高考数学一轮复习备用题第15单元选考模块.pdf

第十五单元选考模块15.1 极坐标系与参数方程I x=1+3Z,1.（2021 重庆八中模拟）已知点P（4,如是直线/:CeR,，是参数）和圆k-5+/x=1+5 cos 9,c：,.A（8er超是参数）的公共点，若过点夕作圆C的切线4,则切线4的方y=5sm 9程是（）A.3x4y 28=0 B,3x+4y 28=0C.3x-y-13=0 D.x-3y-16=0【答案】A【解析】由l+3-4得Ul,贝=-5+l=-4,所以尸（4,-4）.所以圆。的普通方程为（%-1）2+/=25,圆心为。（1,0）,kCP=-=-,所以切线的斜率为左=1，方程为 4 1 3 43y+4=（X4）,即 3x4y 28=0.故选 A.42.（2021.辽宁省实验中学高三模拟）若直线的极坐标方程为夕sin（8+?）=?,则极点到该 直线的距离为【答案】走2【解析】由夕51（6+彳）=乎，得0cos+06=L将=。（：05。,=。5出。代入可得,、|0+0-1|72x+y=1,点（0,0）到直线的距离d=J-2=.7i2+i2 23.（2021.贵州省思南中学高三期中）极坐标系中，直线2夕sine+?=2+&,与圆夕=2sin9的位置关系为（）A.相离 B.相切C.相交 D.以上都有可能【答案】B【解析】因为22sine+（=2+后，展开后，2Pssm。+*0$叩2+0,所以隹osinP+M9cos9=2+JI,所以x+y=0+l,圆的方程：p=2sin9。夕之=2psin9,BP%2+y2=2,所以圆的直角坐标方程是炉+（y=1,圆心（0,1）到直线x+尸0+1的距离dl：T=l，Jf+f所以直线与圆的位置关系是相切.故选B4.（2021.宁夏银川高三期中）若直线的极坐标方程为夕sin（8+?）=?,则极点到该直线的 距离为_【答案】2【解析】由夕1（+：）=理，可知，08s6+Osii8=L即转化为直角坐标系下的方程/、p+0-/2为x+y=1,极点（0,0）到直线的距离为d=J-2=VI2+12 2jq_cos?e一 一 2八（夕为参数）化为普通方程为（）y=cos 0A.x+y l=0 B.xy+l=0C.x+y-l=。（0 xl）D.x-y+l=0（0 y 氏，/为参数）,y=3+cos 207则直线/的倾斜角的大小为【答案】110丫 4_sin t二3lcos2。/为参数）x=4+cos 0,:3+smU。小为参数）,所以直线的倾斜角为故答案为：”8.（2021 宁夏银川模拟）在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程夕=2sin26对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.71（1）当“四叶草”中的0,-时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；（2）已知A为“四叶草”上的点，求点A到直线/：夕sine+：）=3距离的最小值以及此时点A的极坐标.【解析】（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为夕=1,联立夕二1p=2sin 20715ti，8吟，得。=或八二，1212所以所求交点的极坐标为和（2）直线/：夕5足9+：）=3的直角坐标方程为+=3，5,“四叶草”=2sin28极径的最大值为2,且可于点号处取得,连接OA且与直线x+y=3右垂直且交于点M3,：，所以点A与点V的距离的最小值为1.9.（2021 四川仁寿高三仿真高考）在同一直角坐标系xoy中，经过伸缩变换卜二叵后,y=y曲线C：J+y2=1变成曲线02.（1）求曲线g的参数方程；（2）设川2,石），点?是。2上的动点，求OAP面积的最大值，及此时P的坐标.（L 1 1，X，=J 2%x-产 x【解析】（1）由伸缩变换，7得到 6y 二 y，i p=y将代入G：土+V=1得至J L十片=1 2 4f x=2cosCTz、|乙田,所以。2的参数方程为.。为参数y=sma /（2）设2（285。,110（012）,直线。4:瓜；-2y=0所以到直线OA的距离为公江Rd|4COSh?t 4币=一万一-77所以Saoap=：|OA|d=：夕24:夕吃=2当a=?或=詈时，OAP的面积的最大值为2 6 6此时P的坐标为1或百,-.10.在极坐标系中，已知点?2,看,则过点P且平行于极轴的直线方程是（）A.sin9=1 B.sin9=MC.pc os6=1 D.cose=答案：A解析：先将极坐标化成直角坐标表示，尸”,小转化为直角坐标为x=cos 9=2cos看=小,y=sin9=2sin1=1,即（小，1）,过点（小，1）且平行于x轴的直线为y=l,再化为极坐标 为 psin。