资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．某市为了改善城市容貌，绿化环境，计划过两年时间，绿地面积增加44％，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ( )
A．19％ B．20％ C．21％ D．22％
2．一次函数y=kx+k（k≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．四位同学在研究函数（是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如图，已知则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．sin 30°的值为（ ）
A． B． C． D．
6．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
7．如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
8．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，在上，，交于，连结，则图中与一定相似的三角形是
A． B． C． D．和
10．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．从一批节能灯中随机抽取40只进行检查，发现次品2只，则在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为_______．
12．已知a+b＝0目a≠0，则＝_____．
13．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是_________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
14．如果a，b，c，d是成比例线段，其中a=2cm，b=6cm，c=5cm，则线段d=_______cm．
15．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=1．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点 O恰好落在延长线上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积_____．
16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为10，则的长为____．
17．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，弦CD⊥AB交AB于点P，直线AC，DB交于点E，若AC：CE＝1：2，则OP＝_____．
18．如图，P是反比例函数y＝的图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，得图中阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的比例系数是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，己知点，点在轴上，并且，动点在过三点的拋物线上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于点，交抛物线于点，求当线段的长有最大值时的坐标．并求出最大值是多少．
（3）在轴上是否存在点，使得△是等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．
21．（6分）如图，在中，是内心，，是边上一点，以点为圆心，为半径的经过点，交于点.
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求圆心到的距离及的长.
22．（8分）解分式方程：
（1）．
（2）．
23．（8分）某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．
（1）求出每天利润w的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．
（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．
24．（8分）如图，内接于⊙，，高的延长线交⊙于点，，．
（1）求⊙的半径；
（2）求的长．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点A（0，3），B（2，3），若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．
26．（10分）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】试题分析：设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，则过一年时间的绿地面积为1+x，过两年时间的绿地面积为（1+x）2，根据绿地面积增加44％即可列方程求解.
设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，由题意得
（1+x）2=1+44％
解得x1=0.2，x2=-2.2（舍）
故选B.
考点：一元二次方程的应用
点评：提升对实际问题的理解能力是数学学习的指导思想，因而此类问题是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
2、C
【解析】A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误，
故选C．
3、B
【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．
【详解】解：A．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确
由乙、丁同学的结论可得
解得：
∴二次函数的解析式为：
∴当x=时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
B．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0
∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；
C． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确
由甲乙的结论可得
解得：
∴
当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
D． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意．
故选B．
此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键．
4、A
【分析】先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
A. ，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
B. ，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
故选：A
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
5、C
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】解：sin 30°＝
故选C
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．
6、D
【详解】试题解析：根据题意得=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选D．
考点：利用频率估计概率．
7、D
【解析】分析：根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
详解：观察函数图象，发现：当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜的解集是-2＜x＜0或x＞1．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
8、B
【解析】根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】，
∴，
∴，
故选：B.
本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
9、B
【解析】试题分析：根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE，即可得到结果.
∵矩形
∴∠A=∠D=90°
∴∠DEF+∠DFE=90°
∵
∴∠AEB+∠DEF=90°
∴∠AEB=∠DFE
∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE
∴∽
故选B.
考点：矩形的性质，相似三角形的判定
点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
10、C
【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入,圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．
故答案为C
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】利用概率公式求解可得．
【详解】解：在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为＝，
故答案为：．
本题考查概率公式，熟练掌握计算法则是解题关键.
12、1
【分析】先将分式变形，然后将代入即可．
【详解】解：
，
故答案为1
本题考查了分式，熟练将式子进行变形是解题的关键．
13、①②③
【分析】由图形先得到a，b，c和b2-4ac正负性，再来观察对称轴和x=-1时y的值，综合得出答案.
【详解】解：开口向上的，与轴的交点得出，，，，①对
，，，，②对
抛物线与轴有两个交点，，③对
从图可以看出当时，对应的值大于0，，④错
故答案：①②③
此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握其函数图象与关系.
14、15
【分析】根据比例线段的定义即可求解.
【详解】由题意得：
将a，b，c的值代入得：
解得：（cm）
故答案为：15.
本题考查了比例线段的定义，掌握比例线段的定义及其基本性质是解题关键.
