向量法在初等几何中的应用毕业论文.doc

毕 业 论 文（设计）

论文（设计）题目：向量在初等几何中的应用

系 别： 数学与统计学院
专 业： 数学与应用数学
学 号： 2010104520
姓 名： 施清波
指导教师： 黄春妙
时 间：

河 池 学 院
毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告
系别: 数学系 专业:数学与应用数学
学 号
2010104520
姓 名
施清波
论文（设计）题目
向量法在初等几何中的运用
命题来源
□教师命题 √学生自主命题 □教师课题
选题意义(不少于300字)：
向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体,有着异曲同工之妙。向量既能体现“ 形 ”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带;而解析几何也具有数形结合与转换的特征。
向量与中学数学的许多主干知识综合,形成知识的交汇点。因此, 它或作为知识的载体,或作为解决问题的工具,几乎渗透到数学的所有支之中。它的引入给高中数学增添了新的活力,给学生的思维搭建了一个更加广阔的平台。高中数学中许多难度较大的问题,用向量来处理就能迎刃而解。自从向量引入高中数学后,高考每年都考查一个向量基本知识的选择或填空题,并在很多解答题中都有体现。因此在平面解析几何的考查中,经常以向量为载体给出各类几何条件,在解题中,以向量的基本知识为切入点,考查解析几何的知识,体现了高考在知识的交汇点处命题的原则,成为中学数学命题的一个新的亮点。本文主要就向量在解析几何、立体几何等问题中的应用进行了详细的探讨。

研究综述(前人的研究现状及进展情况，不少于600字):
向量概念的演变首先是物理学发展的需要，大约从17世纪开始，向量相加“平行四边形法则”就已经被用来确定两个运动“合成”运动所驱使的点的运动。17世纪中叶，向量的加法和数乘运算已广泛运用与物理学等自然科学研究之中。为了复数应用的合法化，韦塞尔（C.wessel）于1797年，阿尔岗于1806年独立的建立起复数的几何表示，而高斯的工作是这些原理变得广为人知，并且被数学家们所接受，再熟悉了复数的几何表示后，数学家们认识到复数可用来表示和研究平面上的向量，数学家们试图将这种思想转到三维空间去。经过长期的努力，在1843年，哈曼顿终于得到有4个分量的四元素。
大约19世纪中期，格拉斯曼借助直角坐标系，引进了向量的向量积以及两个向量的向量积，并自然的引进了三个向量的混合积和二重向量积等运算，并研究它们的运算性质。在微分几何的发展中，高斯和黎曼等在19世纪引入张量的概念，随后又发展成张量分析，进而建立和发展了黎曼几何，n维空间中的标量和向量都是张量的特例。希尔伯特于20世纪初，以平方和数列空间为标本，将n维欧几里得空间理论推广到无限维。在希尔伯特空间中，有内积、夹角、也有正交性，这实际是无限维的解析几何学。希尔伯特空间理论对其后的量子力学的诞生和发展起了巨大作用。
向量作为一种理论工具在几何中的运用，确实1918年著名数学家韦尔提出了欧几里得几何学的“向量”论证，他应用欧几里得向量空间作为辅助结构，将向量空间元素作为点空间的算子，并用向量空间的维数来确定空间的维数。韦尔的公里体系是欧几里得空间的理论转化为线性代数的语言。
研究的目标和主要内容（不少于400字）
一． 研究的目标
探讨向量法在初等几何中几大求解问题中的应用，在熟记基本公式、性质以及基本作图方法的基础上，分析向量法在初等几何问题上的简便应用，进行分类归纳，从而找出规律性的方法和技巧。同时，遇到具体问题要仔细分析，选择一个合适而简单的方法，达到灵活运用、熟练掌握不定积分的计算方法与技巧的目标。
二． 主要内容
1、在直线的共点问题中的应用
2、在点共线问题中的应用
3、在直线平行问题中的应用
4、在直线垂直问题中的应用
5、在距离问题 中的应用
6、关于面积问题的应用
7、关于两直线夹角问题的应用
拟采用的研究方法
文献法 、网络搜索法 、探究分析、归纳总结、教师指导法
研究工作的进度安排
2014年1月至2014年2月，阅读相关方向文献资料，与指导教师商定题目.
2014年3月，大量阅读与所撰写内容相关的参考资料，拟定论文（设计）详细写作提纲，填写《河池学院毕业论文（设计）开题报告》，交指导教师审核批准.
2014年4月到5月上旬，撰写论文初稿，及时与指导老师联系，汇报写作进展，遇到难以解决的问题应及时向指导老师请教，完成初稿，交指导教师审阅.
2014年5月中旬　接受指导教师整改意见，反复修改，最后定稿.
2014年5月下旬至6月上旬　准备论文答辩，答辩结束后，把论文和各种表格装订成册交数学系办公室归档.
参考文献目录（作者、书名或论文题目、出版社或刊号、出版年月日或出版期号）
[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.
[2] 王洪英.一类不定积分的计算及应用[J].山东师大学报（自然科学版），2001,16（3）:317-318.
[3] 萧胜中.浅谈不定积分的求解方法[J].广东民族学院学报（自然科学版），1998（4）:92-95.
[4] 高丽，齐琼，谢瑞.关于三类特殊不定积分求解方法的讨论[J].西南民族大学学报自然科学版，2010,36（2）:169-171.
[5] 李永杰，刘展.一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广[J].平顶山学院学报，2009,24（5）：68-70.
[6] 陈庆轩.介绍一类不定积分的解法[J].重庆交通学院学报，1986,（3）:184-194.
[7] 展丙军，李兆兴.两类不定积分的巧解[J].高等数学研究，2005，8（6）：20-24.
指导教师意见
该生的选题拟采查阅资料、归纳分析的方法，探讨几类向量法的求解方法，归纳总结出几种简便方法以求相应类型的几何问题，选题有意义，符合专业研究目标，有一定的创新性，并且难度适中，对工作量的要求合理，估计能够完成既定目标，同意开题.