=1.故选 A.11.（2022 山西阳泉高三期中）已知直线的参数方程是,。为参数），则直线的倾y=lT斜角大小是.3兀【答案】乎4f x 2+1 3 7i【解析】由 消去/得x+y=-1,斜率为i,倾斜角为子.12.（2020 江苏）在极坐标系中,已知点4闩与在直线/cosO=2上，点今在圆 3 6C:夕=4sin6上（其中夕2。，082不）.（1）求。1，。2的值（2）求出直线/与圆。的公共点的极坐标.【解析】（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，：plc os=2,:.p1=4,因为点6为直线上，故其直角坐标方程为,=立元，6,3又夕=4sin8对应的圆的直角坐标方程为：x2+j2-4y=0,由2_分=0 1x=/3 y=i对应的点为(0,0),(若,1)，故对应的极径为夕2=0或夕2=2.(2),：pcos夕=2,夕=4sin仇.二4sin8cos8=2,.二 sin28=1,八 re c、八 TC 5兀.0 g 0,2tt),0,4 4当e=5时夕=20；当9=苧时夕=2后0,舍去；即所求交点坐标为当(2后,f).4 413.(2022 江西南昌高三调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线G的直角坐标方程为 X+(y-l)=l,以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐 标方程为夕sin19+?=2jl.22(1)求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程;(2)设曲线6：。=改夕。，。“勺分别交曲线6和曲线孰于点4号 求gW的最大值及 2|C7A|相应的。的值.【解析】(1)曲线G的普通方程为Y+y2=2y,由x=cos。，y=psin0,可得曲线G的极坐标方程为夕=2sin9.由曲线G的极坐标方程为夕sin(6+?)=20,可得夕cos 6+夕sin 8-4=。,所以曲线G的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由曲线。2的极坐标方程为夕sine+M=20,令e=a,可得|Q4|=I 4)cos a+sm a因 为|OB|=2 sin a,所以-=sin a(sin a+cos a)=sin2 a+sina cos a|OA|2 2 2=(l-cos2cif+sin2cif)=-sin(2cif-)+.4 4 4 4因为，所0ag以f -1)2=2,即/+,2 _ _ 4y=0,所以圆的极坐标方程为P=2(COS 3+sin 3),设尸(0,6),OS1,。),由|。尸|:|尸。|=2:3可得夕:夕1=2:5,将夕1=夕代入圆。的极坐标方程为夕=2(cose+sin6),所以动点夕的极坐标方程为5P=4(cos 6+sin 0.18.(2022 宁夏银川景博中学期中)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，兀轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕cos。=4.(1)为曲线3上的动点，点P在线段上，且满足1。河川。尸1=8,求点P的轨迹G的直角坐标方程；(2)设点Q的极坐标为上彳,求AM尸。面积的最小值.【解析】(1)设尸(Q,-OMOP=S,则夕/=8/cos6=4,8cos6=4,即夕=2cos2=2%+26y并整理得产一(4cose+26sin9+3=0,y=t smdA=(4cos 0,(2cos 6+73 sin 3,所以0+22=4cos6+20sin。，化=3，同号，所以+1 _ 1 1 _t.+t _|4cos 0+2yf3 sin 6|_西十西可讨=一3312cos 8+百sin0=近,-cos0+sin0=1,币 V72 也令 sin =万，cos 0=苗，9 为锐角,贝！J|sin 0cos 6+sin cos|=|sin(6+?)|=1,TT TT所以9+=上万+耳，keZ,。是直线的倾斜角，所以夕二,一0,八 sin。t an9=-cos。sin715”T，即斜率 sm 2 2x=yJ2c os024.(2022 陕西西安模拟)在平面直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为 厂(。y=76 sin。为参数)，曲线G的普通方程为：%1 2+/-8%=0,以坐标原点。