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2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
3．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知反比例函数，下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（3，4） B．（-2，6） C．（-2，-6） D．（-3，-4）
5．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ）．
A．-1 B．2 C．-1或2 D．-1或2或1
6．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天的最高气温将达35℃
B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
7．下列结论中，错误的有：（ ）
①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；
③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．函数y=ax2+1与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝1，那么这个方程是
A．（x＋1）2＝0
B．（x－1）2＝0
C．x2＝1
D．x2＋1＝0
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．方程(x﹣1)(x+2)＝0的解是______．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．
13．某地区2017年投入教育经费2 500万元，2019年计划投入教育经费3 025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．
14．已知扇形的面积为4π，半径为6，则此扇形的圆心角为_____度．
15．用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为_________．
16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．
17．如图所示的抛物线形拱桥中，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．如果以拱顶为原点建立直角坐标系，且横轴平行于水面，那么拱桥线的解析式为_____．
18．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ：
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．
20．（6分）在中，，.
（Ⅰ）如图Ⅰ，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接.
求证：（1）；
（2）.
（Ⅱ）如图Ⅱ，为外一点，且，仍将线段绕点逆时针旋转得到，连接，.
（1）的结论是否仍然成立？并请你说明理由；
（2）若，，求的长.
21．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海.上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度.如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为千米，仰角为.火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得点的仰角增加，求此时火箭所在点处与处的距离． (保留根号)
22．（8分）一个小球沿着足够长的光滑斜面向上滚动，它的速度与时间满足一次函数关系，其部分数据如下表：
（1） 求小球的速度v与时间t的关系.
（2）小球在运动过程中，离出发点的距离S与v的关系满足 ，求S与t的关系式，并求出小球经过多长时间距离出发点32m？
（3）求时间为多少时小球离出发点最远，最远距离为多少？
23．（8分）在中，分别是的中点，连接
求证：四边形是矩形；
请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
24．（8分）解方程组:
25．（10分）已知是的反比例函数，下表给出了与的一些值：
1
4
1
（1）写出这个反比例函数表达式；
（2）将表中空缺的值补全．
26．（10分）计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．
【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝6，x1x2＝，
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4×＝16，
解得，a＝，
故选：D．
本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式.
2、D
【分析】首先将点P的坐标代入确定函数的表达式，再根据k＞0时，函数图象位于第一、三象限；k＜0时函数图象位于第二、四象限解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点P（-2，1），
∴k=-2＜0，
∴函数图象位于第二，四象限．
故选：D．
本题考查了反比例函数图象上的点以及反比例函数图象的性质，掌握基本概念和性质是解题的关键．
3、B
【分析】设白球的个数为x，利用概率公式即可求得.
【详解】设白球的个数为x，
由题意得，从14个红球和x个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3，
则利用概率公式得：，
解得：，
经检验，x=6是原方程的根，
故选：B.
本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.
4、B
【解析】依次把各个选项的横坐标代入反比例函数的解析式中，得到纵坐标的值，即可得到答案．
【详解】解：A．把x=3代入
得：，即A项错误，
B．把x=-2代入
得：，即B项正确，
C．把x=-2代入
得：，即C项错误，
D．把x=-3代入
得：，即D项错误，
故选：B．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
5、D
【分析】当a-1＝0，即a＝1时，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当a﹣1≠0时，利用判别式的意义得到，再求解关于a的方程即可得到答案．
【详解】当a﹣1＝0，即a＝1，函数为一次函数y＝-4x+2，它与x轴有一个交点；
当a﹣1≠0时，根据题意得
解得a＝-1或a＝2
综上所述，a的值为-1或2或1．
故选：D．
本题考察了一次函数、二次函数图像、一元二次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的性质，从而完成求解．
6、D
【解析】A、明天最高气温是随机的，故A选项错误；
B、任意买一张动车票，座位刚好挨着窗口是随机的，故B选项错误；
C、掷骰子两面有一次正面朝上是随机的，故C选项错误；
D、对顶角一定相等，所以是真命题，故D选项正确.
【详解】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，
故选：D．
本题的考点是随机事件.解决本题需要正确理解必然事件的概念：必然事件指在一定条件下一定发生的事件.
7、B
【分析】根据相似多边形的定义判断①⑤，根据相似图形的定义判断②，根据相似三角形的判定判断③④.
【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误；
放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误；
等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确；
钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确；
矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确.
有2个错误，故选B.
本题考查相似图形的判定，注意相似三角形与相似多边形判定的区别.
8、B
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝＋0.3＝，
∵cosα＝，
∴cosα＝，
解得，AB＝米，
故选B．
本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9、B
【解析】试题分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论：
当a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；位于第一、三象限，没有选项图象符合；
当a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；位于第二、四象限，B选项图象符合．
故选B．
考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用．
10、B
【分析】分别求出四个选项中每一个方程的根，即可判断求解．
【详解】A、（x+1）2=0的根是：x1=x2=-1，不符合题意；
B、（x-1）2=0的根是：x1=x2=-1，符合题意；
C、x2=1的根是：x1=1，x2=-1，不符合题意；
D、x2+1=0没有实数根，不符合题意；
故选B．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1、﹣1
【分析】试题分析：根据几个式子的积为0，则至少有一个式子为0，即可求得方程的根.
