资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ）
A．点(1，2)在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．随的增大而减小
D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≠5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≤5
3．将一副三角尺（在中，，，在中，，）如图摆放，点为的中点，交于点，经过点，将绕点顺时针方向旋转（），交于点，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是( )
A．有意义的取值范围是.
B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大.
C．若，则的补角为.
D．布袋中有除颜色以外完全相同的个黄球和个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为
6．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）之间的关系为s＝8t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．16m B．32m C．32m D．64m
7．方程的根是( )
A． B．
C． D．
8．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D． 5
9．下列事件是必然事件的是（ ）
A．通常加热到100℃，水沸腾
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
10．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍，得到△A´B´C´,以下说法错误的是（ ）
A． B．△ABC∽△A´B´C´
C．∥A´B´ D．点,点,点三点共线
11．在反比例函数的图象的每个象限内，y随x的增大而增大，则k值可以是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为 cm．
14．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为_____．
15．点(2，3)关于原点对称的点的坐标是_____．
16．如图，把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.则小圆形场地的半径是______米.
17．如图，点A在函数y＝(x＞0)的图像上，点B在x轴正半轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，则k的值为______．
18．如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知为的外接圆，点是的内心，的延长线交于点，交于点．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，为的直径．若，求的长．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求tanB的值．
21．（8分）先化简，再求值：，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．
22．（10分）已知三个顶点的坐标分别.
（1）画出；
(2)以B为位似中心,将放大到原来的2倍,在右图的网格图中画出放大后的图形△；
(3)写出点A的对应点的坐标：___.
23．（10分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为多少？
24．（10分）从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线 与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
如图1，在中，是的完美分割线，且， 则的度数是
如图2，在中，为角平分线，，求证: 为的完美分割线．
如图2，中，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
25．（12分）如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A（5，0），B（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y1＝（k1＞0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）一次函数y2＝k2x+b经过D、E两点，结合图象，写出不等式＜k2x+b的解集．
26．一位橄榄球选手掷球时，橄榄球从出手开始行进的高度与水平距离之间的关系如图所示，已知橄榄球在距离原点时，达到最大高度，橄榄球在距离原点13米处落地，请根据所给条件解决下面问题：
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）求运动员出手时橄榄球的高度．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：∵
∴图象在二、四象限，y随x的增大而增大，选项A、B、C错误；
∵点在函数的图象上，
∴
∵点横纵坐标的乘积
∴则点也在函数的图象上，选项D正确．
故选：D．
本题考查的知识点是反比例函数的的性质，掌握反比例函数图象的特征及其性质是解此题的关键．
2、D
【解析】二次根式中被开方数非负即5-x≧0∴x≤5故选D
3、C
【解析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCD=tan30°=，于是可得=．
【详解】∵点D为斜边AB的中点，
∴CD=AD=DB，
∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CPD=60°，
∴∠MPD=∠NCD，
∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），
∴∠PDM=∠CDN=α，
∴△PDM∽△CDN，
∴=，
在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，
∴=tan30°=．
故选：C．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．
4、B
【分析】根据，设x=1a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．
【详解】解：∵，设x=1a，y=7a，z=5a，
∴=，
==1，
==1．
∴A＜B＜C．
故选：B．
本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．
5、B
【分析】分别分析各选项的题设是否能推出结论，即可得到答案.
【详解】解：A. 有意义的取值范围是，故选项A命题错误；
B. 一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，故选项B命题正确；
C. 若，则的补角为，故选项C命题错误；
D. 布袋中有除颜色以外完全相同的个黄球和个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为，故选项D命题错误；
故答案为B.
本题考查了命题真假的判断，掌握分析各选项的题设能否退出结论的知识点是解答本题的关键.
6、B
【分析】根据时间，算出斜坡的长度，再根据坡比和三角函数的关系，算出人的下降高度即可.
【详解】设斜坡的坡角为α，
当t＝4时，s＝8×4+2×42＝64，
∵斜坡的坡比1：，
∴tanα＝，
∴α＝30°，
∴此人下降的高度＝×64＝32，
故选：B．
本题考查坡比和三角函数中正切的关系，属基础题.
7、A
【分析】利用直接开平方法进行求解即可得答案.
【详解】，
x-1=0，
∴x1=x2=1，
故选A.
本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的方法是解题的关键．
8、B
【解析】由平行四边形得AD=BC，在Rt△BAC中，点E为BC边中点，根据直角三角形的中线等于斜边的一半即可求出AE.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，
∵AC⊥AB，∴△BAC为Rt△BAC，
∵点E为BC边中点，
∴AE=BC=.
故选B.
9、A
【解析】解：A．通常加热到100℃，水沸腾，是必然事件，故A选项符合题意；
B．抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故B选项不符合题意；
C．明天会下雨，是随机事件，故C选项不符合题意；
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故D选项不符合题意．
故选A．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10、A
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，OB´：BO＝2：1，故选项A错误，符合题意．
故选：A．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
11、A
【解析】因为的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，
所以k−1<0，
即k<1.
故选A.
12、D
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，求出即可．
【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：1且，
故选：D．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、．
【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB，从而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案：
∵直线AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB（切线的性质）．
又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°（直角三角形两锐角互余）．
∵弦BC∥AO，∴∠CBO=∠BOA=60°（两直线平行，内错角相等）．
又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形（等边三角形的判定）．
∴∠BOC=60°（等边三角形的每个内角等于60°）．
又∵⊙O的半径为6cm，∴劣弧的长=（cm）．
14、π
【分析】木板转动两次的轨迹如图（见解析）：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角为60度；第二次转动是以点N为圆心，为半径，圆心角为90度，根据弧长公式即可求得.