为极点，I轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.(1)求曲线G，。2的极坐标方程；77(2)在极坐标系中，射线。=与曲线G，。2分别交于A,6两点(异于极点0),定点M(73,o),求 AABM 的面积.x=0 cos 9 y2 v2【解析】(1)因为 广,所以曲线G的普通方程为土+匕=1，y=6 sin 8 2 6所以曲线的极坐标方程为：3p2cos20+p2sin2-6=O,又因G的普通方程为：x2+j2-8x=0,所以曲线 G 的极坐标方程夕2 cos2 9+/?2sin2g 8pcos9=0,即夕=8cos8；jr(2)将。代入曲线G，。2的极坐标方程，得：1 QG：3A2.-+A2-6=0,解得目=2,即|4=2,G：夕2=8x；=4,SP|OB|=4,如图有两种情况，5刖6=5AMm=30叫3回吟-|。阂sin?3 a二j3 H。阖)=5，ama2bSA+SAoMToMllO到sinq+JwlloRsin。3 Q=-(|ob|+|oa|)=-.25.（2021.嘉峪关高三模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线/:y=g（x+l）,曲线C的参x=cos a数方程为.（。为参数），以。为极点，1轴正半轴为极轴建立极坐标系.y=sma（1）求曲线G和直线/的交点的极坐标；（2）将曲线G的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的百倍后得到曲线。2,直线/与曲线。2交于，N两点，设点G（-I,o）,求|MG|+|NG|的值.x=cos a【解析】（1）由曲线G的参数方程为.（。为参数）y=sma消去参数可得曲线C1的普通方程为x2+/=l,联立方程组x2+y2=1?解得X-1 尸。或,1x=2也,即交点为（-1,。）和再由极坐标与直角坐标的互化公式，可得交点的极坐标为。,万）,（2）由曲线G的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的6倍后得到曲线。2,即X，=2x 2 2,耳，代入/+V=1,可得曲线?的方程为亍+1=1,由点G（-1,0）,可得设直线/的参数方程为1 1X 1H-12厂(/为参数),将/的参数方程代入3/+4/=12,整理5产-4-12=0,解得“22=-：又由直线参数方程的几何意义，可得Mg|+|ng|=,|+K|T即|MG|+|NG|的值为26.（2021.成都高三模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为=2cos/1 4.4为参数），以坐标原点。为极点，1轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲y=l+cos t-sm t线C2的极坐标方程为p=2（sin，+cos，）.（1）求曲线g与。2的直角坐标方程；（2）已知直线/的极坐标方程为夕=。夕R,0a1）直线/与曲线G，G分别交于MN（异于点O）两点，若QM|ON|=8,求a.=2cosZ【解析】（1）因为曲线G的参数方程为 1 4.4（，为参数），y=l+cos%sm t所以 y=1+cos。-sin。=1+（cos之力+sin?/）（cos?/-sin?%）=1+（cos2r-sin2=2cos?看,所以 G：y=2=X2;又因曲线。2的极坐标方程为夕=-2（sin，+cos，），所以夕2=-2psin3-2joc os3,BP 12+,2 2%2y,所以。2：(x+l)2+(y+l)2=2；（2）G的极坐标方程为：Qsin，=Q2 cos2，即Q=秋4，2 cos 0把夕=代入q,G的极坐标方程得：同二|OA/J=2$?戊,同=|。2=2（sina+cosa）,H 2sini2（sini+cosi）/0、所以 10MlON=-=4（t an i+t an=8,所以t ai?e+t ana=2,解得t ana=1 或t ana=-2,TT因为0 a ,2所以 t ana=1,71所以a=f.4f x=l+cos a27.（2021.内蒙古赤峰质检）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为 1.（ay=l+sini为参数），点P坐标为（0,2）.以坐标原点0为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/TT的极坐标方程为。=7,直线/交圆。于A,8两点.O（1）求点尸的极坐标和圆。