签名： 2012 年 月 日
教研室主任意见

同意指导教师的意见，同意开题.

签名： 2012年 月 日

河 池 学 院 2014 届
毕业论文（设计）学生自主选题审批表
系别: 数学系 专业：数学与应用数学
学号
2010104520
姓名
施清波
论文(设计)题目
向量在初等几何中的应用
题目类型
□理论研究 √应用研究 □设计开发 □其他
是否在实验室、工程实践和社会实践中完成
□是 √否
选题依据与内容:
在高中数学新课程教材中，在必修二学习空间几何体，点、线、面的位置关系，接着必修四第二章学习平面向量，让学生对向量有了初步认识，到选修2-2的空间向量与立体几何充分将之前学过的内容有机的结合在一起，用向量解决空间几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，空间几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。

预期成果：
探讨向量法的简易求解方法，分类归纳，找出规律性的方法和技巧．估计能过达到灵活运用、熟练掌握向量法的计算方法与技巧的目标．
教研室主任审查意见:
该生的选题符合专业研究目标，估计能够完成既定目标，同意开题．
签名: 年 月 日
系(部)主管领导意见:
同意开题．
签名: 年 月 日
注:本表分选题填写,每题一页,由系（院）存档。

目 录

摘 要 Ⅰ
ABSTRACT Ⅰ
1 向量方法在研究几何问题中的作用 1
2 向量方法解决证明问题的直接应用 2
2.1平行问题 2
2.1.1证明两直线平行 2
2.1.2证明线面平行 3
2.2垂直问题 4
2.2.1证明两直线垂直 4
2.2.2证明线面垂直 4
2.2.3证明面面垂直 5
2.3处理角的问题 6
2.3.1求异面直线所成的角 6
2.3.2求线面角 7
2.3.3求二面角 8
3 向量方法解决度量问题的直接应用 10
3.1两点间的距离 10
3.2点与直线距离 10
3.3点到面的距离 11
3.4求两异面直线的距离 11
3.5求面积 12
3.6求体积 13
4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 14
5 向量在立体几何中应用的教学反思 21
5.1对比综合法与向量法的利弊 21
5.2向量法解决立体几何问题的步骤 22
5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 22
参考文献 23

向量法在初等几何中的运用
专业：数学与应用数学 施清波 指导老师：黄春妙
[摘 要]向量是现代数学中重要和基本的概念之一，具有代数形式和几何形式的“双重身份”，是沟通代数和几何的一种工具。纵观这几年的高考题，绝大部分都可以用几何法和向量法去解决。因为 对此问题向量具有良好的运算通性，几何的直观性，表达的简洁性和处理问题的一般性。通常可使问题化难为易，化繁为简，本文通过举例就向量法证明几何问题做一些探讨。
[关键词]向量法，初等几何，应用
引言
向量既是一种既有大小,又有方向的量它的运算具有鲜明的几何意义,作为一种用代数方法研究几何问题的有力工具,它不仅在研究复杂图形方面有着重要作用,在研究初等几何方面也有着广泛的应用,尤其对于初等儿何中的平行、垂直、共点共线等问题应用效果尤佳，现通过几个实例对此进行探讨。

装

订

线

向量在立体几何中的应用
摘 要
作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.

