资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．二次函数y=ax1+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-4，0)，对称轴为直线x=-1，下列结论：
①abc>0；
②1a-b=0；
③一元二次方程ax1+bx+c=0的解是x1=-4，x1=1；
④当y>0时，-4<x<1．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．1个 D．1个
2．已知，在中，，则边的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≥1 D．k≤1
4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图象为( )
A． B． C． D．
5．反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限
6．一组数据：2，3，6，4，3，5，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．3，3 B．3，4 C．3.5，3 D．5，3
7．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（ ）
A．16倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍
8．若二次函数的图象与 轴仅有一个公共点，则常数的为（ ）
A．1 B．±1 C．-1 D．
9．下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A．(3，1) B．（-3，1） C．(3，) D．（，3）
10．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+2交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．下列说法：其中正确判断的序号是（ ）
①抛物线与直线y＝3有且只有一个交点；
②若点M（﹣2,y1），N（1,y2），P（2,y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝（x+1）2+1；
④在x轴上找一点D，使AD+BD的和最小，则最小值为．
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
11．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2
B．y=﹣2（x+1）2﹣2
C．y=﹣2（x﹣1）2+2
D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
12．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在等边△ABC中，AB=8cm，D为BC中点．将△ABD绕点A．逆时针旋转得到△ACE，则△ADE的周长为_________cm．
14．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为 ．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin∠A＝_____.
16．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出_____．
17．若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为_______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，点D在BC上，且BD＝AD.求AC的长和cos∠ADC的值．
21．（8分）对于实数a，b，我们可以用表示a，b两数中较大的数，例如，．类似的若函数y1、y2都是x的函数，则y＝min{y1， y2}表示函数y1和y2的取小函数．
（1）设，，则函数的图像应该是___________中的实线部分．
（2）请在下图中用粗实线描出函数的图像，观察图像可知当x的取值范围是_____________________时，y随x的增大而减小．
（3）若关于x的方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是_____________________．
22．（10分）如图，P是正方形ABCD的边CD上一点，∠BAP的平分线交BC于点Q，求证：AP＝DP＋BQ.
23．（10分）关于的一元二次方程有两个不相等且非零的实数根，探究满足的条件．
小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度研究一元二次方程的根的符号。下面是小华的探究过程：第一步：设一元二次方程对应的二次函数为；
第二步：借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次方程中满足的条件，列表如下表。
方程两根的情况
对应的二次函数的大致图象
满足的条件
方程有两个不相等的负实根
①_______
方程有两个不相等的正实根
②
③____________
（1）请将表格中①②③补充完整；
（2）已知关于的方程，若方程的两根都是正数，求的取值范围.
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
25．（12分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上.
(1)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB1C1；
(2)求旋转过程中动点B所经过的路径长(结果保留π).
26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据抛物线的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）逐个判断即可．
【详解】∵抛物线开口向下
∵对称轴
同号，即
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方
，则①正确
∵对称轴
，即，则②正确
∵抛物线的对称轴，抛物线与x轴的一个交点是
∴由抛物线的对称性得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而一元二次方程的解是，则③错误
由图象和③的分析可知：当时，，则④正确
综上，正确的结论有①②④这3个
故选：B．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象与性质是解题关键．
2、B
【分析】如图，根据余弦的定义可求出AB的长，根据勾股定理即可求出BC的长．
【详解】如图，∵∠C=90°，AC=9，cosA=，
∴cosA==，即，
∴AB=15，
∴BC===12，
本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
3、B
【分析】根据反比例函数的性质，当x＞0时，y随x的增大而增大得出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
故选：B．
本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数（k≠0）中，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
4、C
【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.
【详解】根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，
不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，
所以y=1-x2；
可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；
则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选C．
考核知识点：二次函数的性质.
5、B
【解析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k>0，位于一、三象限，k<0，位于二、四象限．
【详解】解：∵反比例函数的比例系数-6<0，∴函数图象过二、四象限．
故选：B．
本题考查的知识点是反比例函数的图象及其性质，熟记比例系数与图象位置的关系是解此题的关键．
6、C
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第1、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．
【详解】要求一组数据的中位数，
把这组数据按照从小到大的顺序排列2，1，1，4，5，6，
第1、4个两个数的平均数是（1＋4）÷2＝1.5，
所以中位数是1.5，
在这组数据中出现次数最多的是1，
即众数是1．
故选：C．
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
7、A
【分析】根据正方形的面积公式：s=a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答．
【详解】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4=16倍．
故选A．
此题考查相似图形问题，解答此题主要根据正方形的面积的计算方法和积的变化规律解决问题．
8、C
【分析】函数为二次函数与x轴仅有一个公共点，所以根据△=0即可求出k的值．
【详解】解：当时，二次函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点，
解得k=-1．
故选：C．
本题考查二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9、A
【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3.
【详解】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵, ∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵, ∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误；
故选A.
10、C
【分析】根据抛物线的性质和平移，以及一动点到两定点距离之和最小问题的处理方法，对选项进行逐一分析即可.
【详解】①抛物线的顶点，则抛物线与直线y＝3有且只有一个交点，正确，符合题意；
②抛物线x轴的一个交点在2和3之间，
则抛物线与x轴的另外一个交点坐标在x＝0或x＝﹣1之间，
则点N是抛物线的顶点为最大，点P在x轴上方，点M在x轴的下放，
故y1＜y3＜y2，故错误，不符合题意；
③y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x+1）2+3，将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，
所得抛物线解析式为y＝（x+1）2+1，正确，符合题意；
④点A关于x轴的对称点，连接A′B交x轴于点D，
则点D为所求，距离最小值为BD′＝＝，
正确，符合题意；
故选：C．
本题考查抛物线的性质、平移和距离的最值问题，其中一动点到两定点距离之和最小问题比较巧妙，属综合中档题.