的极坐标方程；（2）设的中点为“，求四边形0PCW的面积.TT【解析】（1）由P坐标为（0,2）.则其极坐标为（2,万）；消去参数，得到圆的普通方程：（x I）?+（y 1=1,即Y+J2%2y+l=0,x-p cos 6则由卜=sin。知，圆的极坐标方程为夕2-2msin，+cos9）+l=0；x2+y2=p2（2）由“为AB的中点知，CMLOM,且。（LD,1 JT JT四边形 0PCM 的面积 S=S.opc+Sqcm=-x 2x l+-OC OM sin（-）2 2 4 o=1+xcos sin =1+sin =1+2 8 8 2 4 4JI JI1.（2020.江苏卷）在极坐标系中，已知点A（p一）在直线/：/cos9=2上，点 以2,一）在圆 3 6C：2=4sin。上（其中2NO,0学2兀）.求1，2的值;（2）求出直线I与圆C的公共点的极坐标.兀 71【解析】(1)由/cos q=2,得1=4；2=4sin%=2,JT又(0,0)(即(0,)也在圆。上，因此2=2或0.6pcos 9=2,_(2)由 得 4sin&ose=2,所以 sin 20=1.b=4sin 0,因为代0,O02n,所以e=?p=2限.所以公共点的极坐标为(272,-).4x-3cos 仇28.（2021.河南郑州一中高三模拟）在直角坐标系中，曲线。的参数方程为.八ly=sm 6x=a+4t,（。为参数），直线，的参数方程为 为参数）.b=i一%（1）若。=1,求c与/的交点坐标；（2）若C上的点到I距离的最大值为折，求a.【解析】（1）=1时，直线/的普通方程为x+4y3=0.曲线C的标准方程是弓十丁2=1,x+4j3=0,联立方程=1,解得x=3,j=021 24则。与/交点坐标是（3,）和（,（2）直线I的普通方程是x+4y44=0.设曲线C上点P（3cosasin 6）.n,云匚-13cos 9+4sin。一4一。|5sin（。+）一4一。|贝u P至UI距禺d=-而-君-3其中 t an（p=.又点。到直线/距离的最大值为行，所以|5sin（e+。）一4 一0的最大值为17.若介0,则一54a=17,4=8.若 0,贝U 54a VI,*.a=116.综上，实数。的值为4=16或4=8.29.（2021.四川省绵阳南山中学高三模拟）在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为=（9为参数），以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立坐标系.y=2+2sm（1）点p为q上任意一点，若。尸的中点。的轨迹为曲线。2,求G的极坐标方程；（2）若点M N分别是曲线q和G上的点，且（WLQV,证明：|。州+4|加为定值.fx=2cos（z?【解析】（1）曲线C的参数方程为 c:（。为参数），化为普通方程为：y=2+2sm0 x2+（j-2）2=4,即/+y24）=。，所以曲线g的极坐标方程为：夕2_4psin8=0,化简为：Q=4sin8,设。尸的中点。（Q力），所以。（2叫,6）.因为点P为G上任意一点，所以2Q=4sin处得夕=2sin氏TT（2）设加（分。），则N（e，e）,|OM|2=厅=16sin20,4|ON=4夕；=42sW1）2=16cos2 0,所以|QM+4|ON=16sin2e+16cos2e=16.即为定值._ 130.（2021 四川遂宁三模）在平面直角坐标系丁中，曲线的参数方程为“一十：（为t 1y-I 2 2t参数）；以原点。为极点，兀轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.直线/的极坐标方程为 psinl 9+1=2/2.（1）求曲线。的极坐标方程和直线/的直角坐标方程；（2）若年-1,求以曲线。与1轴的交点为圆心，且这个交点到直线/的距离为半径的圆的 方程.一+1【解析】（1）由得V=-2 It因为一=/+2+2 =4,所以（2）2=4,即 24/=4,又x=/?cos0时，曲线G与。2只有一个公共点，求一（2）当/为参数，夕40,）时，曲线G与G相交于AB,且|AB|=4,求。的值.【解析】（1）曲线G的直角坐标方程为f+（y 2）2=4,当e为参数时，曲线G的直角坐标方程为(%-2)2+V=产，又曲线3与G只有一个公共点，故曲线q与G的位置关系是外切或内切，(i)当与。2外切时，J(2-0)2+(0 2)2=2+/,解得”2四-2;(ii)当 G 与。2 内切时，J(2-0)2+(0 2)2=2,解得:2 0+2,故2后-2或2亚+2.(2)当/为参数时，曲线G为过点(2,0)的直线，又曲线。2是直径为4的圆，且|AB|=4,所以直线G过圆。