资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
2．若整数a使关于x的分式方程＝2有整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣14 B．﹣17 C．﹣20 D．﹣23
3．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B，②，③，使△ADE与△ACB一定相似（ ）
A．①② B．② C．①③ D．①②③
4．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面AB宽为80cm，管道顶端最高点到水面的距离为20cm，则修理人员需准备的新管道的半径为（ ）
A．50cm B．50cm C．100cm D．80cm
5．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝5的过程中，配方正确的是（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
6．已知关于x的方程x2+ax﹣6＝0的一个根是2，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．若，两点均在函数的图象上，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )
A．1个 B．2 C．3个 D．4个
9．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则α等于( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，A、B、C为⊙O上三点，且∠ACB=35°，则∠OAB的度数是______度．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，CD⊥BD，如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝_____．
13．菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC＝6cm，则对角线BD＝_____cm．
14．已知，是方程的两个实根，则______．
15．山西拉面，又叫甩面、扯面、抻面，是西北城乡独具地方风味的面食名吃，为山西四大面食之一．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的变化关系如图所示（双曲线的一支）．如果将这个面团做成粗为的拉面，则做出来的面条的长度为__________．
16．如图,是⊙O上的点,若,则___________度．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为__________．
18．如图所示的的方格纸中，如果想作格点与相似（相似比不能为1），则点坐标为___________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，四边形是平行四边形，分别是的平分线，且与对角线分别相交于点.
(1)求证:；
(2)连结，判断四边形是否是平行四边形，说明理由.
20．（6分）如果一条抛物线与坐标轴有三个交点．那么以这三个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）命题“任意抛物线都有抛物线三角形”是___________（填“真”或“假”）命题；
（2）若抛物线解析式为，求其“抛物线三角形”的面积．
21．（6分）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝－4x＋m相交于第一象限内不同的两点A(5，n)，B(3，9)，求此抛物线的解析式．
22．（8分）如图，在中，弦垂直于直径，垂足为，连结，将沿翻转得到，直线与直线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若为的中点，①求证：四边形是菱形；②若，求的半径长．
23．（8分）为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．
24．（8分）如图，在矩形纸片中，已知，，点在边上移动，连接，将多边形沿折叠，得到多边形，点、的对应点分别为点，.
（1）连接.则______，______°；
（2）当恰好经过点时，求线段的长；
（3）在点从点移动到点的过程中，求点移动的路径长.
25．（10分）⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且，求CD的长．
26．（10分）在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，将绕点逆时针旋转，得到，请画出．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据反比例函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小，从而可以解答本题．
【详解】解：∵点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y＝的图象上，k＝3＞0，
∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象在第一、三象限，
∵﹣7＜﹣4，0＜5，
∴y2＜y1＜0＜y3，
即y2＜y1＜y3，
故选：B．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2、A
【解析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出a的范围，从而确定a满足条件的所有整数值，求和即可.
【详解】不等式组整理得： ,
由不等式组至少有4个整数解，得到a+2＜﹣1，
解得：a＜﹣3，
分式方程去分母得：12﹣ax＝2x+4，
解得：x＝，
∵分式方程有整数解且a是整数
∴a+2＝±1、±2、±4、±8，
即a＝﹣1、﹣3、0、﹣4、2、﹣6、6、﹣10，
又∵x＝≠﹣2，
∴a≠﹣6，
由a＜﹣3得：a＝﹣10或﹣4，
∴所有满足条件的a的和是﹣14，
故选：A．
本题主要考查含参数的分式方程和一元一次不等式组的综合，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法，是解题的关键，特别注意，要检验分式方程的增根.
3、C
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【详解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABC，故①正确，
∵∠A=∠A， ，
∴△AED∽△ABC，故③正确，
由②无法判定△ADE与△ACB相似，
故选C．
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
4、A
【分析】连接OA作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．
【详解】解：如图，
过点O作于点C，边接AO，
，
在中，，
，
解，得AO=50
故选：A
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5、B
【分析】在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，
故选：B．
本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6、C
【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．利用方程解的定义将x＝2代入方程式即可求解．
【详解】解：将x＝2代入x2+ax﹣6＝2，得22+2a﹣6＝2．
解得a＝2．
故选C．
本题考查的是一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
7、A
【分析】将点A（a-1，b），B（a-2，c）代入得出方程组，根据方程组中两个方程相减可得出b-c=2a-1，结合可得到b-c的正负情况，本题得以解决．
【详解】解：∵点A（a-1，b），B（a-2，c）在二次函数的图象上，
∴，
∴b-c=2a-1，
又，∴b-c=2a-1＜0，
∴b＜c，
故选：A．
本题考查二次函数图象上的点以及不等式的性质，解答本题的关键是将已知点的坐标代入二次函数解析式，得出b-c=2a-1．
8、D
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；
③＝，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
④AD·BC＝DE·AC，可化为，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，
故选：D．
此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．
9、A
【解析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为，
故选A．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
10、A
【解析】由性质性质得，∠D′=∠D=90°,∠4=α,由四边形内角和性质得∠3=360°-90°-90°-110°=70°,所以∠4=90°-70°=20°.
