资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．如图，在△ABC中，点D、B分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC＝3DE；②＝；③＝；④＝；其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是( )
A． B． C． D．
5．关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第一、第三象限
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
D．函数图象经过点（1，2）
6．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
7．时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了（ ）.
A．10° B．20° C．30° D．60°
8．如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．把抛物线向下平移1个单位再向右平移一个单位所得到的的函数抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在□ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（ ）
A．3：5 B．2：3 C．3：4 D．3：2
11．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三连个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．1000(1＋x)2＝440 B．1000(1＋x)2＝1000
C．1000(1＋2x)＝1000＋440 D．1000(1＋x)2＝1000＋440
12．如图所示，在矩形中，，点在边上，平分，，垂足为，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．进价为元/件的商品，当售价为元/件时，每天可销售件，售价每涨元，每天少销售件，当售价为________元时每天销售该商品获得利润最大，最大利润是________元．
14．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．
15．如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在BC上，BE＝1，△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，则FE的长等于____________.
16．如图，菱形的边长为4，，E为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为__________．
17．若，则_______．
18．抛物线与y轴的交点做标为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点及点
（1）求二次函数的解析式及的坐标
（2）根据图象，直按写出满足的的取值范围
20．（8分）九（3）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）计算乙队的平均成绩和方差；
（2）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是哪个队？
21．（8分）开学初，某文具店销售一款书包，每个成本是50元，销售期间发现：销售单价时100元时，每天的销售量是50个，而销售单价每降低2元，每天就可多售出10个，当销售单价为多少元时，每天的销售利润达到4000元？要求销售单价不低于成本，且商家尽量让利给顾客．
22．（10分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．
24．（10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
25．（12分）如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．
（1）求∠BAE的度数；
（2）连结BD，延长AE交BD于点F．
①求证：DF=EF；
②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】计算最大数19与最小数8的差即可.
【详解】19-8=11，
故选：D.
此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.
2、D
【分析】先根据点DE分别是AB，AC的中点，得到DE是△ABC的中位线，进而得到BC＝2DE，DE∥BC，据此得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵△ABC中，点DE分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即；
∴，
故正确的有②．
故选：D．
本题考查的知识点三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，根据题目得出三角形相似是解此题的关键.
3、C
【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选C．
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
4、C
【解析】试题解析：C. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.
必须是夹角，但是不一定等于
故选C.
点睛：三角形相似的判定方法：两组角对应相等，两个三角形相似.
两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.
三边的比相等，两三角形相似.
5、C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对D进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、C进行判断．
【详解】A．k=2＞0，则双曲线的两支分别位于第一、第三象限，所以A选项的说法正确；
B．当x＞0时，y随着x的增大而减小，所以B选项的说法正确；
C．若x1＜0，x2＞0，则y2＞y1，所以C选项的说法错误；
D．把x=1代入得y=2，则点（1，2）在的图象上，所以D选项的说法正确．
故选C．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
6、D
【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由△=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．
【详解】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵△=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故选D．
7、D
【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，再求10分钟分针旋转的度数就简单了．
【详解】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°，
那么10分钟，分针旋转了10×6°＝60°，
故选：D．
本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°，所以时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数，是解答本题的关键．
8、C
【分析】根据题意，连接OC，通过垂径定理及勾股定理求半径即可.
【详解】如下图，连接OC，
∵，，
∴CE=4，
∵，，
∴，
故选：C.
本题主要考查了圆半径的求法，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键.
9、B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位，得：，
再向右平移1个单位，得：，即：，
故选B.
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
10、A
【分析】证得△ADP∽△RBP，可得，由AD＝BC，可得．
【详解】∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，
∴△ADP∽△RBP，
∴，
∴．
∴＝．
故选：A．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的对应线段成比例.
11、D
【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题得出选项．
【详解】解：由题意可得，1000(1＋x)2＝1000＋440，
故选：D．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，是关于增长率的问题．
12、C
【分析】利用矩形的性质、全等的性质结合方程与勾股定理计算即可得出答案.
【详解】根据矩形的性质可得，∠D=90°
又EF⊥AE
∴∠AEF=90°
∴
∵AF平分∠DAE
∴∠EAF=∠DAF
在△AEF和△ADF中
∴△AEF≌△ADF
∴AE=AD=BC=5 ，DF=EF
在RT△ABE中，
∴EC=BC-BE=2
设DF=EF=x，则CF=4-x
在RT△CEF中，
即
解得：x=
∴
故答案选择C.
本题考查的是矩形的综合，难度适中，解题关键是利用全等证出△AEF≌△ADF.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、55，3．
【解析】试题分析：设售价为元，总利润为元，则，∴时，获得最大利润为3元.故答案为55，3．
考点：3．二次函数的性质；3．二次函数的应用．
14、1
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝1，
经检验a=1是方程的根，
故答案为：1．
本题主要考查的是频率和概率问题，此类问题是中考常考的知识点，所以掌握频率和概率是解题的关键.
