资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为、；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为、．交于点，随着的增大，四边形的面积（ ）
A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小
2．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
6．已知两圆半径分别为6.5cm和3cm，圆心距为3.5cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
7．已知二次函数的图象如图所示，下列3个结论：
①；②b＜a+c；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，点是矩形的边，上的点，过点作于点，交矩形的边于点，连接．若，，则的长的最小值为( )
A． B． C． D．
9．方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（ ）
A．(2,-1) B．(1,-2) C． (-2,1) D． (-2,-1)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，，过点作轴交直线于点，若反比例函数的图象经过点，则的值为_________________．
12．如图，在平面直角坐标系中有两点和，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩短为线段，其中点与点对应，点与点对应，且在y轴右侧，则点的坐标为________.
13．已知一元二次方程x2-10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________．
14．四边形ABCD是☉O的内接四边形，，则的度数为____________.
15．如图，在矩形中对角线与相交于点，，垂足为点，且，则的长为___________.
16．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为_________m.
17．小华在一次射击训练中的6次成绩（单位：环）分别为：9，8，9，10，8，8，则他这6次成绩的中位数比众数多__________环．
18．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x＝﹣1和x＝3时，y值相等．直线y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．
①求t的取值范围．
②若使△BPQ为直角三角形，请求出符合条件的t值；
③t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案．
20．（6分）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴正半轴上，点的坐标是，点是边上一动点（不与点、点重合），连结、，过点作射线交的延长线于点，交边于点，且，令，.
（1）当为何值时，？
（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积.若存在，请求的值；若不存在，请说明理由.
21．（6分）如图，点都在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图. （不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，若，画一个的内接等腰直角三角形.
（2）在图2中，若点在弦上，且，画一个的内接等腰直角三角形.
22．（8分）如图，已知A，B（-1,2）是一次函数与反比例函数
（）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?
(2)求一次函数解析式及m的值；
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
23．（8分）如图，已知是原点，两点的坐标分别为，.
（1）以点为位似中心，在轴的左侧将扩大为原来的两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形，并写出点的对应点的坐标；
（2）如果内部一点的坐标为，写出点的对应点的坐标.
24．（8分）先化简，再求值：，其中x＝1．
25．（10分）如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O于点 C，且 CD＝1，
(1)求线段 OD 的长度；
(2)求弦 AB 的长度．
26．（10分）如图，内接于，是的直径，是上一点，弦交于点，弦于点，连接，，且.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】首先利用a和b表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用a、b表示，然后根据函数的性质判断．
【详解】解：AC＝a−2，CQ＝b，
则S四边形ACQE＝AC•CQ＝（a−2）b＝ab−2b．
∵、在函数的图象上，
∴ab＝k＝10（常数）．
∴S四边形ACQE＝AC•CQ＝10−2b，
∵当a＞2时，b随a的增大而减小，
∴S四边形ACQE＝10−2b随a的增大而增大．
故选：A．
本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用b表示出四边形ACQE的面积是关键.
2、A
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中，，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
考点：动点问题的函数图象
3、B
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可.
【详解】A、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意
B、，满足三角形的三边关系定理，此项符合题意
C、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意
D、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意
故选：B.
本题考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，熟记定理是解题关键.
4、B
【分析】朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.
【详解】依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=
故选B.
此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.
5、A
【解析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2，BD=AD=CD=，再利用AC⊥x轴得到C（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．
【详解】作BD⊥AC于D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB=2，
∴BD=AD=CD=，
∵AC⊥x轴，
∴C（，2），
把C（，2）代入y=得k=×2=4，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键.
6、C
【解析】先求两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系．
【详解】∵两圆的半径分别为6.5cm和3cm，圆心距为3.5cm，且6.5﹣3＝3.5，
∴两圆的位置关系是内切．
故选：C．
考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离d＞R+r；外切d＝R+r；相交R﹣r＜d＜R+r；内切d＝R﹣r；内含d＜R﹣r．
7、A
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线的对称轴判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号；根据x=-1时y值的符号判断b与a+c的大小；根据x=2时y值的符号判断4a+2b+c的符号．
【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＞0，∵-＞0，∴b＜0，∴abc＜0，故①正确；
②当x=-1时，y=a-b+c＞0，故b＜a+c，故②正确；
③当x=2时，y=4a+2b+c＜0，故③错误，
故选：A．
本题主要考查了抛物线图象与二次函数系数之间的关系以及函数值的符号问题，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
8、A
【分析】由可得∠APB=90°，根据AB是定长，由定长对定角可知P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点是DP的长为最小值时的位置，用DO减去圆的半径即可得出最小值．
【详解】解：∵，
∴∠APB=90°，
∵AB=6是定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，
取AB得中点为O，连结DO，DO与半圆的交点是DP的长为最小值时的位置，如图所示：
∵，，
∴，
由勾股定理得：DO=5，
∴，即的长的最小值为2，
故选A．
本题属于综合难题，主要考查了直径所对的角是圆周角的应用：由定弦对定角可得动点的轨迹是圆，发现定弦和定角是解题的关键．
9、C
【解析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案.
