资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．一元二次方程 x2 ＋x＝0的根是 ( )
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
2．一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( )
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，AB＝5，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
5．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（ ）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再先向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再先向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再先向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再先向下平移1个单位
8．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
9．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图．
将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图．
将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图．
连结AE、AF、BE、BF，如图．
经过以上操作，小芳得到了以下结论：
；四边形MEBF是菱形；为等边三角形；：：．以上结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，直线////，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
11．如图，AD是的一条角平分线，点E在AD上．若， ，则与的面积比为（ ）
A．1:5 B．5:1 C．3:20 D．20:3
12．一元二次方程4x2﹣3x+＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上.若点的坐标为，则的值为_______．
14．若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y＝经过第_____象限．
15．已知△ABC 与△DEF 相似，相似比为 2：3，如果△ABC 的面积为 4，则△DEF 的面积为_____．
16．P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，将△ABP逆时针旋转，使得AB与AC重合，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角∠PCQ：∠QPC：∠PQC=________．
17．在函数中，自变量的取值范围是______.
18．从1,2,3三个数字中任取两个不同的数字，其和是奇数的概率是_________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．
20．（8分）已知关于的一元二次方程的两实数根，满足，求的取值范围.
21．（8分）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象有两个交点和，过点作轴，垂足为点；过点作轴，垂足为点，且，连接.
（1）求，，的值；
（2）求四边形的面积.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，.动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，设运动的时间为秒，.
（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：_______；
（2）当时，求的值；
（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由.
23．（10分）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°
24．（10分）我们规定：方程的变形方程为．例如：方程的变形方程为．
（1）直接写出方程的变形方程；
（2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（3）若方程的变形方程为，直接写出的值．
25．（12分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，）、D（0，），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是 ；
②当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；
（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围．
26．内接于⊙，是直径，，点在⊙上.
(1)如图，若弦交直径于点，连接，线段是点到的垂线.
①问的度数和点的位置有关吗？请说明理由.
②若的面积是的面积的倍，求的正弦值.
(2)若⊙的半径长为，求的长度.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】把一元二次方程化成x(x+1)=0，然后解得方程的根即可选出答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2+x=0，
∴x(x+1)=0，
∴x1=0，x2=−1，
故选B.
本题考查了因式分解法求一元二次方程的根.
2、A
【分析】把a=1,b=-1,c=-1,代入，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况.
【详解】
方程有两个不相等的实数根.
故选A.
本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入计算是解题的突破口.
3、C
【解析】根据AE∥BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC面积=△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系．
【详解】解：连接CE，∵AE∥BC，E为AD中点，
∴ ．
∴△FEC面积是△AEF面积的2倍．
设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x，
∵E为AD中点，
∴△DEC面积=△AEC面积=3x．
∴四边形FCDE面积为1x，
所以S△AFE：S四边形FCDE为1：1．
故选：C．
本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系．
4、B
【分析】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．
【详解】如图所示：
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∴cosB＝＝．
故选：B．
考查了锐角三角函数，解题关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
5、C
【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得.
【详解】∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，故①正确；
由AC=AB，故②错误；
BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；
AC≈0.618AB，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键．
6、C
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．
【详解】抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m2+1）），
∵m2+1＞0，
∴﹣（m2+1）＜0，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故选：C．
本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键．
7、B
【解析】试题分析：因为函数y=x2的图象沿y轴向下平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数y=x2﹣1；然后再沿x轴向左平移2个单位长度，可得新函数y=（x+2）2﹣1．
解：∵函数y=x2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度，
得，y=（x+2）2；
然后y轴向下平移1个单位长度，
得，y=（x+2）2﹣1；
故可以得到函数y=（x+2）2﹣1的图象．
故选B．
考点：二次函数图象与几何变换．
8、D
【解析】由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．
【详解】
点与点关于轴对称；
由于的图象关于原点对称，因此选项错误；
由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
选项正确
故选．
考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
9、D
【分析】根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；
根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；
设圆的半径为r，求出EN= ，则可得EF=2EN=，即可得S四边形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正确．
【详解】解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，
∴∠BMD=90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴∠BNF=90°，
∴∠BMD=∠BNF=90°，
∴CD∥EF，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN=MN， ∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
∵ME=MB=2MN，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半径），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则EN=， ∴EF=2EN=，
∴S四边形AEBF：S扇形BEMF=
故④正确，
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．
10、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.
【详解】解：∵////,
∴ ,
∵AB=6，BC=9，EF=6,
∴,
∴DE=4
故选：A
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.
