资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某次聚会，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，有人统计一共握了10次手．求这次聚会的人数是多少？设这次聚会共有人，可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
3．已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，点为边的中点，点在上，，过点作交于点．下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ）．
A．①② B．①③ C．①③④ D．③④
6．点是反比例函数的图象上的一点，则（ ）
A． B．12 C． D．1
7．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）
A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰
8．若，且，则的值是 （ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
9．下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
10．代数式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
11．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天我市下雨
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数
D．一个口袋中装有2个红球和一个白球，从中摸出2个球，其中有红球
12．已知，，且的面积为，周长是的周长的，，则边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．方程x2﹣4x﹣6＝0的两根和等于_____，两根积等于_____．
14．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=8，DF=3FC，则BC=__________.
15．若点，在反比例函数的图象上，则______.（填“>”“<”或“=”）
16．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为_____．
17．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．
18．如图，点、分别在的边、上，若，，．若，，则的长是__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
20．（8分）已知，求的值．
21．（8分）某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为元件，每销售一件需缴纳平台推广费元，该款小电器每天的销售量（件）与每件的销售价格（元）满足函数关系：．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于元件且不得高于元件．
（1）写出每天的销售利润（元）与销售价格（元）的函数关系式；
（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，过点的双曲线与矩形的边交于点．
(1)求双曲线的解析式以及点的坐标；．
(2)若点是抛物线的顶点；
①当双曲线过点时，求顶点的坐标；
②直接写出当抛物线过点时，该抛物线与矩形公共点的个数以及此时的值．
23．（10分） “赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．
请根据图中信息完成下列各题．
（1）将频数分布直方图补充完整人数；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；
（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．
24．（10分）如图，要设计一幅宽为20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度相等，如果要使余下的图案面积为504cm2，彩条的宽应是多少cm．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线行经过点和点，交轴正半轴于点，连接，点是线段上动点(不与点重合)，以为边在轴上方作正方形，接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，过点作轴，交抛物线于点，设点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若与相似求的值；
（3）当时，求点的坐标．
26．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为×聚会人数×（聚会人数-1）=总握手次数，把相关数值代入即可．
【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x人，
由题意得：，
故选：D．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
2、A
【解析】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选 A.
3、B
【分析】利用二次函数的图象和性质逐一对选项进行分析即可．
【详解】①因为其图象的开口向上，故正确；
②其图象的对称轴为直线，故错误；
③其图象顶点坐标为，故错误；
④因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧，即当时，随的增大而减小，故正确．
所以正确的有2个
故选：B．
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4、C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C.
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是正确判断的关键.
5、C
【分析】连接．根据“HL”可证≌，利用全等三角形的对应边相等，可得，据此判断①；根据“ ”可证≌，可得，从而可得，据此判断②；由（2）知，可证，据此判断③；根据两角分别相等的两个三角形相似，可证∽∽，可得， 从而可得，据此判断④.
【详解】解：（1）连接． 如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵FG⊥FC，
∴∠GFC=90°，
在Rt△CFG与Rt△CDG中，
∴≌．
∴．．．①正确．
（2）由（1），垂直平分．∴∠EDC+∠2=90°，
∵∠1+∠EDC=90°，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB，∠DAE=∠CDG=90°，
∴≌ ．
∴．
∵为边的中点，
∴为边的中点．
∴．∴②错误．
（3）由（2），得． ∴．③正确．
（4）由（3），可得∽∽． ∴
∴． ∴④正确．
故答案为：C.
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6、A
【解析】将点代入即可得出k的值．
【详解】解：将点代入得，，解得k=-12，
故选：A．
本题考查反比例函数图象上点，若一个点在某个函数图象上，则这个点一定满足该函数的解析式．
7、A
【解析】因为∠ACB=90°，AC︰BC=3︰4，则因为∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，得△ABC △ADE，得 ， ，则， .故选A.
8、A
【分析】根据，且，得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
9、D
【分析】根据几何体的三视图的定义以及性质进行判断即可．
【详解】根据几何体的左视图的定义以及性质得，这个几何体的左视图为
故答案为：D．
本题考查了几何体的三视图，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．
10、B
【分析】根据二次根式和分式成立的条件得到关于x的不等式，求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得．
故选：B
本题考查了代数式有意义的条件，一般情况下，若代数式有意义，则分式的分母不等于1，二次根式被开方数大于等于1．
11、D
【分析】根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可．
【详解】解：明天我市下雨、抛一枚硬币，正面朝上、走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数都是随机事件，
一个口袋中装有2个红球和一个白球，从中摸出2个球，其中有红球是必然事件，
故选：D．
本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
12、B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可得两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求出△ABC的面积，进而可求出AB边上的高．
【详解】∵，周长是的周长的，
∴与的相似比为，
∴，
∵S△A′B′C′=，
∴S△ABC=24，
∵AB=8，
∴AB边上的高==6，
故选：B．
本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方；熟练掌握相关性质是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、4 ﹣6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案．
【详解】设方程的两个根为x1、x2，
∵a=1，b=-4，c=-6，
∴x1+x2=-=4，x1·x2==-6，
故答案为4，﹣6
本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）的两个根为x1、x2，那么，x1+x2=-，x1·x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键．
14、6+1．
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出比例式，DF=3FC计算得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．
【详解】解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于；
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=8，
∴直角三角形ABE中，BE=8，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=8，
∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，
∴△EFD∽△GFC
∵DF=3FC，
设CG=x，DE=3x，则AD=8+3x=BC
∵BG=BC+CG
∴8=8+3x+x
解得x=1-1，
∴BC=8+3（1-1）=6+1，
故答案为：6+1．
本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是得出BG=BE，从而进行计算．
15、<
【分析】根据反比例的性质，比较大小
【详解】∵
∴在每一象限内y随x的增大而增大
点，在第二象限内y随x的增大而增大
∴m<n
故本题答案为：<
本题考查了通过反比例图像的增减性判断大小
16、πa
【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧长公式求出的长=的长=的长=，那么勒洛三角形的周长为
【详解】解：如图．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，
∴的长=的长=的长=，
∴勒洛三角形的周长为
故答案为πa．
本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边三角形的性质．
17、16:25
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：，
∴这两个三角形的面积比；
故答案为：∶.