关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用

ABSTRACT
As one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.
Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use
合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）
目 录

摘 要 Ⅰ
ABSTRACT Ⅰ
1 向量方法在研究几何问题中的作用 1
2 向量方法解决证明问题的直接应用 2
2.1平行问题 2
2.1.1证明两直线平行 2
2.1.2证明线面平行 3
2.2垂直问题 4
2.2.1证明两直线垂直 4
2.2.2证明线面垂直 4
2.2.3证明面面垂直 5
2.3处理角的问题 6
2.3.1求异面直线所成的角 6
2.3.2求线面角 7
2.3.3求二面角 8
3 向量方法解决度量问题的直接应用 10
3.1两点间的距离 10
3.2点与直线距离 10
3.3点到面的距离 11
3.4求两异面直线的距离 11
3.5求面积 12
3.6求体积 13
4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 14
5 向量在立体几何中应用的教学反思 21
5.1对比综合法与向量法的利弊 21
5.2向量法解决立体几何问题的步骤 22
5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 22
参考文献 23

河池学院2014届毕业论文（设计）

1 向量方法在研究几何问题中的作用
向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.
向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.
向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：
一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；
二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.
用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.
2 向量方法解决证明问题的直接应用
2.1平行问题
2.1.1证明两直线平行
.
知，则有.
例1 已知直线OA平面，直线BD平面，O、B为垂足，求证：OA//BD.
证明：如上图，以点O为原点，以射线OA为z轴，建立空间直角坐标系，为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设，
∵，
∴
∴，
，
∴
∴，又知O、B为两个不同的点，
∴.
方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.
2.1.2证明线面平行
1、线面，，面的法向量为，.
方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.
2、已知面外的直线的方向向量为，是平面的一组基底（不共线的向量），若.
例2　如上图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,P、Q分别是对角线AC、BF上的一点,且AP = FQ,求证:PQ∥平面BCE.

证明：设，∵AP = FQ,
∴，
∴
=
=
=
∴平面BCE.
方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.
2.1.3面面平行
1、不重合的两平面与的法向量分别是和，.
方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.
2、不重合的两平面与，面的法向量为，若.
方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.
2.2垂直问题
2.2.1证明两直线垂直
不重合的直线a和直线b的方向向量分别为和，则有.
例3 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，
PH是四棱锥的高 ，E为AD中点.证明：PEBC
证明：以为原点， 分别为轴，
线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则
设 ，
则 ，
可得，
因为，
所以 .
2.2.2证明线面垂直
直线的方向向量为，平面的方向向量为，则有.
例4，如图，m, n是平面内的两条相交直线.如果，求证：.
证明：在内作任一直线，分别在上取非零向量.
n
g
α
l
因为m与n相交，所以向量不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y）,使
m
将上式两边与向量作数量积，得
，
因为 ，
所以，所以即.这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以.
方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直.
2.2.3证明面面垂直
1、不重合的平面与的法向量分别为和，则有.
方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.
2、 平面的法向量为，是平面的一组基底（不共线的向量），则有.
例5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点
（1）求证：AD⊥D1F；(2)证明平面AED⊥平面A1FD1
分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.
证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，
则A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2)
D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)
(1)
=0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F
（2）=（2，0，1） =（1，0，-2），| ，|
设AE与D1F的夹角为θ，则
=
所以D1F⊥AE，
由（1）知D1F⊥AD，
又AD∩AE=A，D1F⊥平面AED，
∵D1F平面A1FD1M
平面AED⊥平面A1FD1
方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.
2.3处理角的问题
2.3.1求异面直线所成的角
a,b是两异面直线，，a，b所成的角为，则有.
例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的大小.
解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,
∵AB=BC=2BD,设BD=1
则AB=BC=2,DC=
A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,,0),D(0,0,0)

设平面ABC的法向量为,
则

取平面ABC的法向量
设平面ACD的法向量为
则

取法向量
cos<>=

,
.
方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.
2.3.2求线面角
设平面的斜线与面所成的角为，若是面的法向量，则有.
G
DD
A1
C1
B1
C
B
K
x

y

z

A
E
例7如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；
解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，设，则，，，，，，
∵ ，
，
，
∴，，

∵ 为平面ABD的法向量，且.
∴ A1B与平面ABD所成角的余弦值是.
方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.
2.3.3求二面角

方法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如右图所示），则
① 若二面角是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即.

