资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，1)，下列结论：
①abc＜1；②b2－4ac＝1；③a＜2；④4a－2b＋c＞1．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某新能源汽车4s店的汽车销量自2018年起逐月增加．据统计，该店第一季度的汽车销量就达244辆，其中1月份销售汽车64辆．若该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．64（1+x）2＝244
B．64（1+2x）＝244
C．64+64（1+x）+64（1+x）2＝244
D．64+64（1+x）+64（1+2x）＝244
3．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知相似．（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a =2；④方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
6．某商务酒店客房有间供客户居住．当每间房 每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元?设房价定为元，根据题意，所列方程是( )
A． B．
C． D．
7．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
8．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
9．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过（1，2）点 B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
10．如图，矩形的对角线交于点，已知，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列事件中，是随机事件的是（）
A．明天太阳从东方升起 B．任意画一个三角形，其内角和为360°
C．经过有交通信号的路口，遇到红灯 D．通常加热到100℃时，水沸腾
12．如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点.如，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为1．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括1）．
14．二次函数图像的顶点坐标为_________．
15．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是__________．
16．袋子中有10个除颜色外完全相同的小球在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀重复上述过程1500次后，共到红球300次，由此可以估计袋子中的红球个数是_____．
17．某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－t2，这架飞机着陆后滑行最后150m所用的时间是_______s．
18．m、n分别为的一元二次方程的两个不同实数根，则代数式的值为________
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
20．（8分）如图，已知一次函数y1=﹣x+a与x轴、y轴分别交于点D、C两点和反比例函数交于A、B两点，且点A的坐标是(1，3)，点B的坐标是(3，m)
（1）求a，k，m的值；
（2）求C、D两点的坐标，并求△AOB的面积．
21．（8分）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使；
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求.
22．（10分）甲、乙、丙、丁四个人做“击鼓传花”游戏，游戏规则是：第一次由甲将花随机传给乙、丙、丁三人中的某一人，以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）求第一次甲将花传给丁的概率；
（2）求经过两次传花，花恰好回到甲手中的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝1．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．
24．（10分）解方程
25．（12分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；
(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．
26．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据抛物线的图像和表达式分析其系数的值，通过特殊点的坐标判断结论是否正确．
【详解】∵函数图象开口向上，
∴，
又∵顶点为(，1)，
∴，
∴,
由抛物线与轴的交点坐标可知：，
∴c＞1，
∴abc＞1,故①错误；
∵抛物线顶点在轴上，
∴，即，
又，
∴，故②错误；
∵顶点为(，1)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，故③错误；
由抛物线的对称性可知与时的函数值相等，
∴，
∴，故④正确．
综上，只有④正确，正确个数为1个．
故选：A．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出之间的关系是解题的关键．
2、C
【分析】设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，等量关系为：1月份的销售量+1月份的销售量×（1+增长率）+1月份的销售量×（1+增长率）2=第一季度的销售量，把相关数值代入求解即可．
【详解】设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，
根据题意列方程：64+64（1+x）+64（1+x）2＝1．
故选：C．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
3、A
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：已知给出的三角形的各边分别为1、、，
只有选项A的各边为、2、与它的各边对应成比例．
故选：A．
本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
4、B
【分析】先从二次函数图像获取信息，运用二次函数的性质一—判断即可．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故①错误；
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，且抛物线开口向下，
∴当x=1时,有y=a+b+c＜0，故②正确;
∵函数图像的顶点为（-1，2）
∴a-b+c=2，
又∵由函数的对称轴为x=-1，
∴=-1,即b=2a
∴a-b+c =a-2a+c=c-a=2，故③正确；
由①得b2-4ac>0，则ax2+bx+c =0有两个不等的实数根，故④错误；
综上，正确的有两个．
故选：B．
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，从二次函数图像上获取有用信息和灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．
5、D
【分析】直接利用圆周角定理进行判断．
【详解】解：∵与都是所对的圆周角，
∴．
故选D．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6、D
【分析】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】设房价定为x元，根据题意，得
故选：D．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
7、B
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
8、C
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:1．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键．
9、D
【解析】试题分析：根据反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大．可由k=-2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．
故选D．
考点：反比例函数图象的性质
10、B
【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°
∴AO=CO=BO=DO,
∴∠OCD=∠ODC=β,
A、,故A选项正确；
B、在Rt△ADC中，cos∠ACD= , ∴cosβ=,∴AO=，故B选项错误；
C、在Rt△BCD中，tan∠BDC= , ∴ tanβ=∴BC=atanβ，故C选项正确；
D、在Rt△BCD中，cos∠BDC= , ∴ cosβ=∴，故D选项正确.
