高考数学一轮复习备用题第9单元不等式.pdf

第九单元不等式9.1 不等关系与不等式1.（2021 江西六校联考）有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是。，b,c,d,已知Q+Z?=c+d,a-d b-c,a-c b a c B.b c d aC.d b c a D.c a d b答案A解析,*a-b=c df a-d bAc,4+d+（a+Z?）万+。+（。+，即 ac.;.Z?d.又 a-cb,.,.b 0 c d,则下列不等式正确的是（）A.c2 cd B.a-c bd D.-0a b答案D角牟析 已矢口 a0c d,对各选项逐一判断：选项A：因为0c d,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得所以选项A错误.选项 B：取=2,人=1,。=一1,2=2,贝1一。=3,人一2=3,止匕时a-c-b-d，所以选项B错误.选项 C：取a=2,=1,c=-l,d=-2,则 ac=-2,bd=2,此时=所以选项 C 错误.cd c d选项D：因为0c d，所以cid bd ，即-0,所以选项Da b a b正确.故选D.3.（2021重庆四校联考）若丁=痴+J+7,。=+/五了5N 0）,则己。的大小关系是（）A.P Q D.的大小由的取值确定答案A解析 因为p2C=与=2a/q2+7q2，片+7。+12 o,所以pB.当。二万时，Ai,Bi,Ci,Di四点重合C.(a-b)2(a-b)2答案C解析对于A,由题图可知正方形A5CD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有（a+b）2%ab,故 A 正确；对于B,正方形A/C01的面积为（年为2,当斫人时，正方形AIiG5的面积为，Ai,Bi,Ci,d四点重合，故B正确；对于C,结合图象正方形AiSGDi的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此C选项错误.对于D,结合图形可知（q+Z?）2（q_a）2,且当时Al,Bl,Cl,四点重合，故D正确；故选C.c d5.（2021.湖北重点中学联考）已知三个不等式：ab 0；一 bead,则以 a b其中两个命题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案D解析：由于次?0,在。c ad两边同除以，得，4,故=成立；a bc d由于ab0,在一 的两边同乘以q/?,得be ad,故二成立；a b由一0,结合得分母次?0,故0成立.a b ab综上所述，以其中两个作条件，余下的一个作结论，可组成3个真命题.故选D.6.已知“，为实数且。人0,则下列所给4个不等式中一定成立的序号是（）-2022人2022a-1 b-1 a+2 2G+2扬 +7-a b a+bA.B.C.D.答案C解析 由aZ?0取。=2,b=,可得，=L =2,错,2 a-b-1由 a Z?0可得。2022 b-2022,由指数函数单调性可得2022,一222 2O22-2022，对；由基本不等式可得a+122&，b+lN2&，又aZ?0,等号不同时成立，6/+/?+2 2/+2/,对，(6z+Z7)(-+-)=1+-+-+12+2=4,当且仅当a=b时等号成立，又a b 0,a b a b7 1 1 1 1 4(q+b)(I)4,I-，对.a b a b a+b故选C.7.(2021 中山高三模拟)已知实数 a,b,c 满足 Z?+c=64q+3q2,cZ?=44+2,则a,b,c的大小关系为()A.abc B.bcaC.bca D.bac答案A解析 cZ7=44q+q2=(q2)20,.*./?,又 Z?+c=64q+3 2,cb=44a+a1,1 3(a)2+0两式相减得 2。=2+2。2 即8=1+2,:.ba=a2-1a=2 4b a,故选 A.8.(2021 株洲高三模拟)若 b c l,贝l j()b(-/1 a cA.C C.ca il og z,a答案Ah解析 对于A,贝！J。，故正确.