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2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某车间20名工人日加工零件数如表所示：
日加工零件数
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3
这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6
2．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则=（ ）
A． B．1 C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（ ）
A． B．
C． D．
5．方程的根是（ ）
A．x=4 B．x=0 C． D．
6．如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数y=-x2+2mx+2,当x<-2时，y的值随x的增大而增大，则实数m（ ）
A．m=-2 B．m>-2 C．m≥-2 D．m≤-2
8．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=48
9．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在一个不透明的布袋中装有红色.白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85％左右，则口袋中红色球可能有（ ）.
A．34个 B．30个 C．10个 D．6个
11．若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知的周长等于 ，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是____________．
14．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 ▲ ．
15．如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是__________．
16．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．
17．如图，是的直径，点在上，且，垂足为，，，则__________．
18．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK= ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，反比例函数与一次函数交于和两点.
（1）根据题中所给的条件，求出一次函数和反比例函数的解析式.
（2）结合函数图象，指出当时，的取值范围.
20．（8分）解方程：3x2+1＝2x．
21．（8分）某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：．
（1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？
（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？
22．（10分）某游乐场试营业期间，每天运营成本为1000元.经统计发现，每天售出的门票张数（张）与门票售价（元/张）之间满足一次函数，设游乐场每天的利润为（元）.（利润=票房收入－运营成本）
（1）试求与之间的函数表达式.
（2）游乐场将门票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
24．（10分）解下列方程：
（1）
（2）
25．（12分）已知二次函数的顶点坐标为A(1，﹣4)，且经过点B(3，0)．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点C(2，﹣3)，D(﹣1，1)是否在该函数图象上，并说明理由．
26．在一个不透明的袋子中装有3个乒乓球，分别标有数字1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同．先从袋子中随机摸出1个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子中随机摸出1个乒乓球记下标号，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的乒乓球标号之和是偶数的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【详解】5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；
把这些数从小到大排列，中位数是第10，11个数的平均数，则中位数是（6＋6）÷2＝6；
平均数是：（4×2＋5×6＋6×5＋7×4＋8×3）÷20＝6；
故答案选D．
2、B
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-1，x1•x2=-1，然后把进行通分，再利用整体代入的方法进行计算．
【详解】根据题意得x1+x2=-1，x1•x2=-1，
所以==1，
故选B．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=.
3、D
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH•PC，故③正确；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°
∴AE＝AB＝BC，
∵∠DCF＝30°，
∴DF＝DC＝BC，
∴EF＝AE+DF＝﹣BC，
∴FE：BC＝（2﹣3）：3
故④正确，
故选：D．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
4、A
【分析】根据抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，即可得解.
【详解】平移后的抛物线为
故答案为A.
此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题.
5、C
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】方程整理得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．
故选C．
本题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
6、B
【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．
【详解】解： A、∵∠ACP＝∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠APC＝∠ACB，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选：B．
本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
7、C
【解析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
∵,抛物线开口向下，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，
∵当时，y的值随x值的增大而增大，
∴ ，
故选：C．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.
8、D
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x，
∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2.
∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48.
故选D.
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律.
9、C
【解析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.
【详解】如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=﹣×（-）=，
故选C．
本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
10、D
【解析】由频数=数据总数×频率计算即可．
【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，
∴口袋中白色球的频率为85%，
故白球的个数为40×85%=34个，
∴口袋中红色球的个数为40-34=6个
故选D．
本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11、B
【分析】由 等式的两边都除以，从而可得到答案．
【详解】解：
等式的两边都除以：，
故选B．
本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
12、C
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的周长等于6πcm，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正六边形ABCDEF=6S△OAB即可得出答案．
【详解】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵⊙O的周长等于6πcm，
∴2πr=6π，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=3cm，
∵OH⊥AB，
∴AH=AB，
∴AB=OA=3cm，
∴AH=cm，OH==cm，
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=（cm2）．
故选C.
此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、4s
【分析】将二次函数化为顶点式，顶点横坐标即为所求．
【详解】解：∵h==，
∴当t=4时，h取得最大值，
∴从点火升空到引爆需要的时间为4s．
故答案为：4s．
本题考查二次函数的实际应用问题，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标是关键．
14、1．
【分析】利用垂径定理和中位线的性质即可求解.
