资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．先将抛物线关于轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
4．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5 C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5
5．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
6．二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，则的图象与x轴的交点的横坐标分别为（ ）
A．1和5 B．﹣3和1 C．﹣3和5 D．3和5
7．抛物线y=x2+kx﹣1与x轴交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
8．小红抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子六个面分别刻有1到6的点数，下列事件为必然事件的是（ ）
A．骰子向上一面的点数为偶数 B．骰子向上一面的点数为3
C．骰子向上一面的点数小于7 D．骰子向上一面的点数为6
9．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
10．如果双曲线y＝经过点（3、﹣4），则它也经过点（ ）
A．（4、3） B．（﹣3、4） C．（﹣3、﹣4） D．（2、6）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知中，，交于，且，，，，则的长度为________.
12．在一个布袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”、“丽”、“罗”、“山”的文字．先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是含有“美”“丽”二字的概率为_____．
13．若是方程的一个根，则代数式的值是______.
14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件 （只需写一个）．
15．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的的点数大于4的概率是______________.
16．计算：= ．
17．75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_____cm．
18． “永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在A处，测得楼顶端B的仰角为30°，楼底端C的俯角为45°，此时低空无人机到地面的垂直距离AE为23 米，那么永定楼的高度BC是______米（结果保留根号）．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在中，，为边上的中线,于点
（1）求证：BD·AD=DE·AC．
（2）若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
（3）在（2）的条件下，求的值.
20．（6分）如图，四边形OABC为平行四边形，B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB=．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若BC=10cm，求图中阴影部分的面积．
21．（6分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）如图1，求△BCD的面积；
（2）如图2，P是抛物线BD段上一动点，连接CP并延长交x轴于E，连接BD交PC于F，当△CDF的面积与△BEF的面积相等时，求点E和点P的坐标．
22．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
23．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出旋转后的△A1OB1，点A1的坐标为______ ；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径的长．
24．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.
证明：△BCD∽△BDE.
25．（10分）
26．（10分）如图，在平面内。点为线段上任意一点.对于该平面内任意的点，若满足小于等于则称点为线段的“限距点”.
（1）在平面直角坐标系中，若点.
①在的点中，是线段的“限距点”的是 ；
②点P是直线上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标的取值范围.
（2）在平面直角坐标系中，若点.若直线上存在线段AB的“限距点”，请直接写出的取值范围
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH•PC，故③正确；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°
∴AE＝AB＝BC，
∵∠DCF＝30°，
∴DF＝DC＝BC，
∴EF＝AE+DF＝﹣BC，
∴FE：BC＝（2﹣3）：3
故④正确，
故选：D．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
2、C
【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于轴对称的特点得出答案．
【详解】根据二次函数关于轴对称的特点：两抛物线关于轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，可得：抛物线关于轴对称的新抛物线的解析式为
故选：C.
本题主要考查二次函数关于轴对称的特点，熟知两抛物线关于轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，对称轴不变是关键.
3、C
【解析】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，
故选C．
点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
4、A
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣1．
故选A．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．
5、B
【分析】朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.
【详解】依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=
故选B.
此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.
6、A
【分析】根据二次函数图象的平移规律可得交点的横坐标．
【详解】解：∵二次函数y＝（x+m）2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，
∴y＝（x+m﹣2）2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为：﹣1+2＝1和3+2＝5，
故选：A．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用平移的性质和点的坐标平移的性质解答．
7、C
【分析】设y=0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．
【详解】解：∵抛物线y=x2+kx﹣1，
∴当y=0时，则0=x2+kx﹣1，
∴△=b2﹣4ac=k2+4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y=x2+kx﹣与x轴交点的个数为2个，
故选C．
8、C
【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】A、骰子向上一面的点数为偶数是随机事件，选项错误；
B、骰子向上一面的点数为3是随机事件，选项错误；
C、骰子向上一面的点数小于7是必然事件，选项正确；
D、骰子向上一面的点数为6是随机事件，选项错误．
故选：C．
本题考查了随机事件与必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．
9、B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．
【详解】解：，
解不等式2x−1≤5，得：x≤3，
解不等式8−4x＜0，得：x＞2，
故不等式组的解集为：2＜x≤3，
故选：B．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．
10、B
【解析】将（3、﹣4）代入即可求得k，由此得到答案.