2的圆心(。，2),2 0 a则直线a的斜率左=百=1,因为夕日0,句，所以8=1万.15.2不等式选讲1.不等式卜2x|V3的解集为()A.-1,2 B.(-oo,-lo2,+oo)C.L+s)D.(8,2【答案】A【解析】因为卜24区3得一31-2光43,即-4-242,所以1 2.所以不等式|1-2xg 3的解集为-1,2.故选A.2.(2021兰州质检)用反证法证明命题：“已知a,bN,若ab可被5整除，则a,b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是()A.a,b都不能被5整除B.a,b都能被5整除C.a,b中有一个不能被5整D.a,b中有一个能被5整除【答案】A【解析】从反证法的要求来看，须将结论。，人中至少有一个能被5整除全部否定，故选A.3.(2021.天津联考)若对任意的xR,不等式|x1|一|犬+2凶2a1|恒成立，则实数。的取值 范围为.【答案】(-8,-1 U 2,+oo)【解析】Vy=|x1|x+2|2 或 a-1,实数。的取值范围是(一如-1U2,+s).4.设，b,cR,”+c=0,abc=l.(1)证明：ab+bc-c a/4.【解析】(1)由题设可知，a,b,c均不为零，所以 b+bc+c=g(+0+c)2 (a2+b2+c 2)=(6Z2+/?2+c2)0,b0,c/4.5.(2021.内蒙古通辽高三模拟)已知数列斯的前项和为S，且满足斯+S=2.求数列斯的通项公式；(2)求证：数列斯中不存在三项按原来顺序成等差数列.【解析】(1)当=1时，ai+Si=2ai=2,则勿=1.又斯+a=2,所以斯+i+S+i=2,两式相减得斯+i=T斯，所以念是首项为1，公比为;的等比数列，所以斯=心.乙 乙(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为劭+1，他+i，M+i(pqr,且p,q,N*),则24弓+/，所以2.2/=2/+1.(*)又因为?qO,所以rqN*,pN*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不等立.所以假设不成立，原命题得证.6.求证：巾2+y.证明：要证事十巾2+乖,只需证(审+或)2(2+#)2,即证 10+22110+46,只需证历2的解集；(2)若2,1时，不等式/(x)V3-2x成立，求实数，的取值范围.【解析】(1)当=2时，/(x)=|x-2|+|2x-2|.2 2当x2,解得冗,止匕时元；当 1%2,止匕时xe0；当元2 2时，/(%)=%2+2%2=3%42,解得%2,止匕时x 2.综上所述，当。=2时，不等式/5)2的解集为18,g u(2,+8)；(2)若2,贝”2x-2|=2-2x,由/(%)=归一。|+2 2%3 2%,可得|xBP-lx-al,解得 a lxa+l,对任意的-2,1时,不等式的x)3-2%成立,则-2曰。-l,a+l,q 1 4 2所以，,此不等式组无解，故实数，的取值范围为。.8.(2021 江西临川一中高三模拟)设函数/(x)=|2x+l|+x+g.(1)求函数/(x)的最小值；(2)若函数/的最小值为加，且正实数。满足+。=机，证明：4ab+4 4+-1+万=2，当且仅当x=J时等号成立,所以函数/（%）的最小值为2.（2）由（1）知+b+c=2,且。，b,。为正实数,所以 2，+，0 工口7+24口 2 2 V2 V2当且仅当4=1,万=。=；时等号成立.即+4ac .2 3 2-1 2证明 当 2 2 时，-1-1-1-1-F I-x 2 1=一,2+1 2”t+2 2T+2t T T T T 21 1 1 1 1/1、J 1 1 1、故i+5+一门 i+，+/+(+声+矿+封+z i i(-1-F H-)-F(1-)一.2n 2n 2 2 2 2 210.（2022 新疆新源二中月考）对任意实数不，若不等式|x+l|-|x-2|左恒成立，则上的取值范围是（）A.k3 B.k-3 C.k3 D.k-3【答案】B【解析】由绝对值三角不等式可得上+1|十2|1|（x+l）-（x-2）|=-3,3.故选B.11.（2022 河南新乡期中）若不等式根304|2xl|2x+3|log 2相对xeR恒成立，则加的取值范围是（）A.16,26 B.8,27 C.8,26 D.16,27【答案】A【解析】由题意原不等式，等价于(|2x-l|-|2x+3|)max 加23%又因为31Kl(2%l)_(2x+3)|=4,所以T|21_1卜|2工+3|4,则近：j 4；解得16 0有实数解，则加的取值 范围为()A.(-oo,3 B.