实数连续性等价命题的证明与应用.doc

山东经济学院学士学位论文
实数连续性等价命题的证明与应用
摘要
实数连续性理论是高等数学中的主要内容,实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.
本文主要研究实数连续性等价命题的证明问题,对于实数连续性的7个等价性命题:确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则,采用循环论证的方法,先证明确界定理成立，再从确界定理出发,依次证明下一命题,直至致密性定理证明柯西收敛准则,最后由柯西收敛准则证明确界定理,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.
在实数连续性等价命题的证明过程的同时,本文还给出了实数连续性的应用.

关键词: 实数的连续性;等价证明;应用

The proof and application for equivalent propositions of the real continuity
ABSTRACT
The paper discusses demonstration and application of the equal propositions on real number continuity. Equivalence of these seven theorems can be demonstrated by a circular. From the case 1 on, this paper demonstrate the next one in turn down, at the last, the proposition that extends from 7 to 1 to form a road that their equivalence.

Keywords：The continuity of real number; equivalence demonstration; application

目录
一、实数连续性 1
二、确界定理 1
三、单调有界定理 3
四、区间套定理 4
五、有限覆盖定理 6
六、聚点定理 7
七、致密性定理 8
八、柯西收敛定理 8
参考文献 11

一、实数的连续性
实数连续性反映了实数集的一种特性，也称作实数的完备性. 实数连续性理论在高等数学中占有重要地位，广泛应用于极限理论方面,连续函数理论方面乃至整个数学分析,因此,实数连续性等价命题的内容,证明方法及应用是大学生应该掌握的重要学习内容. 实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.
实数连续性的基本定理有七个,这七个定理在实数理论的研究乃至整个数学分析的学习中都至关重要，它们是:确界定理,数列的单调有界定理,区间套定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛定理.
在下面的几节中，采用循环论证的方法,先证明确界定理成立,再从确界定理出发,利用确界定理证明数列的单调有界定理成立,再利用单调有界定理证明区间套定理成立,接下来利用区间套定理证明有限覆盖定理成立,再接下来利用有限覆盖定理证明聚点定理成立,然后利用聚点定理证明致密性定理成立,再然后利用致密性定理证明柯西收敛准则成立,最后由柯西收敛准则证明确界定理成立,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.
二、确界定理
定义2.1.1 设是非空数集.若满足

则称是数集的上确界，记作

定义2.1.2 设是非空数集.若满足

则称是数集的上（下）确界，记作

定理2.1(确界定理) 若非空数集有上界（下界）,则数集一定存在唯一的上确界（下确界）;若非空数集有下界,则数集一定存在唯一的下确界.
证明 只证明关于上确界的结论，下确界的结论可以类似地证明.
不妨设含有非负数.由于有上界,故可找到非负整数,使得
对于任何;
存在,使.
对半开区间作10等分,分点为则存在中的一个数,使得
对于任何有;
对于.
在随半开区间作10等分,则存在中的一个,使得
对于任何有;
对于.
继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间,可知对任何存在中的一个数,使得
对于任何有;
对于.
将上述步骤无限地进行下去,得到实数.以下证明.为此只需证明:
对一切;
对任何.
倘若结论不成立,即存在,则可找到的位近似不足,使
,
从而得
,
但这与不等式相矛盾.于是得证.
现设则存在使的位近似不足,即
.
根据数的构造,存在使从而有
,
即得到.这说明成立.
说明（1）:数集的上（下）界可能属于,也可能不属于,例如,则,而.
说明（2）:数集的上（下）界可能不存在.例如: ,则,而下确界不存在.
例2.1 设、为非空数集,满足:对一切和有.证明:数集有上确界，数集有下确界,且
.
证明 由假设,数集中任一数都是数集的上界, 中任一数都是的下界,故由确界原理推知数集有上确界, 有下确界.
对任意,是数集的一个上界,而由上确界的定义知, 是数集的最小上界,故有.而此式又表明数是数集的一个下界,故由下确界定义证得.
三、单调有界定理
定义3.1.1 若数列的各项满足关系式
,
则称为递增数列.
定义3.1.2 若数列的各项满足关系式
,
则称为递减数列.
定理3.1(单调有界定理) 若数列递增（递减）有上界（下界）,则数列收敛,即单调有界函数必有极限.
证明 利用确界定理（定理2.1）证明,
不妨设为有上界的递增数列.有确界原理,数列有上确界,记.下面证明就是的极限.事实上,任给,按上确界的定义,存在数列中某一项,使得.又由的递增性,当时有
.
另一方面,由于是的一个上界,故对一切都有.所以当时有,
这就证得.
同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.
例3.1 设，, 其中实数.证明数列收敛.
证明 显然是递增的,下证有上界.事实上,