故选：B.
本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.
11、C
【分析】根据事件发生的可能性判断，一定条件下，一定发生的事件称为必然事件，一定不发生的事件为不可能事件，可能发生可能不发生的事件为随机事件.
【详解】解：A选项是明天太阳从东方升起必然事件，不符合题意；
因为三角形的内角和为，B选项三角形内角和是360°是不可能事件，不符合题意；
C选项遇到红灯是可能发生的，是随机事件，符合题意；
D选项通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，不符合题意.
故选：C
本题考查了事件的可能性，熟练掌握必然事件、不可能事件、可能事件的概念是解题的关键.
12、C
【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD= ∠AOB，可求得答案．
【详解】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、9或2或3.
【解析】分析：共有三种情况：①当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为2；
②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为3；
③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.
详解：①当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为2．
②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为3；
③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.
故答案为9或2或3．
点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14、（，）
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．
【详解】∵
∴抛物线顶点坐标为．
故本题答案为：．
本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．
15、
【分析】直接利用概率求法进而得出答案．
【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，
∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是： ．
故答案为：．
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键．
16、2
【分析】设袋子中红球有x个，求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．
【详解】设袋子中红球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝2，
所以袋中红球有2个，
故答案为2
此题考查概率公式的应用，解题关键在于求出摸到红球的频率
17、1
【解析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然后解方程即可得到结论．
【详解】当y取得最大值时，飞机停下来，
则y=60t-t2=-（t-20）2+600，
此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当y=600-150=450时，
即60t-t2=450，
解得：t=1，t=30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m所用的时间是20-1=1，
故答案是：1．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18、1
【分析】由一元二次方程的解的定义可得m2-4m-1=1，则m2-4m=1，再由根于系数的关系可得mn=-1,最后整体代入即可解答．
【详解】解：∵m、n分别为的一元二次方程
∴m+n=4,mn=-1，m2-4m-1=1，
∴m2-4m=1
∴＝1-1=1
故答案为1．
本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，其中正确运用根与系数的关系是解答本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、树高为6.5米．
【分析】根据已知易得出△DEF∽△DCB，利用相似三角形的对应边成比例可得；然后将相关数据代入上式求出BC的长，再结合树高=AC+BC即可得出答案.
【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴＝
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴＝
∴BC＝5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5米
∴树高为6.5米．
本题的考点是相似三角形的应用.方法是由已知条件得出两个相似三角形，再利用相似三角形的性质解答.
20、（1）1，3，1；（2）(0，1)，(1，3)，1
【分析】（1）由于已知一次函数y1=-x+a和反比例函数交于A、B两点，且点A的坐标是（1，3），把A的坐标代入反比例函数解析式中即可确定k的值，然后利用解析式即可确定点B的坐标，最后利用A或B坐标即可确定a的值；
（2）利用（1）中求出的直线的解析式可以确定C，D的坐标，然后利用面积的割补法可以求出△AOB的面积．
【详解】解：（1）∵反比例函数经过A、B两点，且点A的坐标是（1，3），
∴3=，
∴k=3，
而点B的坐标是（3，m），∴m==1，
∵一次函数y1=﹣x+a经过A点，且点A的坐标是（1，3），
∴3=﹣1+a，
∴a=1．
（2）∵y1=﹣x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，
∴C的坐标为（0，1），D的坐标为（1，0），
∴S△AOB=S△COB﹣S△COA=×1×3﹣×1×1=1．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和函数图象中的面积问题，求面积体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解图形几何意义．
21、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用等弧对等角进行等量转换，得出，最后利用垂径定理即可得证；
（2）利用相似三角形的判定以及性质即可得解.