【详解】∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，
∴CD是△APB的中位线，
∴CD=AB=×8=1．
故答案为1
15、2：1
【分析】根据位似三角形的性质，可得出两个三角形的周长比等于位似比等于边长比求解即可．
【详解】解：由题意可得出，
∵的周长与的周长比=
故答案为：2：1．
本题考查的知识点是位似变化，根据题目找出两个图形的位似比是解此题的关键．
16、1
【解析】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=1，
解得：a=1．
故答案是：1．
考点：根与系数的关系．
17、2
【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求得答案．
【详解】连接OC，如图，
∵CD=4，OD=3，，
在Rt△ODC中，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
此题考查了圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18、．
【详解】连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
∵BH=BH，AB=EB，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=AB•tan∠ABH==1，
∴EH=1，
∴FH=，
在Rt△FKH中，∠FKH=30°，
∴KH=2FH=，
∴AK=KH﹣AH==；
故答案为．
考点：旋转的性质．
三、解答题（共78分）
19、（1），y=x-2；（2）或
【分析】（1）根据点A的坐标即可求出反比例函数的解析式，再求出B的坐标，然后将A，B的坐标代入一次函数求出a，b，即可求出一次函数的解析式.
（2）结合图象找出反比例函数在一次函数上方所对应的自变量的取值范围即可解答.
【详解】解：（1）根据点的坐标可知，在反比例函数中，，
∴反比例函数的解析式为.
∴
把点和代入，
即，解得
∴一次函数的解析式为.
（2）观察图象可得，或.
本题考查了反比例函数与一次函数的应用，结合待定系数法求函数的解析式.
20、x1＝x2＝
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：原方程化为：，
∴，
∴x1＝x2＝
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的解法，本题属于基础题型．
21、（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．
【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得；
（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）销售量-7，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得．
【详解】（1）根据题意列出函数关系式如下：
当时，，
解得，．
∵要抢占市场份额
∴．
答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．
（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为万元，销售量．
依据题意得，
当时，，解得，．
∵要继续保持扩大销售量的战略
∴
答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．
本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量．
22、（1）w=;（2）游乐场将门票售价定为25元/张时，每天获利最大，最大利润是1500元
【分析】（1）根据及利润=票房收入－运营成本即可得出化简即可.
（2）根据二次函数的性质及对称轴公式即可得最大值，及x的值.
【详解】（1）根据题意，得.
（2）∵中，，
∴有最大值.
当时，最大，最大值为1500.
答：游乐场将门票售价定为25元/张时，每天获利最大，最大利润是1500元.
本题考查了二次函数的实际应用，结合二次函数的性质即可得到最大值.
23、（1）(0＜x＜4)；（1）当x=1时，S△BDE最大，最大值为6cm1．
【分析】（1）根据已知条件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的对应边成比例求得；最后用x、y表示该比例式中的线段的长度；
（1）根据∠A=90°得出S△BDE=•BD•AE，从而得到一个面积与x的二次函数，从而求出最大值；
【详解】（1）动点D运动x秒后，BD=1x．
又∵AB=8，∴AD=8-1x．
∵DE∥BC，∴，∴，
∴y关于x的函数关系式为(0＜x＜4)．
（1）解：S△BDE==(0＜x＜4)．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm1．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积列出二次函数关系式，利用二次函数求最值问题，建立二次函数模型是解题的关键．
24、（1）；（2）
【分析】（1）把方程右边的项作为整体移到左边，利用因式分解的方法解方程即可；
（2）利用配方法把方程化为：再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：（1）原方程可化为：
解得：
（2）∵
∴
解得：．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解与配方法解方程是本题的解题关键．
25、（1）；（2）C在，D不在，见解析
【分析】（1）根据点A的坐标设出二次函数的顶点式，再代入B的值即可得出答案；
（2）将C和D的值代入函数解析式即可得出答案.
【详解】解：（1） 设二次函数的解析式是，
∵ 二次函数的顶点坐标为
∴
又 经过点
∴ 代入得：
解得：
∴函数解析式为：
（2）将x=2代入解析式得
∴点 在该函数图象上
将x=-1代入解析式得
∴点 不在该函数图象上
本题考查的是待定系数法求函数解析式，解题关键是根据顶点坐标设出顶点式.
26、图形见解析，概率为
【分析】根据题意列出树形图,再利用概率公式计算即可.
【详解】根据题意，列表如下：
共有9种结果，并且它们出现的可能性相等，符合题意的结果有5种，
.
本题考查概率的计算,关键在于熟悉树形图和概率公式.
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