【详解】解：∵，
∴x－1=0或x－2=0，
解得：或.
故选：C.
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.
10、A
【解析】先找出对应点，再用线段顺次连接作出图形，根据图形解答即可.
【详解】如图，
.
故选A.
本题考查了轴对称作图及中心对称作图，熟练掌握轴对称作图及中心对称的性质是解答本题的关键，中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【解析】先求出直线y=x+2与坐标轴的交点坐标，再由三角形的中位线定理求出CD，得到C点坐标．
【详解】解：令x=0，得y=x+2=0+2=2，
∴B（0，2），
∴OB=2，
令y=0，得0=x+2，解得，x=-6，
∴A（-6，0），
∴OA=OD=6，
∵OB∥CD，
∴CD=2OB=4，
∴C（6，4），
把c（6，4）代入y= （k≠0）中，得k=1，
故答案为：1．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，需要掌握求函数图象与坐标轴的交点坐标方法，三角形的中位线定理，待定系数法．本题的关键是求出C点坐标．
12、
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，B（6，3），
∴点D的坐标为：，即，
故答案为：．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
13、1
【分析】先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根，
∴，
∴，
∴或，
当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；
当7为腰长时，则
周长为：7+7+3=1；
故答案为：1．
本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．
14、130°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，得∠ABC=180°-∠D=130°．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ABC+∠D=180°,
∵∠D=50°,
∴∠ABC=180°-∠D=130°．
故答案为：130°．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补．
15、
【分析】由矩形的性质可得OC＝OD，于是设DE＝x，则OE＝2x，OD＝OC＝3x，然后在Rt△OCE中，根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x的值，进而可得CD的长，易证△ADC∽△CED，然后利用相似三角形的性质即可求出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，∴设DE＝x，则OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，
∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，
解得：x＝，即DE＝，
∴，
∵∠ADE+∠CDE=90°，∠ECD+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠ECD，
又∵∠ADC=∠CED=90°，∴△ADC∽△CED，
∴，即，解得：．
故答案为：．
本题考查了矩形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
16、
【详解】如图:
Rt△ABC中，∠C=90°，i=tanA=1：3，AB=1．
设BC=x，则AC=3x，
根据勾股定理，得：，
解得：x=（负值舍去）．故此时钢球距地面的高度是米．
17、0.5
【分析】根据中位数的定义和众数的定义，分别求出中位数和众数，然后作差即可．
【详解】解：将这6次的成绩从小到大排列： 8， 8，8，9，9，10，
故这6次的成绩的中位数为：（8+9）÷2=环
根据众数的定义，这6次的成绩的众数为8环
∴他这6次成绩的中位数比众数多－8=环
故答案为：．
此题考查的是求一组数的中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解决此题的关键．
18、1
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．
【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=1米．
故答案为1．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）①，②t的值为或，③当t＝2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是．
【分析】（1）求出对称轴，再求出y=与抛物线的两个交点坐标，将其代入抛物线的顶点式即可；
（2）①先求出A、B、C的坐标，写出OB、OC的长度，再求出BC的长度，由运动速度即可求出t的取值范围；
②当△BPQ为直角三角形时，只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°两种情况，分别证△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO，即可求出t的值；
③如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，证△BHQ∽△BOC，求出HQ的长，由公式S四边形ACQP=S△ABC-S△BPQ可求出含t的四边形ACQP的面积，通过二次函数的图象及性质可写出结论．
【详解】解：（1）∵在抛物线中，当x＝﹣1和x＝3时，y值相等，
∴对称轴为x＝1，
∵y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M，
∴顶点M（1，），另一交点为（6，6），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2，
将点（6，6）代入y＝a（x﹣1）2，
得6＝a（6﹣1）2，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为
（2）①在中，当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4；当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3），
∴在Rt△OCB中，OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∴，
∵＜4，
∴
②当△BPQ为直角三角形时，只存在∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°两种情况，
当∠BPQ＝90°时，∠BPQ＝∠BOC＝90°，
∴PQ∥OC，
∴△BPQ∽△BOC，
∴，即，
∴t＝；
当∠PQB＝90°时，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，
∴△BPQ∽△BCO，
∴，即，
∴t＝，
综上所述，t的值为或；
③如右图，过点Q作QH⊥x轴于点H，
则∠BHQ＝∠BOC＝90°，
∴HQ∥OC，
∴△BHQ∽△BOC，
∴，即，
∴HQ＝，
∴S四边形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ
＝×6×3﹣（4﹣t）×t
＝（t﹣2）2+，
∵＞0，
∴当t＝2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是．
本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的图象及性质等，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
20、（1）当时，；（2）（）；（3）存在，.