本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
18、
【分析】由题意根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定定理和相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵∠A=40°，∠B=65°，
∴∠C=180°-40°-65°=75°，
∴∠C=∠AED，
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴.
故答案为：．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型，难度较小．
三、解答题（共78分）
19、（1）y；（2）yx+1．
【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；
(2)作AD⊥BC于D，则D(2，b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程，求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．
【详解】(1)由题意得：k＝xy＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y；
(2)设B点坐标为(a，b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2，b)，
∵反比例函数y的图象经过点B(a，b)，
∴b，
∴AD＝3，
∴S△ABCBC•ADa(3)＝6，
解得a＝6，
∴b1，
∴B(6，1)，
设AB的解析式为y＝kx+b，将A(2，3)，B(6，1)代入函数解析式，得
，解得：，
所以直线AB的解析式为yx+1．
本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，熟练掌握待定系数法以及正确表示出BC，AD的长是解题的关键．
20、9
【分析】根据，用表示、、，将它们代入原式，即可得到答案．
【详解】解：设，则x＝2k，y＝3k，z＝4k
∴＝．
本题考查了比例的性质，将三个未知数用一个未知数表示出来是解题的关键．
21、（1）；（2）当时，w有最大值，最大值为750元
【分析】（1）直接利用“总利润=每件的利润×销量”得出函数关系式；
（2）由（1）中的函数解析式，将其配方成顶点式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）依题意得：
（2）
∵
∴当，w随x的增大而减小
∴当时，w有最大值，
最大值为：元．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数关系式及熟练掌握二次函数的性质．
22、（1），；（2）①；②三个，
【分析】（1）将C点坐标代入求得k的值即可求得反比例函数解析式，将代入所求解析式求得x的值即可求得E点坐标；
（2）①将抛物线化为顶点式，可求得P点的横坐标，再根据双曲线解析式即可求得P点坐标；②根据B点为函数与y轴的交点可求得t的值和函数解析式，再根据函数的对称轴，与x轴的交点坐标即可求得抛物线与矩形公共点的个数．
【详解】解:(1)把点代入，得，
∴
把代入，得，
∴；
(2)①∵抛物线
∴顶点的横坐标，
∵顶点在双曲线上，
∴，
∴顶点，
②当抛物线过点时，
，解得，
抛物线解析式为，
故函数的顶点坐标为，对称轴为，与x轴的交点坐标分别为
所以它与矩形在线段BD上相交于和，在线段AB上相交于，即它与矩形有三个公共点，此时．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式和求二次函数解析式，二次函数的性质．在求函数解析式时一般该函数有几个未知的常量就需要代入几个点的坐标，本题（2）（3）中熟练掌握二次函数一般式，交点式，顶点式三种表达式之间的互相转化是解决此题的关键．
23、（1）答案见解析 （2）54% （3）
【解析】（1）根据各组频数之和等于总数可得分的人数，据此即可补全直方图；
（2）用成绩大于或等于80分的人数除以总人数可得；（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【详解】（1）70到80分的人数为人，
补全频数分布直方图如下：
（2）本次测试的优秀率是；
（3）设小明和小强分别为、，另外两名学生为：、，
则所有的可能性为：、、、、、，
所以小明与小强同时被选中的概率为．
本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．
24、1cm．
【分析】设每个彩条的宽度为xcm，根据剩余面积为504cm2，建立方程求出其解即可．
【详解】设每个彩条的宽度为xcm，由题意，得
（30﹣2x）（20﹣2x）＝504，
解得：x1＝24（舍去），x2＝1．
答：每个彩条的宽度为1cm．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据剩余面积=总面积-彩条面积列出方程.
25、（1）y＝－x2+3x+4；（2）a＝或；（3）点P的坐标为(1，4)或(2，4)或(，4)
【分析】（1）点C（0，4），则c=4，二次函数表达式为：y=-x2+bx+4，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）△AOC与△FEB相似，则∠FBE=∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB=或4，即可求解；
（3）证明△PNF≌△BEF（AAS），PH=2，则-4a2+6a+4-4=|2|，即可求解．
【详解】解：(1)将点A和点C的坐标代入上式得：0＝－1－b+4，
解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝－x2+3x+4；
(2)∵tan∠ACO＝＝，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
∴tan∠FBE＝或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4－a，
则或，
解得：a＝或；
(3)令y＝－x2+3x+4＝0，解得：x＝4或－1，故点B(4，0)；
分别延长GF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF(AAS)，
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4－a，
∴点P(2a，4)，点H(2a，－4a2+6a+4)，
∵PH＝2，
即：－4a2+6a+4－4＝±2，
解得：a＝1或或或(舍去)，
故：点P的坐标为(1，4)或(2，4)或(，4)．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、正方形的性质、三角形相似等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26、（1）；（2）游戏规则对甲、乙双方不公平．
【解析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率．
（2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．
【详解】解：（1）列表如下：
∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，
∴．
（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，
∴．
∵，即P(甲获胜)≠P（乙获胜），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
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