于是由单调有界定理, 收敛.
四、区间套定理
定义4.1 设闭区间套具有如下性质:
,
,
则称为闭区间套,或简称区间套.
定理4.1（区间套定理） 若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得 ,,即
,
证明 利用单调有界定理(定理3.1)证明,
由闭区间套满足条件：

各闭区间的端点满足如下不等式：
.
则为递增有界数列,依单调有界定理, 有极限,且有
,.
同理,递减有界数列也有极限,并由区间套的条件得
,
且.
综合即得

最后证上式中的是唯一的.设数
则由有

由区间套条件得

故有,即是唯一的.
说明(1):若将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.如:开区间列满足区间套定理,但不存在数属于所有的开区间.
说明(2):若将闭区间列换为严格的开区间列,即存在数列与,使得,则定理仍成立.
说明(3):若将数轴上的原点0去掉,则区间套定理不一定成立,例如闭区间列满足区间套定理,但不存在属于所有的.
例4.1 设是一个严格开区间套,即满足
,
且.证明:存在唯一的一点,使得
.
证明 因为满足闭区间套,所以存在唯一的点,使得
因为,所以
即.又由于具有唯一性,于是得证.
五、有限覆盖定理
设是一区间（或开或闭）,并有开区间集（的元素都是开区间）.
定义5.1 若有,则称开区间集覆盖区间，若中区间个数是有（无）限的,则称为的一个有（无）限覆盖,若中的区间都是开区间,则称为的一个开覆盖.
定理5.1（有限覆盖定理） 若开区间覆盖闭区间,则从中可选出有限个开区间来覆盖.
证明 利用闭区间套定理(定理4.1)证明,
假设定理5.1结论不成立,即不能用中有限个开区间来覆盖.
将等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.
再将等分为两个子区间,同样,其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.
重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,它满足

,
即是区间套,且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖.
由区间套定理,存在唯一的一点,.由于是上的一个开覆盖,故存在开区间H,使.
这表明只须用中的一个开区间就能覆盖,与挑选时的假设“不能用有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖.
说明:有限覆盖定理与闭区间套定理,确界定理等不同,它是着眼于一点的局部,而有限覆盖定理则是着眼于区间的整体.它的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中选出有限个开区间也覆盖闭区间.正是通过这种方法,可以将闭区间上每点具有的局部性质转化为整个区间上的整体性质.其基本步骤是:首先根据要证明的整体性质,在闭区间上每一点找性质,然后构造开区间集使.且在每一个开区间上性质成立.则由有限覆盖定理,存在有限个开区间,使,在证明在上性质成立.
例5.1 为闭区间上的连续函数列,在上收敛于函数,如果对, 为单调递减数列,则在上一致收敛.
解 由已知, 有,由及的连续性,有,所以对上述使当时,有,因单调递减,所以当时,有,在上成立.又,由有限覆盖定理得,设,则时,对,有,所以在上一致收敛于.
六、聚点定理
定义6.1 设为数轴上的点集, 为定点（它可以属于,也可以不属于）.若的任何邻域内都含有中无穷多个点,则称为点集的一个聚点.
定义6.2 对于点集,若点的任何邻域内都含有中异于的点,即,则称为为点集的一个聚点.
定义6.3 如存在各项各异的收敛数列,则其极限称为的一个聚点.
定理6.1（聚点定理） 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.
证明 利用有限覆盖定理(定理5.1)证明，
对直线上的有界无限点集,存在,使得.假设中不含的聚点.则对,则存在相应的,使得内之多包含的有限多个点,令=则是的一个开覆盖,从而中存在有限个 ,覆盖了,从而也覆盖了.因为每个邻域中至多含的有限个点,故这个邻域的并集也至多含有的有限个点,于是为有限点集,这与题设矛盾.因此在中至少有一点是的聚点.
说明:并不是所有的点集都有聚点,如自然数集N.
例6.1 设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的.
证明 设递增,假设都是的聚点,且,则取,由于是的聚点,故必存在.又因递增,故时恒有