【详解】由题意，木板转动两次的轨迹如图：
（1）第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角为60度，即
所以弧的长
（2）第二次转动是以点N为圆心，为半径，圆心角为90度，即
所以弧的长（其中半径）
所以总长为
故答案为.
本题考查了图形的翻转、弧长公式（弧长，其中是圆心角弧度数，为半径），理解图形翻转的轨迹是解题关键.
15、（-2，-3）．
【解析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：
点P(2,3)关于原点对称的点的坐标是(−2,−3).
故答案为（－2，－3）.
16、
【分析】根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程．
【详解】设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，
根据题意得：π（x+5）2=2πx2，
解得，x=5+5或x=5-5（不合题意，舍去）．
故答案为5+5．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出．
17、
【分析】首先过点A作AC⊥OB，根据等边三角形的性质得出点A的坐标，从而得出k的值．
【详解】分析：
解：过点A作AC⊥OB，∵△OAB为正三角形，边长为2，
∴OC=1，AC=，
∴k=1×=．
故答案为：
本题主要考查的是待定系数法求反比例函数解析式以及等边三角形的性质，属于基础题型．得出点A的坐标是解题的关键．
18、．
【分析】作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到S△OAC＝，S△OBD＝，再证明Rt△AOC∽Rt△OBD，然后利用相似三角形的性质得到的值．
【详解】解：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，
∵点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，
∴S△OAC＝×1＝，S△OBD＝×|﹣5|＝，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠AOC＝∠DBO，
∴Rt△AOC∽Rt△OBD，
∴＝（）2＝＝，
∴＝．
∴＝．
故答案为：．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接半径，根据内心的性质、圆的基本性质以及三角形外角的性质求得，即可得证结论；
（2）连接半径，由为的直径、点是的内心以及等腰三角形的三线合一可得、，然后依次解、即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：连接，如图：
∵是的内心
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
（2）连接，如图：
∵是直径，平分
∴且
∵，，
∴在中，
∴
∴
∵
∴
∴在中，
∴由（1）可知，
∴．
故答案是：（1）证明见解析；（2）
本题考查了三角形内心的性质、圆的一些基本性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、垂径定理、锐角三角函数以及勾股定理等知识点，难度不大，属于中档题型．
20、
【分析】过A点作AD⊥BC，将等腰三角形转化为直角三角形，利用勾股定理求AD，利用锐角三角函数的定义求∠B的正切值．
【详解】过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB=AC=13，BC=10，
∴BD=DC=BC=5，
∴AD，
在Rt△ABD中，
∴tanB．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角函数的应用，关键是将问题转化到直角三角形中求解，并且要熟练掌握好边角之间的关系．
21、，-1.
【解析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后选择使原式有意义的数值代入化简后的结果进行计算即可.
【详解】原式
=
，
由x-2≠0且(x-1)2≠0可得x≠2且x≠1，所以x=0，
当时，原式．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键.
22、（1）见解析；（2）见解析；（3）(−3,1)
【分析】（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．在坐标系中找出连接即可；
（2）根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．
（3）利用（2）中图象，直接得出答案．
【详解】(1)根据A(0,2)、B(3,3)、C(2,1).
在坐标系中找出连接即可；
(2)把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形。
所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：(−3,1)、(3,3)、(1,−1).
(3)利用(2)中图象，直接得出答案.
故答案为：(−3,1)
此题考查坐标与图形性质，位似变换，解题关键在于掌握作图法则.
23、饲养室的最大面积为75平方米
【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x，表示出总面积S=x（30-3x）=-3x2+30x=-3（x-5）2+75即可求得面积的最值
【详解】设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，
则总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型．
24、（1）88°；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）是的完美分割线，且，得∠ACD=44°，∠BCD=44°，进而即可求解；
（2）由，得，由平分，，得为等腰三角形，结合，即可得到结论；
（3）由是的完美分割线，得从而得，设，列出方程，求出x的值，再根据，即可得到答．
【详解】(1) ∵是的完美分割线，且，
∴，∠A=∠ACD=44°，
∴∠A=∠BCD=44°，
∴．
故答案是：88°；
，
，
不是等腰三角形，
平分，
，
，
为等腰三角形．
，，
，
是的完美分割线．
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∵是的完美分割线，
∴
，
设，则，
，
，
．
本题主要考查等腰三角形的性质与相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的性质定理，是解题的关键．
25、（1）；（2）＜x＜1．
【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝1，得到D点坐标为（1，2），然后把D点坐标代入反比例函数表达式中，求出k的值即可得到反比例函数解析式；
（2）观察函数图象即可求解．
【详解】解：（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图，
∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴，即，
解得：DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA﹣AN＝1，
∴D点坐标为（1，2），
把D（1，2）代入y1＝得，k＝2×1＝8，
∴反比例函数解析式为；
（2）由（1）知，点D的坐标为（1，2）；
对于，当y＝6时，即6＝，解得x＝，故点E（，6）；
从函数图象看，＜k2x+b时，x的取值范围为＜x＜1，
故不等式＜k2x+b的解集为＜x＜1．
本题主要考查反比例函数与一次函数的关系及相似三角形的判定与性质，关键是根据题意及相似三角形的性质与判定得到反比例函数的解析式，然后利用反比例函数与一次函数的关系进行求解即可．
26、（1）（2）
【分析】（1）由题意知：抛物线的顶点坐标设二次函数的解析式为
把代入即可得到答案，
（2）令求解的值即可．
【详解】解：（1）由题意知：抛物线的顶点为：
设二次函数的解析式为
把代入
解得：
则二次函数的解析式为：
（2）由题意可得：当
运动员出手时橄榄球的高度米．
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握顶点式法求函数解析式是解题的关键．
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