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第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示
★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5
★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义
★ 向量积的运算
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10
★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义
★ 例11 ★ 例12 ★ 例13
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题7-3 ★ 返回

内容要点
一、两向量的数量积：
定义1设有向量、，它们的夹角为，乘积称为向量与的数量积（或称为内积、点积），记为，即
.
根据数量积的定义，可以推得：
（1） ;
（2） ;
（3） 设、为两非零向量，则 的充分必要条件是 .
数量积满足下列运算规律：
（1）交换律
（2）分配律
（3）结合律 ,（为实数）.
二、两向量的向量积
定义2 若由向量与所确定的一个向量满足下列条件：
（1）的方向既垂直于又垂直于, 的指向按右手规则从转向来确定（图7-3-5）；
（2）的模 ，(其中为与的夹角)，
则称向量为向量与的向量积（或称外积、叉积），记为
.
根据向量积的定义，即可推得
（1）；
（2）设、为两非零向量，则 的充分必要条件是 .
向量积满足下列运算规律:
（1）
（2）分配律
（3）结合律 ,（为实数）.
三、向量的混合积

例题选讲

两向量的数量积
例1(E01) 已知 求
(1) (2) 与的夹角; (3) 与上的投影.
解 (1)
(2)
(3)

例2 证明向量与向量垂直.
证

例3 (E02) 试用向量方法证明三角形的余弦定理.
证 如图所示(见系统演示), 设在中,
现要证记则有从而

由即得

例4 (E03) 设与垂直, 与垂直, 求与之间的
夹角.
解 所以,即 (1)
又所以
即 (2)
联立方程(1), (2)得
所以 ，

例5 (E04) 设液体流过平面S上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v. 设n为垂直于S的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P (液体的密度为).
解 如图(见系统演示)，单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为、斜高为的斜柱体, 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是与的夹角所以这柱体的高为体积为

从而，单位时间内经过这区域流向所指一方的液体的质量为

两向量的向量积
例6 (E05) 求与都垂直的单位向量.
解

例7 (E06) 在顶点为和的三角形中, 求AC边上的高BD.
解 三角形的面积为

又
所以从而

例8 设向量两两垂直, 伏隔右手规则, 且

计算
解 依题意知与同向,

例9 (E07) 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.
解 刚体绕轴旋转时，我们可以用在轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则写出: 即右手握住轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向，如图，设点至旋转轴的距离为再在轴上任取一点作向量并以表示与的夹角，则设线速度为那么由物理学上线速度与角速度的关系可知, 的大小为

的方向垂直于通过点与轴的平面，即垂直于与
又的指向是使符合右手规则. 因此有

例10 利用向量积证明三角形正弦定理.
证 设的三个内角为三边长为, 如图(见系统演示).
因为，所以
故即
两边取模即故
同理可证

因此三角形正弦定理得证.

向量的混合积
例11 (E08) 已知, 计算
解

例12 (E09) 已知空间内不在同一平面上的四点

求四面体的体积.
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量、、为棱的平行六面体的体积的六分之一:

式中正负号的选择必须和行列式的符号一致

例13 已知, 求一单位向量 使, 且与此同时共面.
解 设所求向量依题意与共面，可得
(1)
即 (2)
即 (3)
将式(1)式(2)与式(3)联立解得
或或或
所以

课堂练习
1.已知向量 证明

2.已知两两垂直, 且求的长度与它和的夹角.