11、C
【详解】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选C．
12、C
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得：，，
则
故选C.
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、12
【分析】由旋转可知，由全等的性质及等边三角形的性质可知是等边三角形，利用勾股定理求出AD长，可得△ADE的周长.
【详解】解：△ABC是等边三角形，
D为BC中点，AB=8
在中，根据勾股定理得
由旋转可知
是等边三角形
所以△ADE的周长为cm.
故答案为：
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，灵活利用等边三角形的性质是解题的关键.
14、﹣1或1
【解析】试题分析：根据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可． ∵关于x的一元二次方程x1+1ax+a+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a1﹣4（a+1）=0，解得a=﹣1或1．
考点：根的判别式．
15、
【解析】根据勾股定理先得出AB，再根据正弦的定义得出答案即可．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=；
∴sinA=，
故答案为:．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．
16、4个小支干．
【分析】设每个支干长出x个小支干，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每个支干长出x个小支干，
根据题意得：，
解得：舍去，．
故答案为4个小支干．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17、22
【分析】
【详解】∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，
∴m+n=-2,mn=-11,
∴mn(m＋n)＝（-11）×(-2)=22.
故答案是：22
18、
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：∵∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，
∴在Rt△ABC中，利用勾股定理得：BC===15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC=90°
∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF=AD，GF=EF
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积=AB×AC=BC×AD，
∴AD===，
∴EF=AD=,因此EF的最小值为；
又∵GF=EF
∴GF=×=
故线段GF的最小值为：．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（共78分）
19、（1）20；（2）作图见试题解析；（3）．
【分析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；
（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【详解】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；
故答案为20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；
D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；
如图：
（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，
男A1
男A2
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：．
20、AC＝1； cos∠ADC＝
【详解】解：在Rt△ABC中，∵BC＝8，，
∴AC＝1．
设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x，
由勾股定理，得（8－x）2＋12＝x2．
解得x＝3．
∴．
21、（1）D；（2）见解析；或；（3）．
【分析】（1）根据函数解析式，分别比较 ，，，时，与的大小，可得函数的图像；
（2）根据的定义，当时，图像在图像之上，当时，的图像与的图像交于轴，当时，的图像在之上，由此可画出函数的图像；
（3）由（2）中图像结合解析式与可得的取值范围．
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，
∴函数的图像为
故选：D．
（2）函数的图像如图中粗实线所示：
令得，，故A点坐标为(-2,0),
令得，，故B点坐标为(2,0),
观察图像可知当或时，随的增大而减小；
故答案为：或；
（3）将分别代入，得，故C(0,-4)，
由图可知，当时，函数的图像与有4个不同的交点．
故答案为：．
本题通过定义新函数综合考查一次函数、反比例函数与二次函数的图像与性质，关键是理解新函数的定义，结合解析式和图像进行求解．
22、证明见解析.
【解析】试题分析：根据旋转的性质得出∠E=∠AQB，∠EAD=∠QAB，进而得出∠PAE=∠E，即可得出AP=PE=DP+DE=DP+BQ．
试题解析：证明：将△ABQ绕A逆时针旋转90°得到△ADE，由旋转的性质可得出∠E=∠AQB，∠EAD=∠QAB，又∵∠PAE=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠BAQ=∠DAQ=∠AQB=∠E，在△PAE中，得AP=PE=DP+DE=DP+BQ．
点睛：此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出PE=DP+DE是解题关键．
23、（1）①方程有一个负实根，一个正实根；②详见解析；③；（2）
【分析】（1）根据函数的图象与性质即可得；
（2）先求出方程的根的判别式，再利用③即可得出答案.
【详解】（1）由函数的图象与性质得：
①函数图象与x的负半轴和正半轴各有一个交点，则方程有一个负实根，一个正实根；
②函数图象与x轴的两个交点均在x轴的正半轴上，画图如下所示：
；
③由②可得：；
（2）方程的根的判别式为，则此方程有两个不相等的实数根
由题意，可利用③得：，解得
则方程组的解为
故k的取值范围是.
本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题关键.
24、（1）y＝﹣x2+x+2（2）（，4）或（，）或（，﹣）（3）（2，1）
【解析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．
（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP＝CD时，②当DP＝DC时，分别求出点P坐标即可．
（3）如图2中，作CM⊥EF于M，设则（0≤a≤4），根据S四边形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意
解得
∴二次函数的解析式为
（2）存在．如图1中，
∵C（0，2），
∴CD＝
当CP＝CD时，
当DP＝DC时，
综上所述，满足条件的点P坐标为或或
（3）如图2中，作CM⊥EF于M，
∵B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为设
∴（0≤a≤4），
∵S四边形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF
，
∴a＝2时，四边形CDBF的面积最大，最大值为，
∴E（2，1）．
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
25、 (1)画图见解析；(2)点B所经过的路径长为.
【解析】(1)让三角形的顶点B、C都绕点A逆时针旋转90°后得到对应点,顺次连接即可.
(2)旋转过程中点B所经过的路线是一段弧,根据弧长公式计算即可.
【详解】(1)如图.
(2)由(1)知这段弧所对的圆心角是90°,半径AB==5,
∴点B所经过的路径长为.
本题主要考查了作旋转变换图形，勾股定理，弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质和弧长的计算公式是解答本题的关键.
26、（1）见解析
（2）见解析
（1）．
【解析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD．
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
（1）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．
【详解】解：（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB•AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（1）∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=1．
∵AD=4
∴
∴．
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