(-oo,-3 C.(-oo,3)D.(-oo,-3)【答案】C【解析V|x-l|-|x+2|x+2,即 xW2时取“等号.(|x_l|Tx+2|ax=3,因为|x_l|_|x+2卜机0,BPm|x-l|-|x+2|解，加3.故选C.13.若关于x的不等式2|+k-7|/一5一1,整理得/_5a _6 2恒成立等价于/(x)1nhi 2,2x-a,x a当 a 0 时，f(x)=x-a+x=a,0 xa,可得了疝。，-2x+a,x0当a0时，f(x)=x-a+x=-a,ax0,可得/(为而口=一。，-2x+a,x 2,所以实数。的取值范围是a2 2或2.故选B.15.(2021 上海杨浦区期中)已知0,b-d,贝13a4b3c+4d|的最大值是.【答案】2t【解析3a-4b-3c 4d=3(a-c 4(-bd)0,m 0,用分析法证明：a a+m(2)已知实数a,b,c,d满足cN2S+d),用反证法证明：方程f+公+=()与方程x2+c x+d=0至少有一个方程有实根.【证明】(1)要证明2 0,a a+m贝U证明仪Q+a)S+a),即证+成立，即bm 机成立，即Z?成立即可,由条件知，成立，则巳竺竺成立.a a+m(2)反证法：假设结论不成立，即方程必+於+=o与方程f+M+d=o都没有实根，则判别式满足4=一助 0,A2=c2-4J0,贝 1)/+024d 4人/+02,即4d+4/+02 N2ac,BP 2(b+d)ac,与条件 ac 2(Z?+d)矛盾,即假设不成立，则原命题成立.17.已知函数/(%)=|%-4+及一。|,(1)当=1时，对任意的mwH,关于x的不等式2机+2总有解，求实数a的取值范围.(2)当，0力=。时，求不等式/(%)2的解集.【解析】(1)当=1 时,/(x)=|x-|+|x-l|,因为对任意得根尺，关于X的不等式/(x)病-2机+2总有解，所以/Min 1,当且仅当机=1时取最小值1,/(x)|(x-a)-(x-l)|=|6Z-l|,当且仅当(九q)(x 1)V。时取等号，故只需11，解得，。a(2)当 a 0,b=OSi.f(x)=x-a+x=a,Oxa-2x+a,x0作出了(x)的大致图象如图所示；令2xa=2,得x=；(+2),令一2%+=2,得x=；(q 2),结合图象可得，当22时，%-22得解集为0,当。，2时，22得解集为18.(2021 四川遂宁高三模拟)已知函数了(%)=|%-1|+|%+2|求不等式9的解集；(2)当/(%)取最小值时，求使得ZHX-2根=x+l成立的正实数加的取值范围.【解析】由不等式/(x)49,可得/(x)=|x-l|+|x+2|9,x-2-2x l可化为11 x 2 V9 或11 x+x+20 9 或l+x+2 49解得一5Vxv2 或一24尤1 或lx4,综上知不等式的解集为-5,4.(2)因为/(x)=卜_1|+k+2|=卜.+k+2|印_%+%+2=3,当且仅当(-1)(%+2)40,即24光1时，等号成立.故当一时，/(x)=3,法二:x+1x 23x 2=1+m=因为一所以21,所以一 4，x-2 43 3 3 1 1所以3V ,即，所以2V+1-Om0)的一个零点为2,(1)求不等式/(工)0,解得：m=l；./(x)=|x+l|+2|x-l|-5,7 7当 1 时，f(x)=-x 1+2 2x 5=3x4 ,x 1；3 3当一 1%1 时，/(%)=%+l+2 2%5=%25,.1x1；当了21 时，/(x)=x+l+2x-2-5=3x-63,解得:x 3,/.lx3；综上所述：/。)3的解集为|-：工|x+l-(x-l)|=2(当且仅当14x41 时取等号)，即 g(x)1nm=:2,7 1 4/.u+b =4,c.16=+=2+l_+2ab+=；/+2Z/+指1+2+彳+干4+2+g5、7 2a r 7 2a 2b J 1 a by2 2ab-1-+2ab H-1-=3 c ib-121 c c J c c I c c)(当且仅当Q=1时，等号成立),c,a 16 ab-1 V c c 320.