资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在反比例函数的图象在某象限内，随着的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各点中，在函数y=－图象上的是（ ）
A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1）
3．已知是实数，则代数式的最小值等于（ ）
A．-2 B．1 C． D．
4．已知反比例函数，下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（3，4） B．（-2，6） C．（-2，-6） D．（-3，-4）
5．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A． B．
C． D．
6．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ）
A．（7+x）（5+x）×3=7×5 B．（7+x）（5+x）=3×7×5
C．（7+2x）（5+2x）×3=7×5 D．（7+2x）（5+2x）=3×7×5
7．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．点P（﹣1，2）关于原点对称的点Q的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1．﹣2） D．（﹣1，﹣2）
10．如图，点，，都在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，连接BB′，则∠BAC′的度数为_____°．
12．若，，是反比例函数图象上的点，且，则、、的大小关系是__________．
13．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A处前进3米到达B处时，测得影子BC长的1米，已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D处，此时影子DE长为____米．
14．如图，量角器的0度刻度线为，将一矩形直角与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，量得，点在量角器上的度数为60°，则该直尺的宽度为_________________.
15．计算：________．
16．某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、B两组对抗赛方式进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，B组有男生1人，女生4人，若从两组中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是__________．
17．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．
18．某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心顺时针方向转动，转一圈为分钟．从小刚由登舱点进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点_________处(填，，或)，此点距地面的高度为_______m．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．判断△ABC的形状，并证明你的结论；
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为2：1．
（1） ， ；
（2）求点的坐标；
（1）若将绕点顺时针旋转，得到，其中的对应点是，的对应点是，当点落在轴正半轴上，判断点是否落在函数（）的图象上，并说明理由．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度.
（1）画出关于轴的对称图形；
（2）将以为旋转中心顺时针旋转90°得到，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线段扫过的扇形面积.
22．（8分）若抛物线（a、b、c是常数，）与直线都经过轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线上，则称此直线与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线的“路线”．
（1）若直线与抛物线具有“一带一路”关系，求m、n的值．
（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数的图象上，它的“带线” 的解析式为，求此路的解析式．
23．（8分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点.
（1）填空：的值为 ，的值为 ；
（2）以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标；
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为，且经过点与轴交于点，连接，，.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点为该抛物线上点与点之间的一动点.
①若，求点的坐标.
②如图②，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交于点，连接延长交于点.试说明为定值.
25．（10分）解方程
（1）2x2﹣6x﹣1＝0
（2）（x+5）2＝6（x+5）
26．（10分）已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】由于反比例函数的图象在某象限内随着的增大而增大，则满足，再解不等式求出的取值范围即可．
【详解】∵反比例函数的图象在某象限内，随着的增大而增大
∴
解得：
故选：C.
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象在各象限的变化情况跟系数之间的关系是关键.
2、A
【分析】所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上
【详解】解:-2×4=-8
故选:A
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．
3、C
【分析】将代数式配方，然后利用平方的非负性即可求出结论．
【详解】解：
=
=
=
=
∵
∴
∴代数式的最小值等于
故选C．
此题考查的是利用配方法求最值，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
4、B
【解析】依次把各个选项的横坐标代入反比例函数的解析式中，得到纵坐标的值，即可得到答案．
【详解】解：A．把x=3代入
得：，即A项错误，
B．把x=-2代入
得：，即B项正确，
C．把x=-2代入
得：，即C项错误，
D．把x=-3代入
得：，即D项错误，
故选：B．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
5、A
【分析】根据题意可得到等量关系：原零售价（1-百分率）（1-百分率）=降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：由题意得：
，
故答案选A．
本题考查一元二次方程与实际问题，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．
6、D
【分析】根据关键语句“矩形衬纸的面积为照片面积的3倍”列出方程求解即可．
【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）=3×7×5，
故选：D
找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题．
7、D
【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.