【详解】（x﹣1）（x + 1）= 0
x-1=0或x+1=0
解得x=1或-1．
考点：解一元二次方程
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握解一元二次方程的方法，即可完成.
12、2
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2，
故答案为2.
13、10%
【解析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；
2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.
【详解】解：设年平均增长率为x，得
2500(1+x)2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）.
所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法,能够列出式子是解答本题的关键.
14、1
【分析】利用扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则由此构建方程即可得出答案．
【详解】解：设该扇形的圆心角度数为n°，
∵扇形的面积为4π，半径为6，
∴4π＝，
解得：n＝1．
∴该扇形的圆心角度数为：1°．
故答案为：1．
此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握公式是解此题的关键．
15、
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：S=π×1× =3π，
故填：3π．
此题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解本题的关键．
16、1
【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】解：x2﹣6x+8＝0，
(x﹣2)(x﹣4)＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝1，
故答案为：1．
本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解法本题的关键．
17、y＝x1
【解析】根据题意以拱顶为原点建立直角坐标系，即可求出解析式．
【详解】如图：以拱顶为原点建立直角坐标系，
由题意得A（1，−1），C（0，−1），
设抛物线的解析式为：y＝ax1
把A（1，−1）代入，得
4a＝−1，解得a＝−，
所以抛物线解析式为y＝−x1．
故答案为：y＝−x1．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意建立平面直角坐标系．
18、3或1
【解析】利用切线的性质得到点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），然后分别计算点（-1，0）和（1，0）到（-4，0）的距离即可．
【详解】若运动后⊙P与y轴相切，
则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），
而-1-（-4）=3，1-（-4）=1，
所以点P的运动距离为3或1．
故答案为3或1．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
【解析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．
【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是；
故答案为：；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，
∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
故答案为：
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
20、（Ⅰ）（1）见解析；（2）见解析；（Ⅱ）（1）仍然成立，见解析；（2）6.
【解析】（Ⅰ）（1）根据旋转的性质，得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，然后根据SAS证明全等即可；
（2）由全等的性质，得到BD=CE，然后即可得到结论；
（Ⅱ）（1）与（Ⅰ）同理，即可得到；
（2）根据全等的性质，得到，然后利用勾股定理求出DE，根据特殊角的三角函数值，即可求出答案.
【详解】解：（Ⅰ）（1）∵，
∴，即，
在和中，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）（1）的结论仍然成立，
理由：∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
即，
在与中，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴.
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21、火箭所在点处与处的距离．
【分析】在RT△AMN中根据30°角的余弦值求出AM和MN的长度，再在RT△BMN中根据45°角的求出BM的长度，即可得出答案.
【详解】解：在中，
在中，
,
答：火箭所在点处与处的距离.
本题考查解直角三角形，难度适中，解题关键是根据题目意思构造出直角三角形，再利用锐角三角函数进行求解.
22、（1）v=-4t+20；（2）小球经过2s距离出发点32m；（3）当时间为5s时小球离出发点最远，最远距离为50m．
【分析】（1）直接运用待定系数法即可；
（2）将中的用第（1）问中求得的式子来做等量代换，化简可得到S与t的关系式，令S=32时，得到关于t的方程，解出即可；
（3）将S与t的关系式化成顶点式，即可求出S的最大值与相应的时间.
【详解】(1)设v=kt+b，将（2,12），（3,8）代入得：
，解得
所以v=-4t+20
（2）
∴
当时，
，
∵当时，
∴，
答：小球经过2s距离出发点32m.
（3）∵，
∴当t=5时，v=0，m
答：当时间为5s时小球离出发点最远，最远距离为50m.
本题考查了一次函数、一元二次方程、二次函数的应用，掌握好用待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解法，二次函数的最值求法是解题的基础，注意解决实际问题，不能忘记检验.
23、（1）证明见解析；（2）作图见解析.
【解析】首先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
连接交于点，作射线即可．
【详解】证明：分别是的中点，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形
连接交于点，作射线，射线即为所求．
本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
24、.
【分析】根据加减消元法即可求解.
【详解】解:
得:.
解得:
代入①，解得:
所以，原方程组的解为
此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知加减消元法的运用.
25、（1）；（2），－4，，－1，3，2，3，
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把代入解析式即可得出答案；
（2）让的乘积等于3计算可得表格中未知字母的值．
【详解】解：（1）设，
，
∴
（2）
=，=－4，=，=－1，=3，=2，=3，=．
故答案为：，－4，，－1，3，2，3，．
本题考查了反比例函数的解析式，熟练掌握解析式的求法是解题的关键．
26、4.
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】原式．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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