对于 B,若贝U bc-ab bcac,即 a(cb)Q,这与 0a c l 矛盾，故错误.对于 C,V0al,.*.a1 c ,*.cax bax,故错误.对于 D,V0a c l,l o gc6Z解析 因为 5/+/+2 4 2=(2 切2+(。iy+i,又(2a 32 三 o,(,1)2 0,所以 54+/+2 4 2q0,所以54+/+2 4cib+2a，故答案为：.10.根据条件求范围.(1)已知一1%4,23,则y的取值范围是.(2)l x+y4,2%j 3,则 3 x+2y 的取值范围是a(3)已知38,469,则的取值范围是.3 23 1(-,2)答案(1)(4,2)(2)2 2.(3)3解析(1)*.*1x4,2j3,3y2,4xy2.fm+n=3,m=r(2)设 3 x+2y=机(x+y)+(xy),则Imh=2,1一即 3 x+2y=|(x+y)+g(xy),X V l x+y4,2xy3,5 5 1 3 3 5 1 23 3 23-15(x+y)10,l/(xy),_(x+y)+(xy)g,即一3 x+2y/-,3 733 x+2y的取值范围为 2 2.Il l 一 1 a 1 曰(3)V4Z?9,又 3 a8,/.g X3 X8,即g 分，所以 j+i+G G+G 2G，即/1 r=2赤.7匕+17n故答案为：/1/2亚5+17n12已知：3a+b4,0b1,求下列各式的取值范围.(1)4；(2)ab；(3)f.b【解析】(1)3 q+Z?4,又0/1,：.-lb0,2。+b+(一为4,即2。4.：.-lbQ,又.2。4,lab4.(3)VQb 1,又2 02由此可知，第二种购物方式比较划算.14.(2021.杭州四校联考)现有A,B,C,。四个盛满水的长方体容器，A,5的底面积均为 层，高分别为b,C,。的底面积均为按，高分别为。，b(4孙).现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有无必胜的把握？若有的话，有几种方案？【解析】(1)若先取4 B,后者只能取。、D,则有(3+2/3炉+。3)=42(十份_62(+6)=(+6)2(_6),显然(+b)20,而，Z?的大小不定,即(4+为2(年份正负不确定，所以这种取法没有必胜的把握；(2)若先取A、C,后者只能取5、D,则有(3+b2)-32+刀3尸(2+匕2)_优层+按)=(2+万2)(_3,显然。2+抉0,而Q,人的大小不定，即(层+按乂6)正负不确定，所以这种取法没有必胜的把握；(3)若先取A、D,后者只能取5、C,则有(+b(a2b+ab2)=(a+b)(c-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a-b)29又 4孙，a Q,b 0,必有(+Z?)(4-Z?)2o,即苏+加2/,所以先取A、。是唯一必胜的方案，综上，先取入、。是必胜的方案，一种.9.2 一元二次不等式及其解法1.已知集合 A=x|%2%20,B=x|x2+3 x0,则 ACI5 等于()A.(0,2)B.(-1,0)C.(-3,2)D.(-1,3)答案B解析 A=xlx2,B=x|3 x02.若OV：或xV j C.，或j D.x j答案D(x-t)(x-)0 111解析 原不等式可化为 t,01,叶，原不等式的解集为1故选D.3.已知不等式一始+4史排3。在r上有解，则实数。的取值范围为()A.(2|1(24 B.a aAC.。|介4 或无一1 D.6i|41答案A解析 由题意知，原不等式可化为一(%2)2+4Nq23。在R上有解，.序一3。34,即(。一4)(。+1)0,一1S店4.故选A.4.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定 按销售收入的仅征收木材税，这样每年的木材销售量减少上万立方米.为了既减少木材消 耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是()A.t lt3 B.t 3t5C.t 2t4 D.t 4t0,解析由 c 一八解得一1X0,6.若0,Z?0,则不等式一。