二节数量积向量积混合积PPT课件.ppt

目录 上页 下页 返回 结束*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八八章 目录 上页 下页 返回 结束 一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.1.定义定义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例引例.设一物体在常力 F 作用下,位移为 s,则力F 所做的功为目录 上页 下页 返回 结束 记作故2.2.性性质质为两个非零向量,则有 目录 上页 下页 返回 结束 3.3.运算律运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.证明三角形余弦定理证证:如图.则设目录 上页 下页 返回 结束 4.4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.已知三点 AMB.解解:则求故目录 上页 下页 返回 结束 为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例例3.3.设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积:的夹角为且为单位向量目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力目录 上页 下页 返回 结束 1.1.定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考思考:右图三角形面积S目录 上页 下页 返回 结束 2.2.性质性质为非零向量,则3.3.运算律运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明证明:目录 上页 下页 返回 结束 4.4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法(行列式计算见上册附录I:P355P358)目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.已知三点角形 ABC 的面积.解解:如图所示,求三目录 上页 下页 返回 结束 一点 M 的线速度例例5.5.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上 的表示式.解解:在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径目录 上页 下页 返回 结束*三、向量的混合积向量的混合积1.1.定定义义已知三向量称数量混合积混合积.记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其目录 上页 下页 返回 结束 2.2.混合积的坐标表混合积的坐标表示示设目录 上页 下页 返回 结束 3.3.性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)目录 上页 下页 返回 结束 例例6.6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7.已知 A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四点共面,求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.解解:A、B、C、M 四点共面展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程AM、AB、AC 三向量共面即目录 上页 下页 返回 结束 THANK YOUSUCCESS2024/3/18 周一21可编辑目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2.向量关系:目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.答案答案:2.用向量方法证明正弦定理:目录 上页 下页 返回 结束 证证:由三角形面积公式所以因目录 上页 下页 返回 结束 P23 2,3,4,8,9,10,12第三节 作业作业(3-6)(3-6)目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.1.已知向量的夹角且解：解：目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面积为 2.2.而故有目录 上页 下页 返回 结束 由四个数排成二行二列（横排称行、由四个数排成二行二列（横排称行、竖排竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即附录：二阶与三阶行列式附录：二阶与三阶行列式目录 上页 下页 返回 结束 主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算11a目录 上页 下页 返回 结束 三阶行列式三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.目录 上页 下页 返回 结束 三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式目录 上页 下页 返回 结束 例如例如余子式与代数余子式余子式与代数余子式目录 上页 下页 返回 结束 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则例如例如目录 上页 下页 返回 结束 行列式的性质行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记目录 上页 下页 返回 结束 性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零目录 上页 下页 返回 结束 性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如目录 上页 下页 返回 结束 THANK YOUSUCCESS2024/3/18 周一40可编辑