【详解】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
8、C
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段OC与BE的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】∵绕旋转中心顺时针旋转90°后得到，
∴O、B的对应点分别是C、E，
又∵线段OC的垂直平分线为y=1，
线段BE是边长为2的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，
由图形可知，线段OC与BE的垂直平分线的交点为（1，1）．
故选C．
本题考查了旋转的性质及垂直平分线的判定．
9、C
【分析】根据关于原点对称两个点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数可得答案．
【详解】解：点P（﹣1，2）关于原点对称的点Q的坐标为（1，﹣2），
故选：C．
此题考查的是求一个点关于原点对称的对称点，掌握关于原点对称两个点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数是解决此题的关键．
10、C
【分析】连接OC，根据等边对等角即可得到∠B=∠BCO，∠A=∠ACO，从而求得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】连接OC．
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
同理，∠A=∠ACO，
∴∠ACB=∠A+∠B=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°．
故选：C．
本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线，求得∠ACB的度数是关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】由图形选择的性质，∠BAC＝∠B′AC′则问题可解.
【详解】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，
∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，
∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝1°，
故答案为：1．
本题考查了图形旋转的性质，解答关键是应用旋转过程中旋转角不变的性质.
12、
【分析】根据“反比例函数”可知k=3，可知该函数图像过第一、三象限，在第一象限，y随x的增大而减小且y>0，在第三象限，y随x的增大而减小且y<0，据此进行排序即可.
【详解】由题意可知该函数图像过第一、三象限，在第一象限，y随x的增大而减小且y>0，在第三象限，y随x的增大而减小且y<0，
因为
所以
所以
故答案填.
本题考查的是反比例函数的性质，能够熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.
13、2
【分析】根据题意可知，本题考查相似三角形性质，根据中心投影的特点和规律以及相似三角形性质，运用相似三角形对应边成比例进行求解．
【详解】解：根据题意可知
当小颖在BG处时，
∴，即
∴AP=6
当小颖在DH处时,
∴，即
∴
∴DE=2
故答案为：2
本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题关键是运用相似三角形对应边相等．
14、
【分析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有根据垂径定理有： 解直角即可.
【详解】连接OC,OD,OC与AD交于点E，
直尺的宽度：
故答案为
考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
15、
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】
故答案为：．
本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
16、
【分析】利用列表法把所有情况列出来，再用概率公式求解即可．
【详解】列表如下
根据表格可知共有25种可能的情况出现，其中抽取到的两人刚好是1男1女的有14种情况
∴抽取到的两人刚好是1男1女的概率是
故答案为：．
本题考查了概率的问题，掌握列表法和概率公式是解题的关键．
17、y＝x2+2x（答案不唯一）．
【解析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．
【详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），
把a＝1代入，得y＝x2+2x．
故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．
18、C 78
【分析】根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈，即可确定出座舱到达了哪个位置；再利用垂径定理和特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可.
【详解】∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈
∴乘坐的座舱到达图2中的点C处
如图，连接BC,OC,OB,作OQ⊥BC于点E
由图2可知圆的半径为44m，
即
∵OQ⊥BC
∴
∴
∴
∴点C距地面的高度为 m
故答案为C,78
本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、见解析.
【分析】利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
【详解】解：△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是弧BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°=∠ACB，
∴△ABC为等边三角形.
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°.
20、（1）6，5；（2）；（1），点不在函数的图象上．
【分析】（1）将点分别代入反比例函数与一次函数的表达式中即可求出k,b的值；
（2）先求出B的坐标，然后求出，进而求出,得出C的纵坐标，然后代入到一次函数的表达式中即可求出横坐标；
（1）先根据题意画出图形，利用旋转的性质和，求出 的纵坐标，根据勾股定理求出横坐标，然后判断横纵坐标之积是否为6，若是，说明在反比例函数图象上，反之则不在．
【详解】（1）将点代入反比例函数中得 ，
∴
∴反比例函数的表达式为
将点代入一次函数中得 ，
∴
∴一次函数的表达式为
（2）当时， ，解得
∵与的面积比为2：1．
设点C的坐标为
当时，，解得
∴
（1）如图，过点 作 于点D
∵绕点顺时针旋转，得到
∴
∴点不在函数的图象上．
本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，掌握反比例函数的图象和性质，待定系数法是解题的关键．
21、（1）见解析；（2）见解析，
【分析】（1）根据图形对称的性质，关于轴对称，相等，互为相反数.
（2）根据扇形的面积S=即可解得.