② 若二面角是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量的夹角，即.
方法二：在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量，则二面角的大小等于向量的夹角，即 .
例8 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小．
O（A）
B
A1
C1
B1
D1
D
C
Q
z
y
x

解 如图所示，建立空间直角坐标系，
依题意：A1（0，0，2），D（0，a，0）.
∴Q（2，2，0），D（0，4，0），
∴，
面AA1D的法向量，
设面A1DQ的法向量，
则
∴，
令a1=1，则，
∴，
二面角的平面角为锐角，
∴二面角A—A1D—Q的大小为.
此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令，则，∴，∴二面角A—A1D—Q的大小 是的补角.所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.

3 向量方法解决度量问题的直接应用
3.1两点间的距离
两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点，则
例1 在三棱锥中，面面，，
,，求SB的长.
分析 如图，本题可以用几何法求出SB，
但需要证明若用向量法，注意到SA，AC，BC
之间的关系.建立以A点为原点的空间直角坐标系.
则无须证明就有如下巧解.
解 如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，则
，
所以.
本题用向量法巧妙地把与SB有关元素的位置关系转化为相应向量是的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.
3.2点与直线距离
如图 求得向量在向量的射影长为,
则点P到直线AB的距离等于.
例2 设P为矩形ABCD所在平面外的一点，直线PA垂直平面外的一点，
直线PA垂直平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1 求点P到直线BP的距离.
解

所以在上的射影长为，又，
所以点P到直线BD的距离

3.3点到面的距离
任取一点得是平面的法向量，则有：点P到平面的距离（向量在法向量的投影的长度）.
方法思路：求出平面的任一法向量（方程组可求），在平面内任取一点与点得一向量转化为在法向量的投影长度，套公式.
3.4求两异面直线的距离
知是两异面直线，，找一向量与两异面直线都垂直的向量，则两异面直线的距离
例3如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1的正方形，四边形
是矩形，
若＝１，求直线AB到面的距离.
解：如图建立空间坐标系，
，
设面的法向量为，则
得，直线AB到面的距离ｄ就等于点Ａ到面的距离，
也等于向量在面的法向量上的投影的绝对.
方法思路：求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂直的向量，然后分别在两异面直线上任取一点,则距离就是在向量上的投影长度，距离.
3.5求面积
由于平行四边形ABCD面积=，所以三角形的面积是平行四边形的面积的一半.
=
特别地当A、B、C三点均在面上，且坐标为，，，时
（=1或-1，保证面积取正值）.
例4 已知空间三点A（1，2，3）B（2，-1，5）C（3，2，-5） 1）试求三角形的面积，2）求三角形的AB边上的高.
解:

，
所以三角形的面积是.
因为三角形ABC的AB边上的高CH即是平行形四边形的AB边上的高，
所以，
又因为 ，
所以.
例5 已知 ，其中 与的夹角为，求平行四边形ABCD的面积.
解：
同理，
设与的夹角为，
，
所以，
所以.
3.6求体积
三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，即.
四面体的体积等于以为棱的平行六面体体积的六分之一，即.
例6 已知空间四点的坐标A（0，0，0），B（0，1，0），C（0，1，1），
D（1，1，1）求四面体ABCD的体积及A到BCD平面的距离.
解 由初等几何知识，四面体ABCD的体积V等于以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积的,
,
另外设A到BCD所确定平面的距离为，
则 ， .
注：求点A到平面的距离时，取上三个点B，C，D
（1）求出；
（2）求出为棱的平行六面体的体积；
（3）求出 为邻边的平行四边形的面积；
（4）求出点到平面的距离，即.
4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用
例1 证明三角形各边的垂直平分线共点，且这点到各顶点等距.
分析 设三边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,如图，令AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于一点G，连接GD，只要证明GDBC，也即证.从而GD垂直平分BC.
证明 设则

由于因而
0= 所以
利用可得
0= 所以
从而GA=GB=GC
又，且故
于是所以GD是BC边上的垂直平分线.
于是证得了三角形三条垂直平分线交于一点G，且G到A，B，C的距离均相等.
例2 一个空间四边形对边平方和相等的充要条件是四边形的对角线互相垂直
证明：如图，设，各边长各为a,b,c,d对角线是AC和BD.
由得

于是，故

即.
例3 如果一个四面体ABCD有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直, 且三对对棱的平方和相等.
证法一:设
（如图），由上例知 （1）
又由，可得
故
（2）
若四面体两对对棱互相垂直，即 由（1）（2）可得
（3）
（4）
（3）（4）得
于是在四边形BCAD中，对边平方和相等.由
（5）
得，于是四面体第三对对棱AB与CD也互相垂直.又由（3），（4）可得