【分析】（1）由题意可知，当OP⊥AP时，∽，∴，即，于是解得x值；（2）根据已知条件利用两角对应相等两个三角形相似，证明三角形OCM和三角形PCO相似,得出对应边成比例即可得出结论；（3）假设存在x符合题意. 过作于点，交于点，由与面积之和等于的面积，∴.然后求出ED，EF的长，再根据三角形相似：∽，求出MP的长，进而由上题的关系式求出符合条件的x.
【详解】解：（1）证明三角形OPC和三角形PAB相似是解决问题的关键，由题意知，
，BC∥OA,
∵，
∴.
∴.
∴∽,
∴，即，解得（不合题意,舍去）.
∴当时，；
(2)由题意可知，∥，
∴.
∵（已知），
∴.
∵，
∴∽，
∴对应边成比例：，即.
∴，因为点是边上一动点（不与点、点重合），且满足∽，
所以的取值范围是.
（3）假设存在符合题意. 如图所示，过作于点，交于点， 则.
∵与面积之和等于的面积，
∴.
∴.
∵∥，
∴∽.
∴. 即，解得.
由（2）得，所以.
解得（不合题意舍去）.
∴在点的运动过程中存在x,，使与面积之和等于的面积，此时.
1.相似三角形的判定与性质；2.矩形性质.
21、（1）见解析；（2）见解析
【分析】根据内接三角形和等腰直角三角形的性质，结合题意即可得出答案.
【详解】解：（1）如图1，即为所求（画法不唯一）.
（2）如图2，即为所求（画法不唯一）
本题主要考查了圆内接等腰直角三角形的作图方法，考查了学生的作图能力.
22、（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）一次函数的解析式为y=x+；m=﹣2；
（3）P点坐标是（﹣，）．
【解析】试题分析：（1）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式以及m的值；
（3）设P的坐标为（x，x+）如图，由A、B的坐标可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高为x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面积相等得,可得答案．
试题解析：（1）由图象得一次函数图象在反比例函数图象上方时，﹣4＜x＜﹣1，
所以当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2；
（3）连接PC、PD，如图，设P的坐标为（x，x+）如图，由A、B的坐标可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高为x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面积相等得
××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题
23、（1）如图，即为所求，见解析；点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为；（2）点的对应点的坐标为.
【分析】（1）延长BO，CO到B′、C′，使OB′、OC′的长度是OB、OC的2倍．顺次连接三点即可；
（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
【详解】（1）如图，即为所求，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为.
（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．
24、，．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当x＝1时，原式＝．
本题考查的是分式的化简求值，比较简单，记住先化简再求值.
25、 (1)OD＝4；(2)弦 AB 的长是 1．
【分析】（1）OD=OC-CD，即可得出结果；
（2）连接AO，由垂径定理得出AB=2AD，由勾股定理求出AD，即可得出结果．
【详解】(1)∵半径是 5，∴OC＝5，∵CD＝1，
∴OD＝OC﹣CD＝5﹣1＝4；
(2)连接 AO，如图所示：
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AD，
根据勾股定理：AD＝，
∴AB＝3×2＝1，
因此弦 AB 的长是 1．
本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AD是解决问题（2）的关键．
26、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）证法一：连接，利用圆周角定理得到，从而证明，然后利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质得到，从而使问题得解；证法二：连接,，由圆周角定理得到，从而判定，得到，然后利用圆内接四边形对角互补可得，从而求得，使问题得解；
（2）首先利用勾股定理和三角形面积求得AG的长，解法一：过点作于点，利用勾股定理求GH，CH，CD的长；解法二：过点作于点，利用AA定理判定，然后根据相似三角形的性质列比例式求解.
【详解】（1）证法一：连接.
∵为的直径，∴，
∴
∵,∴
∴
∴.
∵
∴
∵，
∴
∴.
证法二：连接,.
∵为的直径，∴
∵
∴
∴,
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵四边形内接于，
∴
∴
∴
∴.
（2）解：在中，,,,
根据勾股定理得.
连接，
∵为的直径，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形.
∴.
在中，
,
∴
解法一：过点作于点
∴
在中，,
∴
在中，
∴
在中，
∴
解法二：过点作于点
∴
∵
∴
∵
∴四边形为矩形
∴.
∵四边形为平行四边形，
∴
∴.
∵，
∴
∴即
∴
本题考查圆的综合知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，综合性较强，有一定难度.
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