11、C
【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=3：2，再根据三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED，根据S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得．
【详解】解：∵AE：ED=3：2，
∴AE：AD=3：5，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴S△ABE：S△ACD=9：25，
∴S△ACD=S△ABE，
∵AE：ED=3：2，
∴S△ABE：S△BED=3：2，
∴S△ABE=S△BED，
∴S△ACD=S△ABE=S△BED，
∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=S△BED+S△BED+S△BED=S△BED，
∴S△BDE：S△ABC=3：20，
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．
12、D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此即可得出原方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：4x2﹣3x+＝0，
这里a＝4，b＝﹣3，c＝，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×＝5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
本题考查的知识点是根据一元二次方程根的判别式来判断方程的解的情况，熟记公式是解此题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1或-3
【分析】由题意根据反比例函数中值的几何意义即函数图像上一点分别作关于x、y轴的垂线与原点所围成的矩形的面积为，据此进行分析求解即可.
【详解】解：由题意图形分成如下几部分，
∵矩形的对角线为，
∴，即，
∵根据矩形性质可知，
∴，
∵，点的坐标为，
∴，解得1或-3.
故答案为：1或-3.
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14、二，四
【分析】关于x的方程有唯一的一个实数根，则△＝0可求出m的值，根据m的符号即可判断反比例函数y＝经过的象限．
【详解】解：∵方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，
∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1；
∴反比例函数y＝经过第二，四象限，
故答案为：二，四．
本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及反比例函数的图象，利用根的判别式求出m的值是解此题的关键
15、1
【解析】由△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得它们的面积比是4：1，又由△ABC的面积为4，即可求得△DEF的面积．
【详解】∵△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是2：3，
∴它们的面积比是4：1，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为：4×=1．
故答案为：1．
本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理．
16、3：4：2
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ ，可得△AQP是等边三角形，△QCP的三边长分别为PA,PB,PC ，由∠APB+∠BPC+∠CPA=360,∠APB: ∠BPC: ∠CPA=5:6:7，可得∠APB=100, ∠BPC=120, ∠CPA=140，可得答案.
【详解】解:如图,
将△APB绕A点逆时针旋转60得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ,
AQ=AP,∠QAP=60,
△AQP是等边三角形,
PQ=AP,
QC=PB,△QCP的三边长分别为PA,PB,PC,
∠APB+∠BPC+∠CPA=360,∠APB: ∠BPC: ∠CPA=5:6:7,
∠APB=100, ∠BPC=120, ∠CPA=140，
∠PQC=∠AQC-∠AQP=∠APB-∠AQP=100-60=40，
∠QPC=∠APC-∠APQ=140-60=80,
∠PCQ=180-(40+80)=60,
∠PCQ: ∠QPC: ∠PQC=3:4:2,
故答案为:3:4:2.
本题主要考查旋转的性质及等边三角形的性质，综合性大，注意运算的准确性.
17、
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，x＋1≠0，
解得x≠−1．
故答案为x≠−1．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（1）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
18、
【分析】由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有6个，其中奇数有4个，由此求得所求事件的概率．
【详解】解：由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有3×2=6个，其中奇数有2×2=4个，
故从中任取一个数，则恰为奇数的概率是 ，
故答案为：．
本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．解题的关键是掌握概率公式进行计算．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）30°.
【解析】(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠DAC，从而OC∥AD，由平行线的性质可得OC⊥CD，从而得出CD是⊙O切线；
(2)连接BC,证明△ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度数.
【详解】解：(1) 连结OC.
∵平分，∴∠BAC=∠DAC.
又OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD.
∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切线.
(2) 连结BC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ADC=90°.
又∠BAC=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC. ∴, , , ∴AC=.
在Rt△ACB中, cos∠BAC=, ∴∠BAC=30°.
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆的切线的判定及锐角三角函数的知识.连接半径是证明切线的一种常用辅助线的做法,求角的度数可以借助于三角函数.
20、
【分析】根据根与系数的关系建立关于a的不等式，再结合即可求出a的取值范围.
【详解】解：依题意得，，
∵，
∴，解得，
又由，解得，
∴的取值范围为.
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积的公式是解题的关键，还需要注意公式使用的前提是.
21、（1），，.（2）6
【解析】（1）用代入法可求解，用待定系数法求解；（2）延长，交于点，则.根据求解.
【详解】解：（1）∵点在上，
∴，
∵点在上，且，
∴.