【详解】如图,因为四边形ABCD为矩形,
所以∠B=∠D=∠BAD=90°,
因为矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,
所以∠D′=∠D=90°,∠4=α,
因为∠1=∠2=110°,
所以∠3=360°-90°-90°-110°=70°,
所以∠4=90°-70°=20°,
所以α=20°.
故选：A
本题考核知识点：旋转角. 解题关键点：理解旋转的性质.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据题意易得∠AOB=70°，然后由等腰三角形的性质及三角形内角和可求解．
【详解】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠ACB=35°，
∴∠AOB=2∠ACB=70°，
∴；
故答案为1．
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
12、
【分析】过点A作AE⊥BD，由AAS得△AOE≌△COD，从而得CD＝AE＝3，由勾股定理得DB＝4，易证△ABE∽△BCD，得，进而即可求解．
【详解】过点A作AE⊥BD，
∵CD⊥BD，AE⊥BD，
∴∠CDB＝∠AED＝90°，CO＝AO，∠COD＝∠AOE，
∴△AOE≌△COD（AAS）
∴CD＝AE＝3，
∵∠CDB＝90°，BC＝5，CD＝3，
∴DB＝＝4，
∵∠ABC＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠CBD，
又∵∠CDB＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△BCD，
∴，
∴，
∴AB＝．
故答案为：．
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
13、1
【分析】先根据周长求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出BD的一半，然后即可得解．
【详解】解：如图，∵菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC＝6cm，
∴AB＝20÷4＝5cm，AO＝AC＝3cm，
又∵AC⊥BD，
∴BO＝＝4cm，
∴BD＝2BO＝1cm．
故答案为：1．
本题考查了菱形的性质,属于简单题,熟悉菱形对角线互相垂直且平分是解题关键.
14、27
【分析】根据根与系数的关系，由x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，即可得到答案.
【详解】∵x1，x2是方程 x2−5x−1=0 的两根，
∴x1+x2=5，x1∙x2=−1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=52-2×（-1）=27；
故答案为27.
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，并正确进行化简计算.
15、1
【分析】因为面条的总长度y（cm）是面条粗细（横截面面积）x（cm2）反比例函数，且从图象上可看出过（0.05，3200），从而可确定函数式，再把x=0.16代入求出答案．
【详解】解：根据题意得：y= ，过（0.04，3200）．
k=xy=0.04×3200=128，
∴y=（x＞0），
当x=0.16时，
y= =1（cm），
故答案为：1．
此题参考反比例函的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
16、130°.
【分析】
在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理先求出∠ADB的度数，再利用圆内接四边形对角互补进行求解即可.
【详解】
在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=100°，
∴∠ADB=∠AOB =50°，
∴∠ACB=180°﹣∠ADB=130°．
故答案为130°．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补的性质，正确添加辅助线，熟练应用相关知识是解题的关键．
17、（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．
【分析】先求出点C的坐标，分为三种情况：圆P与边AO相切时，当圆P与边AB相切时，当圆P与边BO相切时，求出对应的P点即可．
【详解】∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），
∴直线AB的解析式为y=-x+2，
∵点P是直线y=2x+2上的一动点，
∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（-1，0），
当圆P与边AB相切时，PA=PO，
∴PA=PC，即P为AC的中点，
∴P（-，1）；
当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上，
∴P点与C重合，坐标为（-1，0）；
当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上，
∴P点与A重合，坐标为（0，2）；
故符合条件的P点坐标为（0，2），（-1，0），（-，1），
故答案为（0，2），（-1，0），（-，1）．
本题主要考查待定系数法确定一次函数关系式，一次函数的应用，及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，可分类3种情况圆与△AOB的三边分别相切，根据直线与圆的位置关系可求解点的坐标．
18、（5，2）或（4，4）．
【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【详解】解：根据题意得：OA=1，OB=2，AB=，
∴当AB与AC对应时，有或者，
∴AC=或AC=5，
∵C在格点上，
∴AC=（不合题意），则AC=5，如图：
∴C点坐标为（4，4）
同理当AB与BC对应时，可求得BC=或者BC=5，也是只有后者符合题意，
如图：
此时C点坐标为（5，2）
∴C点坐标为（5，2）或（4，4）．
故答案为：（5，2）或（4，4）．
本题结合坐标系，重点考查了相似三角形的判定的理解及运用．
三、解答题(共66分)
19、 (1)见解析；(2) 是平行四边形；理由见解析.
