资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知圆锥的底面半径为5，母线长为13，则这个圆锥的全面积是（ ）
A． B． C． D．
2．若△ABC∽△ADE，若AB=6，AC=4,AD=3，则AE的长是（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．3
3．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
4．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的依次为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知∠BAC=∠ADE=90°，AD⊥BC，AC=DC．关于优弧CAD，下列结论正确的是（ ）
A．经过点B和点E B．经过点B，不一定经过点E
C．经过点E，不一定经过点B D．不一定经过点B和点E
6．如右图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点M为AD边上一点，且，连接CM，对角线BD与CM相交于点N，若的面积等于3，则四边形ABNM的面积为
A．8 B．9 C．11 D．12
8．如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡上的点出发，走了13米到达处，此时他在铅直方向升高了5米．则该斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的正切值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的外接圆，，点是外一点，，，则线段的最大值为（ ）
A．9 B．4.5 C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．一个周长确定的扇形，要使它的面积最大，扇形的圆心角应为______度．
12．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________．
14．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与四边形的面积之比为___
15．如图，为半圆的直径，点、、是半圆弧上的三个点，且，，若，，连接交于点，则的长是______.
16．如图，⊙O的半径OA长为6，BA与⊙O相切于点A，交半径OC的延长线于点B，BA长为，AH⊥OC，垂足为H，则图中阴影部分面积为_____．（结果保留根号）
17．分解因式：= __________
18．如图，中，已知，，点在边上，．把线段绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在的边上，那么__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，四边形是平行四边形，分别是的平分线，且与对角线分别相交于点.
(1)求证:；
(2)连结，判断四边形是否是平行四边形，说明理由.
20．（6分）如图，在和中，，点为射线，的交点．
（1）问题提出：如图1，若，．
①与的数量关系为________；
②的度数为________．
（2）猜想论证：如图2，若，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a-c=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是正三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，求弧DE的长；
（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．
23．（8分）国内猪肉价格不断上涨，已知今年10月的猪肉价格比今年年初上涨了80%，李奶奶10月在某超市购买1千克猪肉花了72元钱．
（1）今年年初猪肉的价格为每千克多少元？
（2）某超市将进货价为每千克55元的猪肉按10月价格出售，平均一天能销售出100千克，随着国家对猪肉价格的调控，超市发现猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1800元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？
24．（8分）若关于的一元二次方程方有两个不相等的实数根.
⑴求的取值范围.
⑵若为小于的整数，且该方程的根都是有理数，求的值．
25．（10分）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点.
（1）求此抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）若点是轴上方抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连结.设点的横坐标为.
①试用含的代数式表示的长；
②直线能否把分成面积之比为1：2的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由.
（3）如图2，若点也在此抛物线上，问在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
26．（10分）每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏．
(1)写出月销售利润y(单位：元)与销售价x(单位：元/盏)之间的函数表达式；
(2)当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】先根据圆锥侧面积公式：求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案.
【详解】解：圆锥的侧面积=，所以这个圆锥的全面积=.
故选：B.
本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.
2、B
【分析】根据相似三角形的性质，由，即可得到AE的长.
【详解】解：∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB=6，AC=4，AD=3，
∴，
∴；
故选择：B.
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.
3、D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．
4、B
【分析】先整理成一般式，然后根据定义找出即可.
【详解】方程化为一般形式为：，
．
故选：．
题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
5、B
【分析】由条件可知BC垂直平分AD，可证△ABC≌△DBC，可得∠BAC=∠BDC=90°故∠BAC+∠BDC=180°则A、B、D、C四点共圆，即可得结论.
【详解】解：如图：设AD、BC交于M
∵AC=CD，AD⊥BC
∴M为AD中点
∴BC垂直平分AD
∴AB=DB
∵BC=BC，AC=CD
∴△ABC≌△DBC
∴∠BAC=∠BDC=90°
∴∠BAC+∠BDC=180°
∴A、B、D、C四点共圆
∴优弧CAD经过B，但不一定经过E
故选 B
本题考查了四点共圆，掌握四点共圆的判定是解题的关键.
6、A
【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
【详解】如图，过作于，则，
＝1．
．
故选：A．
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7、C
【分析】根据平行四边形判断△MDN∽△CBN,利用三角形高相等,底成比例即可解题.
【详解】解：∵四边形是平行四边形,,
∴易证△MDN∽△CBN,
MD:BC=DN:BN=MN:CN=1：3,
∴S△MDN: S△DNC=1：3, S△DNC: S△ABD=1：4,（三角形高相等,底成比例）
∵=3，
∴S△MDN=1,S△DNC=3,S△ABD=12,
∴S四边形 =11,
故选C.
本题考查了相似三角形的性质,相似三角形面积比等于相似比的平方,中等难度,利用三角形高相等,底成比例是解题关键.