(2021 陕西西安长安高三二模)设函数/(x)=x|x+2|x3|(1)证明：当机0时，机+L42/(%)恒成立；m(2)证明：当机0时，log+i(m+3)log w3(机+5).3%+3,x -2解析(1)g(x)=x-|x+2|-|x-3|+4=x-l,-2x 3则函数g(x)在(-8,3上是增函数，在3,+8)上是减函数，即且(初四=且(3)=2,当机0时，由基本不等式得，m+2 m=2,当且仅当机=1时，等号成立,m m所以原式得证；(2)由于m0,则m+5相+3根+1 1,即 1g(m+5)lg(m+3)lg(m+l)0,要证明 log m+i(m+3)108m+3(m+5),只需证；lg(m+l)lg(m+3)即证 1g(m+1)g(加+5)lg2(m+3),又 1g(加+1)Jg(加+5)lg(m+D；g(m+5)=噌(一+；)(加+5)lg2(m2+6m+5)lg2(m2+6m+9)lg(m+3)22 2 4 -,求实数加的取值范围；X+1 2(2)求证：Ylnk+n(k+1)n n(zz e TV*).Zf ri+1【解析】(1)不等式/(刈之白，即为用包土必上皿 x+l X记g二口出2,故g,(x)_(x+l)(l+lnx)x-(x+l)(l+lnx)_ x-ln x x2 x2令力(x)=%lnx,贝U(x)=l LVx l,：h(x)0,h(x)在1,+s)单调递增,故力(X)min=力=1，故g(X)0,故g(x)在口,也)上单调递增，故 g(x)min=冢1)=2,故加42；2(2)由(1)知：f(x)一；恒成立,即 lnx3=l-1-,x+1 x+2 x令 x=(+l),贝+-=1 +-,nn+l)n n+12 2 2 2故 ln(l x 2)1-1,ln(2 x 3)1-1,1 2 2 32 2 2 2ln(3 x 4)1-1,-,lnn(n+1)1-1-,3 4 n n+1累力口得：左+In(k+1)n-2(l-1 n-2-=-M v +1)n+1 n+1 2 1故 XIn 左+In(左+1)-(n N*).M n+122.(2021 江西新余高三二模)已知函数/(x)=|x 1|x+l.(1)解不等式2(2)证明：对任意的实数awA,恒有依+31112+幺/(%).42,?x-l【解析】(1)作/(以=卜-卜|%+1|二 一2工？-%l轴上方，得到y=1/(X)I的图像，如图：作直线y=i与函数y=(x)l交于4-；)，观察图形得不等式1/(%)|1的解集为(-00,-i)U(g,+00).(2)/(x)=|X-l|-|X+11 31n2,当且仅当 x=时取=,4 2 22要对任意的实数ae A,恒有Q%+31n2+/(%)成立，42只需(f 依+3 111 2+/(%)max 成立，只要 31n22oln8ln/o8/o20 e，而 20 2 2.828,e 2 2.718,即2点 e 成立,2所以对任意的实数 A,恒有必-x+31n2+?/(x).23.（2021 广西师大附属外国语学校考前模拟）已知实数q,匕满足0a2.求证:(1)2t z|+13；(2)3(6z+&)ab+6.2 4【证明】（方法一）（1）由题意得人-：三.由绝对值三角不等式得 2 1|/7 2d+|3q 1|=|/7 2d+3 6!=|/?2H+2q ci b-+431a 33所以卜 _ 2a|+13.(2)由已知得2。0,b-2Q,所以（2 Q）S 2）0,即 254 ab+2a 0.因为0,b2,所以+b 2.所以由同向不等式相加得35-4一必+3a 2,得3a+35+6,即 3（a+。）ab+6.（方法二）（1）由题意知，当。时，2|+a-=/?-2a+l-3c i=b+1-5 2+1；当;2时，由绝对值三角不等式得|/?-+13|Z7 2a+2d+t z 1 2+1=.所以+13 1|.(2)3a+3b (ab+6)=3a+3b ab 6=2a+3b ab 6+a=a(2b)+3s 2)+=(Z?2)(3 a)+a.由已知得3 a 0,b 20,所以(0 2)(3 a)+a。，所以 3(a+b)ab+6.单元检测十五1.(2021.四川巴中高三模拟)已知数列q满足=2,an+1=2an+2n+1.证明：数列性1为等差数列；a 11 1c(2)设一,证明：原+原+区2.【解析】(1)因为翁喙=驾乔喙除+1管=1,所以数列会，是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)知，a=1+(-1)x1=，1 1 11 1 11所以R=U，当N2时，-72=一一，bn n bn n(n-l)n n-1 n1 1 1 一 1 1 1 1 1 八 1 八所以 Q+r+1+1 3+3 工+-7 =2 一 2.bY b2 bn 2 2 3 n-1 n n2.(2021 陕西咸阳模拟)已知数列凡的前几项和为S，=1,%+产了?.(1)求证+为等比数列；3(2)求证：Sn .2(2 1+44【证明】(1),数列4的前项和为s，%=i,=Ui，J=二一+1，、%+4 an+l an an1 1 f 1 11 114 1 11 4+-=4-+-,+q=,J 十 丁是以:为首项，以4为公比的等比数列.