即.
以上结果表明，四面体三对对棱平方和相等.
如果没有用上例的结果，也可以用下面的方法来证
证法二:如果已知四面体ABCD中两对对棱互相垂直，即

=0
于是第三对对棱
（6）
（7）
（8）

对照（6），（7），（8）可得 即四面体三对对棱平方和相等.
注 由以上例题可以看出
在进行向量运算时，可以把所有的向量都表示成坐标向量的线性组合，然后进行运算.
在证明两直线垂直时，可把问题转化成这两条直线的方向向量（与直线平行的非零向量）的垂直问题进而转化为两向量数量积为零的问题.
在证明有关长度的等式时，首先将数量转化成向量等式，即用向量的模表示线段的长度，其次运用公式，使问题化为有关向量数性积的等式证明问题.
例4 证明以平行四边形的两条对角线为邻边的平行四边形的面积等于原平行四边形面积的两倍.
设平行四边形的两邻边分别是和，两条对角线分别是和
证

例5 已知正四棱锥，，点E为才CC1中点，点F
为BD1的中点，求D1到平面BDE的距离.
解 建立如图所示直角坐标系，则

设D1在平面BDE上的射影为G（），则
由于 ，所以

解此方程组得
和（舍去）
所以
故D1到平面BDE的距离

上面所用的向量法思路清晰，可方便简捷地求出平面外一点P到平面的
距离.
其解题步题骤为：
（1） 建立恰当的直角坐标系，设P点在平面的射影为G（），并求出平面内的三点A，B，C的坐标；
（2） 求出向量的坐标；
（3） 由，及两个互相垂直的向量的数量积为0，得到关于的三元一次方程组；
（4） 解方程组求得便得到P点在平面内的射影G的坐标；
（5） 求出 的模长，便得出点P到平面的距离.
例6在直平行六面体中,菱形,,,.
(1)求证:平面，
(2)求证:平面平面，
(3)求直线与平面所成角的大小.
证明:(1)连接交于,连结
在平行四边形中,,,
四边形为平行四边形

平面,平面
平面
(2)在直平行六面体中,平面

四边形为菱形

,平面,平面
平面
平面
平面平面
(3)过作交于
平面平面,平面平面
_
H
_
O
_
1
_
O
_
D
_
1
_
C
_
1
_
B
_
1
_
A
_
1
_
D
_
C
_
B
_
A
平面
为在平面上的射影
是与平面所成的角
设,在菱形中,

在Rt中,
_
z
_
y
_
x
_
O
_
1
_
O
_
D
_
1
_
C
_
1
_
B
_
1
_
A
_
1
_
D
_
C
_
B
_
A

（3）解法二:
连交于,分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示
设,在菱形中,
,
则(0,,0),(0,,0)，(1,0,2),(0,0,2)
(0,,2),(1,,2)
设平面的法向量(,,)
则

，令,则
(0,,)
设与平面所成的角为

命题意图: 熟悉立体几何中常见问题及处理方法,要求学生敏锐把握所给图形特征,制定合理的解决问题策略.立体几何主要是两种位置关系(平行、垂直),两个度量性质(夹角、距离).解决问题的方法也有两种:几何方法和向量方法.两种方法各有优缺点,前者难在“找”和“作”的技巧性,后者难在建系和计算上,究竟用哪种方法,到时根据自己的情况决断.

致谢
在这大学四年中，我要感谢所有教过我的老师，感谢他们对我孜孜不倦的教诲。感谢所有给过我帮助的同学们，感谢他们对我的无微的关心。我能够顺利完成毕业论文地撰写，更要感谢我的指导老师黄春妙老师，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，黄老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此谨向郑黄老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢！

22

河 池 学 院
毕业论文（设计）指导教师评阅表
系别：数学与统计学院 专业：数学与应用数学
学 号
2010104520
姓 名
施清波
论文（设计）题目
向量法在初等几何中的应用
指导教师
黄春妙
职称或学位

论
文
︵
设
计
︶
评
分
评分项目
分值
评分参考标准
评分
总分
优
良
中
及格
不及格
学习与工作态度
20
18
16
14
12
12分以下

选题的价值与意义
10
9
8
7
6
6分以下

文献资料检索与运用能力
10
9
8
7
6
6分以下

研究水平与设计能力
30
27
24
21
18
18分以下

语言文字表达能力与论文规范
20
18
16
14
12