【分析】（1）根据角平分线的性质先得出∠BEC＝∠DFA，然后再证∠ACB＝∠CAD，再证出△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF；
（2）连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】（1）证明:四边形是平行四边形，
，
分别是的平分线，
，
∴ ，
∴
（2）是平行四边形；
连接交于，
四边形是平行四边形，
，
.
即
四边形为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等．
20、（1）假；（2）3
【分析】（1）判定是真假命题，要看抛物线与坐标轴交点的个数，当有3个交点时是真命题，有两个或一个交点时不能构成三角形．
（2）先求抛物线与坐标轴的交点坐标，再求面积即可．
【详解】解：（1）假命题.如果抛物线与x坐标轴没有交点时，不能形成三角形．
（2）抛物线解析式为
与轴交点坐标为，
与轴交点坐标为，
“抛物线三角形”的面积为
本题考查了抛物线的性质，再求抛物线与坐标轴的交点组成的三角形的面积．
21、y＝－x2＋4x＋2.
【分析】根据点B的坐标可求出m的值，写出一次函数的解析式，并求出点A的坐标，最后利用点A、B两点的坐标求抛物线的解析式．
【详解】（1）∵直线y=﹣4x+m过点B（3，9），∴9=﹣4×3+m，解得：m=1，∴直线的解析式为y=﹣4x+1．
∵点A（5，n）在直线y=﹣4x+1上，∴n=﹣4×5+1=1，∴点A（5，1），
将点A（5，1）、B（3，9）代入y=﹣x2+bx+c中，得：
，
解得：，
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+2．
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22、（1）见解析；（2）①见解析，②1
【分析】（1）连接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，结合折叠的性质得∠OCA=∠FAC，于是可判断OC∥AF，然后根据切线的性质得直线FC与⊙O相切；
（2）①连接OD、BD，利用直角三角形斜边上的中线的性质可证得CB=OC=OD=BD，再根据菱形的判定定理即可判定；
②首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△OCE中，根据，构建方程即可解决问题；
【详解】（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
由翻折的性质，有∠OAC=∠FAC，∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠FAC=∠OCA，
∴∥AF，
∴∠OCG=∠AFC=90°，
故FG是⊙O的切线；
（2）①如图，连接OD、BD，
∵CD垂直于直径AB，
∴OC=OD，BC=BD，
又∵B为OG的中点，
∴，
∴CB=OB，
又∵OB=OC，
∴CB=OC，
则有CB=OC=OD=BD，
故四边形OCBD是菱形；
②由①知，△OBC是等边三角形，
∵CD垂直于直径AB，
∴，
∴，
设⊙O的半径长为R，
在Rt△OCE中，
有，即，
解之得：，
⊙O的半径长为：1．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用方程的思想解决问题．
23、100米
【分析】延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，设PM的长为x米，利用锐角三角函数即可求出x，再利用锐角三角函数即可求出QM，从而求出结论．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：
则∠PMA＝90°，
设PM的长为x米，
在RtPAM中，∠PAM＝45°，
∴AM＝PM＝x米，
∴BM＝x﹣100（米），
在RtPBM中，
∵tan∠PBM，
∴tan60°，
解得：x＝50（3），
在RtQAM中，
∵tan∠QAM，
∴QM＝AM•tan∠QAM＝50（3）×tan30°＝50（）（米），
∴PQ＝PM﹣QM＝100（米）
答：信号塔PQ的高度约为100米．
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
24、（1），30；（2）；（3）的长
【分析】(1)直接利用勾股定理可求出AC的长，再利用特殊角的三角函数值可得出DAC的度数
(2)设CE=x，则DE=，根据已知条件得出,再利用相似三角形对应线段成比例求解即可.
(3)点运动的路径长为的长，求出圆心角，半径即可解决问题.
【详解】解：(1)连接AC
∵
∴
（2）由已知条件得出，,,
易证
∴
∴
∴
（3）如图所示，运动的路径长为的长
由翻折得：
∴
∴的长
本题考查的知识点有相似三角形的判定与性质，特殊的三角函数值，弧长的相关计算等，解题的关键是弄清题意，综合利用各知识点来求解.
25、2（cm）
【分析】先求出圆的半径，再通过作OP⊥CD于P，求出OP长，再根据勾股定理求出DP长，最后利用垂径定理确定CD长度.
【详解】解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∴OE＝2，
在Rt△OPE中，OP＝OE•sin∠DEB＝，
∴PD＝＝，
∴CD＝2PD＝2（cm）．
本题考查了垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造直角
三角形及构造出符合垂径定理的条件是解答此题的关键.
26、见解析
【分析】根据题意（将绕点逆时针旋转即可画出图形；
【详解】解：如图所示，即为所求.
此题考查了旋转变换．注意抓住旋转中心与旋转方向是关键．
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