（2）∵由（1）知，抽奖所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有6种，
∴抽奖人员的获奖概率为P。
20、（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）k≤2
【分析】（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．证明四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形即可解决问题．
（2）证明方法类似（1）．
（3）由题意CD＝3，推出BD≤2，求出BD＝2时，k的值即可判断．
【详解】解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．
∵AE∥y轴，
∴S△AOE＝S△AEF＝，
∵BF∥x轴，
∴S△BEF＝S△OBF＝，
∴S△AEF＝S△BEF，
∴AB∥EF，
∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，
∴AC＝EF，BD＝EF，
∴AC＝BD．
（2）如图1中，如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．
∵AE∥y轴，
∴S△AOE＝S△AEF＝，
∵BF∥x轴，
∴S△BEF＝S△OBF＝，
∴S△AEF＝S△BEF，
∴AB∥EF，
∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，
∴AC＝EF，BD＝EF，
∴AC＝BD．
（3）如图2中，
∵直线y＝x+3与坐标轴交于C，D，
∴C（0，3），D（3，0），
∴OC＝OD＝3，CD＝3，
∵CD+BD≤5，
∴BD≤2，
当BD＝2时，∵∠CDO＝45°，
∴B（1，2），此时k＝2，
观察图象可知，当k≤2时，CD+BD≤5
本题考查一次函数与反比例函数的解题,关键在于熟记基础知识,结合图形运用性质.
21、x＝5或x＝﹣２．
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，然后再运用因式分解法解方程即可解答．
【详解】将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣10＝0，
则（x﹣5）（x+2）＝0，
∴x﹣5＝0或x+2＝0，
解得x＝5或x＝﹣2．
本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的四种解法．
22、（1）;（2）
【分析】（1）利用直接开方法求解；
（2），故用因式分解法解方程；
【详解】（1）
（2）
本题考查一元二次方程的解法，根据每题情况不一样选择合适的方法是解题的关键。
23、（1）①见解析，②2；（2）见解析
【分析】（1）①先根据圆周角定理得出，再得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角定理即可求证；②取中点，连接，可得是中位线，根据平行线的性质得，然后根据等腰三角形的性质得出，最后再根据中位线的性质得出；
（2）上截取，连接，由题意先得出，再得出，然后由旋转性质得、，再根据同角的补角相等得出，然后证的，最后得出即可证明.
【详解】解：（1）①证明：为的直径，
.
，
，.
.
平分，
.
，
，
.
；
②解法一：如图，取中点，连接，
为的中点，
，.
.
，，
.
.
；
解法二：如图，作，垂足为，
平分，，
.
.
.
.
.
.
.
在中，.
；
解法三：如图，作，垂足为，
设
平分，，
.
∴
∴，即
∴
解得：
∴
（2）证明（法一）：如图，在上截取，连接.
，
.
.
.
.
由旋转性质得，，.
，
.
.（没写不扣分）
.
.
.
为的切线．
证法二：如图，延长到，使.
由旋转性质得，，.
.
，
.
.（没写不扣分）
，.
，
.
.
.
.
.
.
.
为的切线．
证法三：作交延长线于点.（余下略）
由旋转性质得，，
∴
，
∴.
∵
∴
∴、
∴
∴
∴
∴
∵为的直径，
∴
∴
∴
∴.
∴为的切线．
本题主要考察圆周角定理、角平分线定义、中位线性质、全等三角形的判定及性质等，准确作出辅助线是关键.
24、．
【分析】如图，连接，过点作于点，通过勾股定理确定OB、OC的长，利用AB与BE 的关系确定最终答案.
【详解】如解图所示，连接，过点作于点，，且，
，
在中，，，，
，
，
，，
，
，
，
是的弦，过的圆心，且于点，
，且，
，
，
，
．
本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
25、（1）；（2）．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到红球的情况数，即可确定出所求的概率；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
【详解】（1）列表如下：
红
绿
红
（红，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（绿，绿）
所有等可能的情况有4种，所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率=；
（2）由（1）得第一次摸到红球，第二次摸到绿球只有一种，
故其概率为．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
26、（1）详见解析；共有8种等可能的结果；（2）
【分析】此题分三步完成，每一个路口需要选择一次，所以把每个路口看做一步，用树状图表示所有情况，再利用概率公式求解．
【详解】（1）列树状图如下：
由树状图可以看出，共有8种等可能的结果，即：红红红、红红绿、红绿红、红绿绿、
绿红红、绿红绿、绿绿红、绿绿绿、
（2）由（1）可知（三次红灯）.
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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