8、A
【分析】如图，过点M做水平线，过点N做直线垂直于水平线垂足为点A，则△MAN为直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据坡度定义解答即可．
【详解】解：如图，过点M做水平线，过点N做垂直于水平线交于点A．
在Rt△MNA中，，
∴坡度5:12=1:2.1．
故选：A
本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题．
9、A
【分析】根据圆周角定理和正切函数的定义，即可求解．
【详解】∵∠1与∠2是同弧所对的圆周角，
∴∠1=∠2，
∴tan∠1=tan∠2=，
故选A．
本题主要考查圆周角定理和正切函数的定义，把∠1的正切值化为∠2的正切值，是解题的关键．
10、C
【分析】连接OB、OC，如图，则△OBC是顶角为120°的等腰三角形，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得 ，于是求OP的最大值转化为求PM的最大值，因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，据此求解即可.
【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，∠BOC=2∠A=120°，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，
过点O作ON⊥PM于点N，则∠MON=60°，MN=PM，
在直角△MON中，，∴，
∴当PM最大时，OP最大，
又因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，此时PM=3+6=9，
所以OP的最大值是：.
故选：C.
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，将求OP的最大值转化为求PM的最大值是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．
【详解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为a-2r，
所以S=（a-2r）r=-（r-）2+．
故当r=时，扇形面积最大为．
∴
∴此时，扇形的弧长为2r，
∴，
∴
故答案为：．
本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，属于基础题．
12、2π
【解析】分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，
故答案为：2π
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
13、，但
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：；
∵是一元二次方程，
∴，
∴的取值范围是，但．
故答案为：，但．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
14、
【分析】由DE：EC=3：1，可得DF：FB=3：4，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可得S△EFD：S△BEF=3：4，S△BDE：S△BEC=3：1，可求△DEF的面积与四边形BCEF的面积的比值．
【详解】解：连接BE
∵DE：EC=3：1
∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k
∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD=4k，
∴,
∴S△EFD：S△BEF=3：4
∵DE：EC=3：1
∴S△BDE：S△BEC=3：1
设S△BDE=3a，S△BEC=a
则S△EFD=，，S△BEF=，
∴SBCEF=S△BEC+S△BEF=，
∴则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比9：19
故答案为：．
本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比求三角形的面积比值．
15、
【分析】连接OC，根据菱形的判定，可得四边形AODC为菱形，从而得出AC=OD，根据圆的性质可得OE=OC= AC= OA=，从而得出△AOC为等边三角形，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求得∠EOC，从而得出OE平分∠AOC，根据三线合一和锐角三角函数即可求出OF，从而求出EF.
【详解】解：连接OC
∵，，OA=OD
∴四边形AODC为菱形
∴AC=OD
∵
∴OE=OC= AC= OA=
∴△AOC为等边三角形
∴∠AOC=60°
∵
∴∠EOC=2
∴OE平分∠AOC
∴OE⊥AC
在Rt△OFC中，cos∠EOC=
∴
∴EF=OE－OF=
故答案为：.
此题考查的是菱形的判定及性质、圆的基本性质、等边三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握菱形的判定及性质、同弧所对的圆周角是圆心角的一半、等边三角形的判定及性质和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
16、
【分析】由已知条件易求直角三角形AOH的面积以及扇形AOC的面积，根据阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣直角三角形AOH的面积，计算即可．
【详解】∵BA与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵OA＝6，AB＝6，
∴tan∠B＝，
∴∠B＝30°，
∴∠O＝60°，
∴∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝3，
∴AH＝3，
∴阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣直角三角形AOH的面积＝﹣×3×3＝；
故答案为：．
此题考查圆的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，扇形面积公式，三角函数.
17、
【解析】分解因式的方法为提公因式法和公式法及分组分解法．原式==a(3+a)(3-a)．
18、或
【分析】分两种情况：①当点落在AB边上时，②当点落在AB边上时，分别求出的值，即可．
【详解】①当点落在AB边上时，如图1，
∴DB=DB′，
∴∠B=∠DB′B=55°，
∴∠BDB′=180°-55°-55°=70°；
②当点落在AB边上时，如图2，
∴DB=DB′=2CD，
∵，
∴∠CB′D=30°，
∴∠BDB′=30°+90°=120°．
故答案是：或．
本题主要考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质定理，画出图形分类讨论，是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1)见解析；(2) 是平行四边形；理由见解析.
【分析】（1）根据角平分线的性质先得出∠BEC＝∠DFA，然后再证∠ACB＝∠CAD，再证出△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF；
（2）连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】（1）证明:四边形是平行四边形，
，
分别是的平分线，
，
∴ ，
∴
（2）是平行四边形；
连接交于，
四边形是平行四边形，
，
.