【详解】解：∵双曲线y＝经过点（3、﹣4），
∴k＝3×（﹣4）＝﹣12＝（﹣3）×4，
故选：B．
此题考查反比例函数的性质，比例系数k的值等于图像上点的横纵坐标的乘积.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，则四边形DGBF是矩形，由矩形的性质得到BG=DF，DG=FB．由△BFC是等腰直角三角形，得到FC=BF=1．
设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．
在Rt△ADC和Rt△AGB中，由AC=AB，利用勾股定理得到AD=16x-1．
证明△FEB∽△DEA，根据相似三角形的对应边成比例可求出x的值，进而得到AD，DE的长．在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出结论．
【详解】如图，过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，
∴四边形DGBF是矩形，
∴BG=DF，DG=FB．
∵∠BCD=45°，
∴△BFC是等腰直角三角形．
∵BC=，
∴FC=BF=1．
设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．
在Rt△ADC和Rt△AGB中，∵AC=AB，
∴，
∴，
解得：AD=16x-1．
∵FB∥AD，
∴△FEB∽△DEA，
∴，
∴，
∴18x1-16x+1=0，
解得：x=或x=．
当x=时，7x-1＜0，不合题意，舍去，
∴x=，
∴AD=16x-1=6，DE=9x=，
∴AE=．
故答案为：．
本题考查了矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．求出AD=16x-1是解答本题的关键．
12、
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）用1、2、3、4别表示美、丽、罗、山，画树形图如下：
由树形图可知，所有等可能的情况有16种，其中“1，2”出现的情况有2种，
∴P（美丽）．
故答案为：．
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13、9
【分析】根据方程解的定义，将a代入方程得到含a的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴2a2=a+3,
∴2a2-a=3,
∴.
故答案为：9.
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.
14、
【解析】试题分析：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似. 所以在本题的条件的需要满足
考点：相似三角形的判定
点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似.
15、
【解析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可.
【详解】在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，
掷的点数大于4的概率为.
故答案为：.
本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.
16、1．
【解析】试题分析：原式==9﹣1=1，故答案为1．
考点：二次根式的混合运算．
17、1
【分析】由弧长公式：计算．
【详解】解：由题意得：圆的半径．
故本题答案为：1．
本题考查了弧长公式．
18、
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，进一步推出AD=CD=AE=米,再根据tan∠BAD= = ,从而求出BD的值，再由BC=BD+CD即可得到结果.
【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，
∵AD⊥BC, ∠DAC=45°，
∴AD=CD=AE=米,
在Rt△ABD中，
tan∠BAD= =，
∴BD=AD = =23(米)
∴BC=BD+CD= (米)
故答案为.
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质证明∠B=∠C，AD⊥BC，然后再证明△BDE∽△CAD即可；
（2）利用勾股定理求出AD，再根据（1）的结论即可求出DE；
（3）在Rt△BDE中，利用锐角三角函数求解即可.
【详解】解：（1）证明：∵AB=AC， AD为BC边上的中线，
∴∠B=∠C，AD⊥BC，即∠ADC=90°，
又∵DE⊥AB于点E，即∠DEB=90°，
∴∠ADC=∠DEB，
∴△BDE∽△CAD，
∴，
∴BD·AD=DE·AC；
（2）∵AD为BC边上的中线，BC=10，
∴BD=CD=5，
在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，
∴AD= ，
由（1）得BD·AD=DE·AC，
又∵AC=AB= 13，
∴5×12=13·DE，
∴DE=；
（3）由（2）知，DE=，BD=5，
∴在Rt△BDE中，.
本题考查了等腰三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握各定理、性质及余弦的定义是解题的关键.
20、（1）见解析（2）.
【分析】连接OB，由sin∠OCB=求出∠OCB=45，再根据OB=OC及三角形的内角和求出
∠BOC=90，再由四边形OABC为平行四边形，得出∠ABO=90即OB⊥AB，由此切线得到证明；
（2）先求出半径，再由-S△BOC即可求出阴影部分的面积.
【详解】连接OB，
∵sin∠OCB=，
∴∠OCB=45，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45，
∴∠BOC=90，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠ABO=90,即OB⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）在Rt△OBC中，BC=10，sin∠OCB=，
∴，
∴-S△BOC=.
此题考查圆的切线的判定定理、圆中阴影面积的求法，切线的判定口诀：有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径，熟记口诀并熟练用于解题是关键.在求阴影面积时，直线放在三角形或多边形中，弧线放在扇形中，再根据面积加减的关系求得.