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵点是的内心，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
又∵（公共角），
∴，
∴，即，
∵，
∴
∴
∴．
此题主要考查圆的切线的证明以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.
22、（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式计算得出答案；
（2）直接利用树状图法得出所有符合题意情况，进而求出概率．
【详解】（1）P（第一次甲将花传给丁）＝；
（2）如图所示：
，
共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
故P（经过两次传花，花恰好回到甲手里）＝＝．
此题主要考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．
23、 (1)点C的坐标为(2，3+2)；(2)OA＝3；(3)OC的最大值为8，cos∠OAD＝．
【分析】(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；
(2)先求出S△DCM＝1，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝31，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝31求得x的值，从而得出答案；
(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN得，据此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．
【详解】(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴点C的坐标为(2，3+2)；
(2)∵M为AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝1，
又S四边形OMCD＝，
∴S△ODM＝，
∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝31，xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝31得x2＝18，
解得x＝3(负值舍去)，
∴OA＝3；
(3)OC的最大值为8，
如图2，M为AD的中点，
∴OM＝3，CM＝＝5，
∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，
∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，
∴△CMD∽△OMN，
∴，即，
解得MN＝，ON＝，
∴AN＝AM﹣MN＝，
在Rt△OAN中，OA＝，
∴cos∠OAD＝．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．
24、，.
【解析】分析：用配方法解一元二次方程即可.还可以用公式法或者因式分解法.
详解：方法一：移项，得，
二次项系数化为1，得，
，
，
由此可得，
，.
方法二：方程整理得：
分解因式得：(x−1)(2x−1)=0，
解得：，.
点睛：考查解一元二次方程，常见的方法有：直接开方法，配方法，公式法和因式分解法，观察题目选择合适的方法.
25、 (1)抛物线解析式y=x2–x+1；(2)点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．
【分析】(1) 将B、C两点坐标代入二次函数解析式,通过联立方程组可求得b、c的值，进而求出函数解析式;
(2)设P（x，0），由△PBC是直角三角形，分∠CBP=90°与∠BPC=90°两种情况讨论，运用勾股定理可得x的值，进而得到P点坐标;
(3)假设成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,则对应边成比例，可求出a的值.
【详解】(1)∵二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式y=x2–x+1．
(2)设点P坐标为（x，0）．
∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3），
∴PB==，
CP= =，
BC= =2，
若∠BCP=90°，则BP2=BC2+CP2．
∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=．
若∠CBP=90°，则CP2=BC2+BP2．
∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=．
若∠BPC=90°，则BC2=BP2+CP2．
∴x2+1+x2–8x+25=20，
∴x1=1，x2=3，
综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）．
(3)a=或．
∵抛物线解析式y=x2–x+1与x轴交于点D，点E，
∴0=x2–x+1，∴x1=1，x2=2，∴点D（1，0）．
∵点B（0，1），C（4，3），
∴直线BC解析式y=x+1．
当y=0时，x=–2，∴点A（–2，0）．
∵点A（–2，0），点B（0，1），点D（1，0），
∴AD=3，AB=．
设经过t秒，∴AP=2t，AQ=at，
若△APQ∽△ADB，
∴，即，∴a=，
若△APQ∽△ABD，∴，即，∴a=．
综上所述：a=或．
此题考查了二次函数解析式的确定、 直角三角形的判定以及相似三角形的性质等, 难度适中.
26、（1）证明见解析（2）2
【解析】试题分析：（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；
（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．
试题解析：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=，
在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，
∴CF==2，
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=CF=2，
∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．
考点：1.矩形的性质；2.菱形的判定与性质3.三角函数.
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