∵过，两点，
∴，
解得，
∴，，.
（2）如图，延长，交于点，则.
∵轴，轴，
∴，，
∴，，
∴
.
∴四边形的面积为6.
考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.
22、（1）；（2），；（3）经过点的双曲线的值不变.值为.
【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，依题意求得P、Q的坐标，进而求得PE、EQ的长，再利用勾股定理即可求得答案，由时间＝距离速度可求得t的取值范围；
（2）当，即时，代入（1）求得的函数中，解方程即可求得答案；
（3）过点作于点，求得OB的长，由，可求得，继而求得OD的长，利用三角函数即可求得点D的坐标，利用反比例函数图象上点的特征即可求得值.
【详解】（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1：
∵点B、C纵坐标相同，
∴BC⊥y轴，
∴四边形OPEC为矩形，
∵运动的时间为秒，
∴，
在中，，，，
∴，
即，
点Q运动的时间最多为：(秒) ，
点P运动的时间最多为：(秒) ，
∴关于的函数解析式及的取值范围为：；
（2）当时，
整理，得，
解得：，.
（3）经过点的双曲线的值不变.
连接，交于点，过点作于点，如下图2所示.
∵，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
在中，，，
∴，，
∴点的坐标为，
∴经过点的双曲线的值为.
本题考查了二次函数的应用－动态几何问题，解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，构造正确的辅助线是解题的关键.
23、1
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：原式＝×+2×﹣＝1．
本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的锐角函数值.
24、（1）；（2）；（3）1
【分析】(1)根据题目的规定直接写出方程化简即可.
(2)先将方程变形,再根据判别式解出范围即可.
(3)先将变形前的方程列出来化简求出a、b、c,相加即可求解.
【详解】（1）由题意得,化简后得:.
（2）若方程的变形方程为，
即.
由方程的变形方程有两个不相等的实数根，可得
方程的根的判别式，
即.
解得
（3）变形前的方程为: ,化简后得:x2=0,
∴a=1,b=0,c=0,∴a+b+c=1.
本题考查一元二次方程的运用,关键在于读题根据规定变形即可.
25、（1）①（6，），②（3，）；（2）
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．
【详解】解：（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），
∴点B的坐标为：（6，2）；
②如图1：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），
∴PE=3，
∴AE=，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴点P的坐标为（3，3）；
故答案为：①（6，2），②（3，3）；
（2）①当0≤x≤3时，
如图，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
∴，
∴EF=
此时重叠部分是梯形，其面积为：
S梯形=（EF+OQ）•OC=（3+x）
∴．
当3＜x≤5时，如图
AQ=OI+IO-OA=x+3-6=x-3
AH=(x-3)
S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AH•AQ=（3+x）﹣
∴．
③当5＜x≤9时，如图
∵CE∥DP
∴
∴
∴
S=（BE+OA）•OC=（12﹣）
∴．
④当x＞9时，如图
∵AH∥PI
∴
∴
∴
S=OA•AH=．
综上：．
此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
26、（1）没有关系，∠CDF=∠CAB=60°；（2）；（3）或
【解析】（1）①根据同弧所对的圆周角解答即可；②利用锐角三角函数的定义求出AC与BC、DF与CF的关系，利用三角形的面积公式得出，然后根据正弦的定义可求出的正弦值；
（2）分两种情况求解：①当D点在直径AB下方的圆弧上时；当D点在直径AB上方的圆弧上时.
【详解】解：（1）①没有关系，理由如下：
当D在直径AB的上方时，如下图，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°；
∵∠ABC=30°，∴∠CAB=60°；
∴∠CDF=∠CAB=60°；
当D在直径AB的下方时，如下图
∵∠CAB=60°，
∴∠CDB=180°-∠CAB=120°,
∴∠CDF=60°.
②∵CF⊥BD，AB为直径；∴ ∠ACB=∠CFD=90°；
由①得，∠CDF=∠CAB=60°，
∴ ；；
∵；；
∴；∴
（2）∵半径为2，，
∴弧CD所对圆心角
①当D点在直径AB下方的圆弧上时；
如图，连结OD，过D作DE⊥AB于E；
由（1）知，，∴；
∴；
OD=2，∴，，；
∴；
②当D点在直径AB上方的圆弧上时，
如图，连结OD，过D作DF⊥AB于F；
此时；
∴，，；
∴；
综上所述：BD的长为或.
本题考查了圆周角定理的推论，锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理的应用，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.
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