21、（1）3；（2）E（5，0），P（，﹣）
【分析】（1）分别求出点C，顶点D，点A，B的坐标，如图1，连接BC，过点D作DM⊥y轴于点M，作点D作DN⊥x轴于点N，证明△BCD是直角三角形，即可由三角形的面积公式求出其面积；
（2）先求出直线BD的解析式，设P（a，a2﹣2a﹣3），用含a的代数式表示出直线PC的解析式，联立两解析式求出含a的代数式的点F的坐标，过点C作x轴的平行线，交BD于点H，则yH＝﹣3，由△CDF与△BEF的面积相等，列出方程，求出a的值，即可写出E，P的坐标．
【详解】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
当x＝﹣＝1时，y＝﹣4，
∴顶点D（1，﹣4），
当y＝0时，
x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
如图1，连接BC，过点D作DM⊥y轴于点M，作点D作DN⊥x轴于点N，
∴DC2＝DM2+CM2＝2，BC2＝OC2+OB2＝18，DB2＝DN2+BN2＝20，
∴DC2+BC2＝DB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S△BCD＝DC•BC＝×3＝3；
（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，
将B（3，0），D（1，﹣4）代入，
得，
解得，k＝2，b＝﹣6，
∴yBD＝2x﹣6，
设P（a，a2﹣2a﹣3），直线PC的解析式为y＝mx﹣3，
将P（a，a2﹣2a﹣3）代入，
得am＝a2﹣2a﹣3，
∵a≠0，
∴解得，m＝a﹣2，
∴yPC＝（a﹣2）x﹣3，
当y＝0时，x＝，
∴E（，0），
联立，
解得，，
∴F（，），
如图2，过点C作x轴的平行线，交BD于点H，则yH＝﹣3，
∴H（，﹣3），
∴S△CDF＝CH•（yF﹣yD），S△BEF＝BE•（﹣yF），
∴当△CDF与△BEF的面积相等时，
CH•（yF﹣yD）＝BE•（﹣yF），
即×（+4）＝（﹣3）（﹣），
解得，a1＝4（舍去），a2＝，
∴E（5，0），P（，﹣）．
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、一次函数的性质及三角形面积的求解.
22、每轮传染中平均一个人传染了13个人．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，列方程求解．
【详解】设每轮传染中平均一个人传染了个
人，则，
即：
则，
解得：(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了13个人．
此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
23、 (1)图见解析，点A 1 （-2，3）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，得出点A1的坐标即可；
（2）利用弧长公式求出点B经过的路径长即可．
（1）如图，
∴ 点A 1 （-2，3）
（2）由勾股定理得，OB= ，
∴弧长
24、见解析
【分析】根据角平分线的定义可得，由可得，根据相似三角形的判定定理即可得△BCD∽△BDE.
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴△BCD∽△BDE.
本题考查相似三角形的判定，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；正确找出对应边和对应角是解题关键.
25、
【分析】移项，利用配方法解方程即可．
【详解】移项得：，
配方得：，
∴ ，
∴．
本题主要考查了解一元二次方程－配方法，正确应用完全平方公式是解题关键．
26、（1）①E；②；（2）.
【分析】（1）①分别计算出C、D、E到A、B的距离，根据“限距点”的含义即可判定；
②画出图形，由“限距点”的定义可知，当点P位于直线上x轴上方并且AP时，点P是线段AB的“限距点”，据此可解；
（2）画出图形，可知当时，直线上存在线段AB的“限距点”，据此可解.
【详解】（1）①计算可知AC=BC= ，DA= ，DB= ，EA=EB=2，
设点为线段上任意一点，则
, , ,
∴,
∴点E为线段AB的“限距点”.
故答案是：E.
②如图,作PF⊥x轴于F,
由“限距点”的定义可知，当点P位于直线上x轴上方并且AP时，点P是线段AB的“限距点”，
∵直线与x轴交于点A(-1,0),交y轴于点H（0，），
∴∠OAH=30°,
∴当AP=2时，AF=，
∴此时点P的横坐标为-1，
∴点P横坐标的取值范围是 ；
（2）如图，直线与x轴交于M，AB交x轴于G，
∵点A(t,1)、B(t，-1),
直线与x轴的交点M(-1,0)，与y轴的交点C(0,)，
∴，
∴∠NMO=30°，
①当圆B与直线相切于点N，连接BN，连接BA并延长与直线交于D(t,)点，
∵∠NBD=∠NMO=30°，
∴，
即 ,
解得： ；
②当圆A与直线相切时，
同理可知：
∴ .
本题考查了一次函数、圆的性质、两点间的距离公式，是综合性较强的题目，通过做此题培养了学生的阅读能力、数形结合的能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．
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