【详解】解：（1）
（2）
本题考查图形的对称，扇形的面积公式.
22、（1）-1；（2）路线L的解析式为或
【解析】试题分析: (1)令直线y＝mx＋1中x＝0,则y＝1,所以该直线与y轴的交点为(0,1),将(0,1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中,得n＝1,可求出抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2,所以抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1,0)代入到直线y＝mx＋1中,得0＝m＋1,解得m＝－1,
(2)将y＝2x－4和y＝联立方程可得2x－4＝,即2x2－4x－6＝0,解得x1＝－1,x2＝3,所以该“路线”L的顶点坐标为(－1,－6)或(3,2),令“带线”l：y＝2x－4中x＝0,则y＝－4,所以 “路线”L的图象过点(0,－4),设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2,由题意得:－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m＝2,n＝,所以此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.
试题解析:(1)令直线y＝mx＋1中x＝0,则y＝1,即该直线与y轴的交点为(0,1),将(0,1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中,得n＝1,
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2,
∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1,0)代入到直线y＝mx＋1中,得0＝m＋1,解得m＝－1,
(2)将y＝2x－4代入到y＝中,得2x－4＝,即2x2－4x－6＝0,解得x1＝－1,x2＝3,
∴该“路线”L的顶点坐标为(－1,－6)或(3,2),
令“带线”l：y＝2x－4中x＝0,则y＝－4,
∴“路线”L的图象过点(0,－4),
设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2,由题意得:
－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m＝2,n＝,
∴此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.
23、（1）3，12；（2）D的坐标为
【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x-3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标.
【详解】（1）把点A(4,n)代入一次函数,可得；
把点A(4,3)代入反比例函数,可得，
解得k=12.
（2）∵一次函数与轴相交于点B，
由，解得，
∴点B的坐标为（2，0）
如图，过点A作轴，垂足为E，
过点D作轴，垂足为F，
∵A（4，3），B(2，0)
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴ BE=OE－OB=4－2=2
在中，.
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴.
∵轴，轴，
∴.
在与中， ，，AB=CD，
∴，
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴.
∴点D的坐标为
本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
24、（1）；（2）①点的坐标为，；②，是定值.
【分析】（1）设函数为，把代入即可求解；
（2）①先求出直线AB解析式，求出C’点，得到，再求出，设点，过作轴的平行线交于点，得到，根据三角形面积公式得，解出x即可求解；
②过作轴的垂线，垂足为点，设，表示出，故，根据，得，故，即，得到.再过作的垂线，垂足为点，根据 相似三角形的性质得到，可得的值即为定值.
【详解】（1）解：设，把点代入，
得，解得，
∴该抛物线对应的函数表达式为.
（2）①设直线的函数表达式为，
把，代入，得，解得.
∴直线的函数表达式为.
设直线与轴交于点，则点，∴.
，.
设点，过作轴的平行线交于点，则，
∴，
，，
所以点的坐标为，.
②过作轴的垂线，垂足为点，设，则，，
由，得，，即，故.
过作的垂线，垂足为点，
由，得，，即，故.
所以，是定值.
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质.
25、（1）；（2）x＝﹣5或x＝1．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）∵a=2，b=﹣6，c=﹣1，
∴△=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44＞0，
则x；
（2）∵(x+5)2﹣6(x+5)=0，
∴(x+5)(x﹣1)=0，
则x+5=0或x﹣1=0，
解得：x=﹣5或x=1．
本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．
26、（1）；（2）当的值最小时，点P的坐标为；（3）点M的坐标为、、或.
【解析】由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
设点M的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．
【详解】解：将、代入中，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，如图1所示．
当时，有，
解得：，，
点B的坐标为．
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
设直线BC的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
直线BC的解析式为．
当时，，
当的值最小时，点P的坐标为．
设点M的坐标为，
则，，．
分三种情况考虑：
当时，有，即，
解得：，，
点M的坐标为或；
当时，有，即，
解得：，
点M的坐标为；
当时，有，即，
解得：，
点M的坐标为
综上所述：当是直角三角形时，点M的坐标为、、或
本题考查待定系数法求二次一次函数解析式、二次一次函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；分、和三种情况，列出关于m的方程．
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