于是,在中至多含有的有限多项,这与是的聚点相矛盾.
七、致密性定理
定理7.1（致密性定理） 有界数列必含有收敛子列.
证明 利用聚点定理（定理6.1）证明,
设为有界数列.若中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的.
若数列不含有无限多个相等的项,则在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集至少有一个聚点,记为.由聚点定义（若存在各项各异的收敛子列,则其极限）,存在的一个收敛子列（以为极限）.
八、柯西收敛准则
定理8.1（柯西收敛准则） 实数列有极限的充要条件是：对任意给定的，有一正整数，当时，有成立.
证明 利用致密性定理（定理7.1）证明，
设数列满足柯西条件.先证明是有界的.为此,取,则存在正整数N,当及时有
.
由此得.令
,
则对一切正整数均有.
于是由致密性定理,有界数列必有收敛子列,设.对任给的,存在,当时,同时有
（由柯西条件）,
(由).
因而当取时,得到
.
这就证明了.
例8.1 证明任一无限十进小数的位不足近似所组成的数列

满足柯西条件（即收敛），其中为中的一个数, .
证明 记.不妨设,则有

对任给的,取,则对一切有
.
这就证明了所给数列满足柯西条件.
利用柯西收敛准则（定理8.1）也可以证明确界定理（定理2.1）,下面给出证明.
证明 设是非空有上界的数集,由实数的阿基米德性,对任意的,存在整数,使得为的上界,而不是的上界,即存在,使得.
分别取,,则对每一个正整数,存在相应的,使得为的上界,而存在不是的上界,故存在,使得
.
又对正整数,是的上界,故有,结合得;
同理有,从而得
.
于是对任意的,存在,使得时有
.
由柯西收敛准则，数列收敛.记
.
现在证明是的上确界.首先,对任意和正整数,有,由式得,即是的一个上界.其次对任意的,由及式,对充分大的同时有
,.
又因不是的上界，故存在，使得,结合上式得.
这说明是的上确界.同理可证若为非空有下界数列，则必存在下确界.

在上面八节中,我们首先证明了确界定理（定理2.1）,由它证明单调有界定理（定理3.1）,接着用单调有界定理证明区间套定理（定理4.1）,接着用区间套定理证明有限覆盖定理（定理5.1）,然后用有限覆盖定理证明聚点定理（定理6.1），然后又用聚点定理证明致密性定理（定理7.1）,然后用致密性定理证明柯西收敛准则（定理8.1）,最后用柯西收敛准则证明了最前面的确界定理（定理2.1）.则这样构成了一个循环,证明了在实数系中,这7个命题是等价的,即由任意一个命题都可推出其余的命题.对此我们可用下面顺序表示:
2.13.14.15.16.17.18.12.1.
在上面的八节中,我们也给出了若干代表性的例题,目的是对实数连续性定理进行应用.
通过这篇论文,我们可以更好得掌握实数连续性等价命题的证明与应用.
参考文献
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