15、9π﹣12．
【详解】解：连接OD交BC于点E，∠AOB=90°，
∴扇形的面积==9π，
由翻折的性质可知：OE=DE=3，
在Rt△OBE中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC=30°，
在Rt△COB中，CO=2，
∴△COB的面积=1，
∴阴影部分的面积为=9π﹣12．
故答案为9π﹣12．
本题考查翻折变换（折叠问题）及扇形面积的计算，掌握图形之间的面积关系是本题的解题关键．
16、2π
【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
【详解】解：如图所示：连接OA、OB．
∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为10，
∴∠AOB＝＝72°，
∴的长为：．
故答案为：2π．
本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键．
17、1．
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，证明△ACP∽△AEF以及△PBD∽△FBE，设PB＝x，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】过点E作EF⊥AB于点F，
∵CP⊥AB，AC：CE＝1：2，
∴CP∥EF，AC：AE＝1：3，
∴△ACP∽△AEF，
∴，
∵PD∥EF，
∴△PBD∽△FBE，
∴，
∵PC＝PD，
∴，
设PB＝x，BF＝3x，
∴AP＝6﹣x，AF＝6+3x，
∴，
解得：x＝2，
∴PB＝2，
∴OP＝1，
故答案为：1．
本题考查了圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18、-1．
【分析】设出点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．
【详解】解：设点P的坐标为（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝xy，
∴|xy|＝1，
∵点P在第二象限，
∴k＝﹣1．
故答案是：﹣1．
此题考查的是已知反比例函数与矩形的面积关系，掌握反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线与坐标轴围成的矩形的面积与反比例函数的比例系数的关系是解决此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）存在，最大值为4，此时的坐标为；（3）存在，或或或
【分析】（1）先确定A（4，0），B（-1，0），再设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，易得直线AC的解析式为y=-x+4，设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），再用x表示出PD，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先计算出AC=4，再分类讨论：当QA=QC时，易得Q（0，0）；当CQ=CA时，利用点Q与点A关于y轴对称得到Q点坐标；当AQ=AC=4时可直接写出Q点的坐标．
【详解】（1）∵C（0，4），
∴OC=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=4，OB=1，
∴A（4，0），B（-1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4），
即y=-x2+3x+4；
（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵A（4，0），C（0，4）
∴
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x+4，
设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），
∴PD=-x2+3x+4-（-x+4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
当x=2时，PD有最大值，最大值为4，此时P点坐标为（2，6）；
（3）存在．
∵OA=OC=4，
∴AC=4，
∴当QA=QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；
当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（-4，0）；
当AQ=AC=4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4-4，0），
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（-4，0）或（4+4，0）或（4-4，0）．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
20、，．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当x＝1时，原式＝．
本题考查的是分式的化简求值，比较简单，记住先化简再求值.
21、（1）见解析；（2）点到的距离是1，的长度
【分析】（1）连接OI，延长AI交BC于点D，根据内心的概念及圆的性质可证明OI∥BD，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质可证明∠AIO=90°，从而得到结论；
（2）过点O作OE⊥BI，利用垂径定理可得到OE平分BI，再根据圆的性质及中位线的性质即可求出O到BI的距离；根据角平分线及圆周角定理可求出∠FOI=60°，从而证明△FOI为等边三角形，最后利用弧长公式进行计算即可.
【详解】解：（1）证明：延长AI交BC于D，连接OI，
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC，
∴∠1=∠3，
又∵OB=OI，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠2，
∴OI∥BD，
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴∠AIO=∠ADB=90°，
∴AI为的切线；
（2）作OE⊥BI，由垂径定理可知，OE平分BI，
又∵OB=OF，
∴OE是△FBI的中位线，
∵IF=2，
∴OE=IF==1，
∴点O到BI的距离是1，
∵∠IBC=30°，
由（1）知∠ABI=∠IBC，
∴∠ABI =30°，
∴∠FOI=60°，
又∵OF=OI，
∴△FOI是等边三角形，
∴OF=OI=FI=2，
∴的长度.
本题考查圆与三角形的综合，重点在于熟记圆的相关性质及定理，以及等腰三角形、等边三角形的性质与判定定理，注意圆中连接形成半径是常作的辅助线，等腰三角形中常利用“三线合一”构造辅助线.
22、（1）；（2）无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：时，，
是原方程的解；
（2）两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
检验：时，，
是原方程的增根，
故原方程无解．
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23、（1）21600元，8或9间；（2）15间，1元
【分析】（1）设每个房间价格提高50x元，可列利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x，将此函数配方为顶点式，即可得到答案；
（2）将（1）中关系式﹣50x2+850x+18000＝19500，求出x的值，由租出去的客房数量最少即（30﹣x）最小，得到x取最大值15，再代入利润关系式求得每间客房的利润即可.
【详解】解：（1）设每个房间价格提高50x元，则租出去的房间数量为（30﹣x）间，
由题意得，利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x
＝﹣50x2+850x+18000
＝﹣50（x﹣8.5）2+21612.5
因为x为正整数
所以当x＝8或9时，利润w有最大值，wmax＝21600；
（2）当w＝19500时，﹣50x2+850x+18000＝19500
解得x1＝2，x2＝15，
∵要租出去的房间最少
∴x＝15，
此时每个房间的利润为600+50×15＝1．
此题考查二次函数的实际应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键，注意（1）x应为正整数，故而x应为对称轴x=8.5两侧的整数8或9.
24、（1）⊙的半径为；（2）
【分析】（1）作直径，连接，由圆周角定理得，根据特殊角的三角函数值，即可求出BF，然后求出半径；
（2）过作于，于，得到四边形是矩形，利用直角三角形的性质求出DG，由垂径定理得到AG=EG=ADDG，然后求出DE的长度.
【详解】解：（1）如图，在⊙中，作直径，连接，
∴，
∵，
∴，
∴⊙的半径为；
（2）如图，过作于，于
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
本题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.
25、（1）C（m，﹣1）；（3）﹣3≤m≤0或3≤m≤3．
【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点C的坐标；
（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝﹣1上移动．分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．
【详解】（1）y＝x3﹣3mx+m3﹣1＝（x﹣m）3﹣1，
∴抛物线顶点为C（m，﹣1）．
（3）把A（0，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，
得3＝m3﹣1，
解得 m＝±3．
把B（3，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，
得3＝33﹣3m×3+m3﹣1，
即m3﹣3m＝0，
解得m＝0 或m＝3．
结合函数图象可知：﹣3≤m≤0或3≤m≤3．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，提现了转化思想和数形结合思想的应用．
26、（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.
【分析】试题（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，再简单计算即可．
【详解】（1）∵DE∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为=，
（2）成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
又∵AD=AE，AB=AC
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，
（3）如图，
将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，
在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵PE2+AE2=AP2，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.
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