%3 14 3J%3 3 4 3J 311 4 114（2）一+彳是以9为首项，以4为公比的等比数列，,一十三二K,4 3J 3 Q”3 3一 41当几之3时,c 1 3 3,S IH-1-n 15 23 3 3-=-4-1 4n2-l(2n-l)(2n+l)3 _ 1-42-l-5?5-7 7-9I-2n-lIB12n+l(nN3,neN).32所以邑=1+H3，6 3 3 i-=一5 IO 23 综上所述，口.3.（2021.陕西西安高三月考）在平面直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为x=-l+cos 夕y=y/3+sin cp（。为参数）.（I）以坐标原点。为极点，兀轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线。的极坐标方程;（2）若射线e=a（po）与曲线。有两个不同的交点a,b,求n+4的取值范围|Ot5【解析】（1）曲线。的直角坐标方程为（x+l）2+（y-/）2=1,即 x1+y1+2x-2 A+3=0,又九2+)2=夕2,x=pc os0,y=psm0,二曲线C的极坐标方程为p2+2夕(cos夕石sin9)+3=0.(2)把夕代入夕2+2(cos6-JJsin。)夕=0 得p1+2(cos a-6 sin a)夕+3=0夕+3=0.设 A(Pi，。)，B(pz，。)贝！J Qi+夕2=2(指 sinacosi),P0=3.所以氤十嬴二/十二/2(石 sin a cos a)4.z 兀、*3=-sm(a-),3 o377-5tt又射线i与曲线C有两个不同的交点A,.冗 冗 2tt.否.ji3 6 3 2 6 力2返 1 1 4-2,X=pCOS0,所以%2+y2=4x.由C 6x=2+9l a为参数），消去参数得x-丁=4,2+22x2+y2=4%由二4解得 x=2或x=4y=0所以 A(2,2)、6(4,0)或 A(4,0)、5(2,-2)；(2)由(1)知|AB|二 J(4-2y+22=2叵,xf=x-2根据变换公式，1 由曲线G变换得到曲线。3,则忱六 32+(2-43=等+(1,即曲线g的方程为:+V=1,设点P（2cos0,sin）,则点F到直线A6的距离为d-|2cos-sin?-4|（275 妍.）4-cos。-sm-4、5 5）忑|君 sin（a 一0）一4|_ 4 如 sin（a 0）（其中sina=冬叵 5c osa 力）,50故当sm（加1时，”取得最小值，且&一臀 因此，当点月到直线AB的距离最小时，AR4B的面积也最小,所以AR4B的面积的最小值为斗d1nm=、2后x与正=4-石.2 1 1 2 V25.（2021.河北衡水中学高三月考）参数方程x=4 cos。0.0（。为参数）表示的曲线是 y=3smA.以（土a,0）为焦点的椭圆B.以（4,0）为焦点的椭圆C.D.离心率为五的椭圆53 离心率为g的椭圆【答案】A2 2 _ _【解析】将参数方程化为普通方程得土+匕=i,易知c=k=币，故其焦点坐标为 16 9（土a,o）,故选 a.66.（2022 山西阳泉期中）设点P对应的复数为-3-3i,以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点尸的极坐标为（）A.B.C.申【答案】B【解析】二点P对应的复数为-3-3则点P的直角坐标为（-3,-3）,点尸到原点的距离S TT一3日且点P第三象限的平分线上，故极角等于彳，故点尸的极坐标为 51.故选B.x=4 sin oc7.（2022 河南南阳联考）在直角坐标系宣制中，曲线M的参数方程为 2（。为y=cos a参数），则曲线M的普通方程为.【答案】x+4y-4=0（0 x 3的解集；4（2）若0。-【解析】当 4=3 时，f（x）=|3x+l|+|3x-l|=-因此，/（九）3等价转化为以下三个不等式组:r 1 f i i解 3得X-不，解得，无解3-3二恒成立，求。的最小值.7，1ox,X 3 1 f 1 1、1 3 2 3 6x 3V 1,解 3 得x7，-6x 3 2 3所以不等式/3的解集为（-*-；）U（2）因 0vav3,贝lj/（x）=（2X+1+3x-l=3 一1、-5+）;/6 1（4+3）x,X a（6Z 3）x+2,x,显然a3 0,解得或,而0”3,即 1W3,则 amin=1,3 3a所以。的最小值是1.9.(2021.乌海市第一中学高三月考)设函数/(x)=|2x-l|,g(x)=|依+11.(1)求不等式X的解集;(2)若不等式/(x)+g(x).2x在区间g“上恒成立，求。的取值范围.【解析】(1)由八戏,1一x得，|2x 1区1 x,整理得，2(1 x)2x 1 1 x,解得，0 x 2x,即 2x-l+|or+l|2x,可得，辰+