15、2
【分析】由题意可得EC=2，CF=4，根据勾股定理可求EF的长．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=1．
∵△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，∴DF=BE=1，∴CF=CD+DF=1+1=4，CE=BC﹣BE=1﹣1=2．
在Rt△EFC中，EF．
本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
16、+2
【分析】连接DE，因为BE的长度固定，所以要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可．
【详解】解：连结DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为4，
∴BD=4，BE=2，DE=，
∴△PBE的最小周长=DE+BE=，
故答案为：．
本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17、12
【分析】根据比例的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
本题考查了比例的性质，解答本题的关键是明确比例的性质的含义．
18、 (0，9)
【分析】令x=0，求出y的值，然后写出交点坐标即可．
【详解】解：x=0时，y=-9，
所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，-9）．
故正确答案为：(0，-9)．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．
三、解答题（共78分）
19、（1）或，点B的坐标为（4，3）；（2）当时，kx+b≥（x-2）2+m
【分析】（1）先将点A（1，0）代入求出m的值，即可得出二次函数的解析式，再将代入二次函数的解析式即可求出的坐标；
（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出的x的取值范围．
【详解】解：（1）∵二次函数y=（x-2）2+m的图象经过点A（1，0）
∴
解得：
∴二次函数的解析式为
解得： （不合题意，舍去）
∴点B的坐标为（4，3）
（2）由图像可知二次函数y=（x-2）2+m的图像与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，0）及点B（4,3)
当时，kx+b≥（x-2）2+m
本题考查用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20、（1）9，1；（2）乙
【分析】(1)根据平均数与方差的定义即可求解;
(2)根据方差的性质即可判断乙队整齐.
【详解】(1)乙队的平均成绩是：=9
方差是：
(2)∵乙队的方差＜甲队的方差
∴成绩较为整齐的是乙队.
此题主要考查平均数与方差,解题的关键是熟知平均数与方差的求解公式及方差的性质.
21、销售单价为70元时，每天的销售利润达到4000元，且商家尽量让利顾客．
【分析】根据“单件利润×销售量=总利润”可列一元二次方程求解，结合题意取舍可得
【详解】解：设销售单价为x元时，每天的销售利润达到4000元，由题意得，
（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝4000，
解得x1＝70，x2＝90，
因为晨光文具店销售单价不低于成本，且商家尽量让利顾客，
所以x2＝90不符合题意舍去，故x＝70，
答：销售单价为70元时，每天的销售利润达到4000元，且商家尽量让利顾客．
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意确定相等关系，并据此列出方程是解题的关键．
22、（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）1．
【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵=20，=20，=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：××=1平方单位．
故答案为1．
考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理
23、（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）CE长度为1
【分析】（1）连接OD，如图，根据等腰三角形的性质和等量代换可得∠ODB=∠C，进而可得OD∥AC，于是可得OD⊥DE，进一步即可得出结论；
（2）连接OF，由切线的性质和已知条件易得四边形ODEF为矩形，从而可得EF=OD=3，在Rt△AOF中根据勾股定理可求出AO的长，进而可得AB的长，即为AC的长，再利用线段的和差即可求出结果．
【详解】解：（1）DE与⊙O相切；理由如下：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）如图，连接OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=3，
在Rt△OFA中，∵AO2=OF2+AF2，
∴，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC﹣AF﹣EF=8﹣4﹣3=1．
答：CE长度为1．
本题考查了圆的切线的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
24、（1）见解析
（2）见解析
（1）．
【解析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD．
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
（1）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．
【详解】解：（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB•AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（1）∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=1．
∵AD=4
∴
∴．
25、 (1) 75°;(2)①见解析②
【分析】（1）根据题意利用等腰三角形性质以及等量代换求∠BAE的度数；
（2）①由正方形的对称性可知，∠DAF=∠DCF=15°，从而证明△BCF≌△ECF，求证DF=EF；
②题意要求等式表示线段AB，CF，EF的数量关系，利用等腰直角三角形以及等量代换进行分析.
【详解】（1）解：∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠ABE=90°－60°=30°
∴∠BAE=75°．
（2）①证明：∴∠DAF=15°．连结CF．
由正方形的对称性可知，∠DAF=∠DCF=15°．
∵∠BCD=90°，∠BCE=60°，
∴∠DCF=∠ECF=∠DAF=15°．
∵BC=EC，CF=CF，
∴△DCF≌△ECF．
∴DF=EF．
②过C作CO垂直BD交于O，
由题意求得∠OCF=30°，设OF=x，CF=2x，OB=OC=OD=x，EF=DF=OD-OF=x-x则BC=AB=有即有．
本题考查正方形相关，综合利用等腰三角形性质以及全等三角形的证明和等量替换进行分析是解题关键.
26、 (1)(0,-3);(2)B(2,-3);(3) 或
【分析】（1）题干要求直接写出点A的坐标，将x=0代入即可求出；
（2）由题意知点A、B关于对称轴对称，求出对称轴从而即可求点B的坐标；
（3）结合函数图象，抛物线与线段PQ恰有两个公共点，分别对有两个公共点的情况进行讨论求解.
【详解】解：（1）由题意抛物线与y轴交于点A ，将x=0代入求出坐标为；
（2）∵；
∴．
（3）当抛物线过点P（4,0）时，，
∴．
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
当抛物线过点 时，a=1，
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，
∴．
当抛物线开口向下时，．
综上所述，当或时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．
本题考查二次函数图像相关性质，熟练掌握二次函数图像相关性质是解题的关键.
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