即
四边形为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等．
20、（1）；；（2）成立，理由见解析
【分析】（1）①依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据“SAS”可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；②由三角形内角和定理可求∠BPC的度数；
（2）由30°角的性质可知，，从而可得，进而可证，由相似三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；
【详解】（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE,∠ABC=∠ACB=45°,
∴△ADB≌△AEC（SAS）,
∴∠ABD=∠ACE，
②∵∠BPC=180°-∠ABD-∠ABC-∠BCP=180°-45°-（∠BCP+∠ACE）,
∴∠BPC=90°,
故答案为：
；
（2）（1）中结论成立，理由：
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴；
∵
∴．
本题是三角形综合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定，证明得是解题的关键．
21、（1）直角三角形；（2）．x1=-1，x2=0
【解析】试题分析：（1）根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据等边进行得出a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解．
解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0可整理为2ax2﹣2ax=0，
∴x2﹣x=0，
解得：x1=0，x2=1．
考点：根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．
22、（1）证明见解析；（2）弧DE的长为π；（3）当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．理由见解析.
【解析】(1)连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可；
(2)根据圆周角定理求出∠DOE的度数，再根据弧长公式进行计算即可；
(3)当∠F的度数是36°时，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF与⊙O相切.
【详解】(1)连接AE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
(2)∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=×54°=27°，
∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，
∴弧DE的长=；
(3)当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切，
理由如下：∵∠BAC=54°，
∴当∠F=36°时，∠ABF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF为⊙O的切线．
本题考查了圆周角定理、切线的判定、弧长公式等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
23、（1）每千克40元（2）猪肉的售价应该下降5元
【分析】（1）设今年年初猪肉的价格为每千克x元，根据今年10月的猪肉价格=今年年初猪肉的价格×（1+上涨率），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出（100+10y）千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设今年年初猪肉的价格为每千克元，
依题意，得，
解得.
答：今年年初猪肉的价格为每千克40元.
（2）设猪肉的售价应该下降元，则每日可售出千克，
依题意，得，
整理，得，
解得.
∵让顾客得到实惠，
∴.
答：猪肉的售价应该下降5元.
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24、（1）且．（2）或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求出答案；
（2）结合（1），得到m的整数解，由该方程的根都是有理数，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
，
解得：
又，
的取值范围为：且；
（2）为小于的整数，又且．
可以取：，，，，，，，，，，.
当或时，或为平方数，
此时该方程的根都是有理数.
∴的值为：或.
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式，利用根的判别式求参数的值.
25、（1），顶点坐标为：；（2）①；②能，理由见解析，点的坐标为；（3）存在，点Q的坐标为：或.
【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后把一般式转化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）①先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再设出点D、E的坐标，然后分点D在y轴右侧和y轴左侧利用或列式化简即可；
②根据题意容易判断：点D在y轴左侧时，不存在这样的点；当点D在y轴右侧时，分或两种情况，设出E、F坐标后，列出方程求解即可；
（3）先求得点M、N的坐标，然后连接CM，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，即可判断∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，所以另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，然后根据圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出CQ的长，进而可得结果.
【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点，
∴设抛物线的表达式为：，
把点代入并求得：，
∴抛物线的表达式为：，
即，∴抛物线的顶点坐标为：；
（2）①设直线的表达式为：，则，解得：，
∴直线的表达式为：，
设，则，
当时，∴，
当时，，
综上：，
②由题意知：当时，不存在这样的点；
当时，或，
∵，∴，
∴，解得（舍去），∴，
或，解得（舍去），（舍去），
综上，直线能把分成面积之比为1：2的两部分，且点的坐标为；
（3）∵点在抛物线上，∴，∴，
连接MC，如图，∵C（0，6），M（1，6）∴MC⊥y轴，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，∵N（2，4），∴CG=NG=2，∴△CNG是等腰直角三角形，∴∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，∴另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，连接HN，
∵，∴MN=，CM=1，
∵，∴∠MHN=90°，则半径MH=NH=，
∵∠MCQ=90°，∴MQ是直径，且，∴，
∵OC=6，∴OQ=3，∴Q（0，3）；
综上，在轴上存在点，使，且点Q的坐标为：或.
本题是二次函数综合题，综合考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、函数图象上点的坐标特征、三角形的面积问题、一元二次方程的求解、圆周角定理及其推论、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，属于试卷的压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键，熟知函数图象上点的坐标特征、正确进行分类是解（2）题的关键，将所求点Q的坐标转化为圆的问题、灵活应用数形结合的思想是解（3）题的关键.
26、（1）y＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．
【分析】(1)根据“总利润＝单件利润×销售量”可得；
(2)利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．
【详解】解：
(1)设售价为x元/盏，月销售利润y元，根据题意得：
y＝(x﹣30)[200+10(80﹣x)]＝﹣10x2+1300x﹣30000；
(2)∵y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10(x﹣65)2+12250，
∴当销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系.
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