；的解集为（）C.小-力或际Dj x7x00 x-b a答案A解析原不等式可化为%0,IX故不等式的解集为卜卜一器或马1.故选A.X，x 67.不等式 0的解集为()x 1A.x|x3 B,x|x 2 或 l x3 C.x|2x3 D.x|2x 1 或 l x0o(x+2)(x_ 1)(x_ 3)O,由数轴标根法，得-2x3.故选C.8.若不等式好+改一20在区间1,5上有解，则。的取值范围是（）C.（1,+o o）D（-8,-y答案A解析 由/=层+80知方程恒有两个不等实根，又因为x i%2=20,/一23 Xi/解得 一年.故选A.9.设函数/（%）=rwc2-mx-l,若对于任意的x ex|l%3,/（%）一机+4恒成立,则实数机的取值范围为（）A.m B.0m C.根0或。根*D.m07 7 7答案A 解析 若对于任意的工x|l Vx 3,/(x)加+4恒成立，即可知：mx2 rwc+m 5g(x)=mx2-rwc+m-5,对称轴为4=.当m=0时，50恒成立；当机0时，有g(x)开口向下且在1,3上单调递减，上在1,3上g(x)max=g二根5。，得m5,故有机0时，有g(%)开口向上且在1,3上单调递增，上在1,3上g(x Lx=g(3)=7加-50,0小:；综上，实数加的取值范围为加的解集为(_3,1),则不等式ax2+x-3 0f两边乘上,可转化为x+-30,所以31是关于X的方程X2+以一3二的两根，可得_ 3+l=a,解得a=2,3故所求不等式为2%2+叱30,即(2%+3乂1)0,解得-，%2的解集为答案 x|l x。，即=。,即E。，即(X1)。一4)0,解得144,原不等式的解集为31%0,、i c 63.gl=x2xl+，一 44+4o12.不等式N+8y2之(%+丁)对于任意的羽yR恒成立，则实数力的取值范围为答案一8夕“解析 因为x2+8y2y(x+y)对于任意的光，yR恒成立，所以x2+8y2Ay(x+y)0对于任意的x,yR恒成立，即/一加+(8丸2川恒成立，由二次不等式的性质可得，J=Ay+4(A-8)y2=y2(A2+4A-3 2)0对一切x R恒成立，则实数a的取值范围是.A、(9+)答案 42*1/1 xx/1 x z 1 xxa-=(-)-(-)(一)=%解析不等式可变形为，下 2 4,令2,则o.y=(!)x-(!)x-仕-彳+:2 4 2 4因此当t=/时，y取最大值不故实数a的取值范围是a；.x|x o的解集是 2,对于系数b,c,有下列结论：。0；b 0；c 0;q+Z?+c0；qZ?+c0.其中正确结论的序号是.答案x-xo的解集为 2 知。0,c 1 I)1*.*-=tx2=10,；.b0.a/ci nx|x 2 x|x 2*.*2,.*.6z+Z?+c 0,故正确.15.函数f(x)=x?+2x,若f(x)a在区间1,3 上满足：恒有解，则a的取值范围为；恒成立，则a的取值范围为.答案a15aa在区间1,3 上恒有解，等价于af(x)max,又 f(x)=x?+2x 且 x 1,3,当 X=3 时，f(x)max=15,故a的取值范围为aa在区间1,3 上恒成立，等价于af(x)min，又 f(x)=x?+2x 且 x l,3,当 X=1 时，f(x)min=3,故a的取值范围为a0的解集为布%0的解集；(2)解关于的不等式双 J一相。(qrR,且a0的解集为忖%2,则m0,且，2是方程初小+3 2=0的两个根，c 3+2=(1m m=-l于是得。，解得0化为：x2 x+2 0 即(x 二)+：0T旦成立，2 4所以不等式nx?+mx+2 0的解集为R;(2)由(I)知关于1的不等式依2 _(+)X_根0化为：ax2 _(+)+0,即(o v-l)(x-l)0,而0,解得x vl,当q0时，原不等式化为：(x)(%1)。，而!01,解得a a a所以，当=0时，原不等式的解集为卜|%1,当，0时，原不等式的解集为1无,%.a17.已知八%)=2?+云+的 不等式x)0 若不等式组)32恒成立，求彳的取值范围.解 因为不等式人元)0 J 2x2-10 x0不等式组/(x+左)。，即12%+2kx 10(x+左)0 角牟得f0或工：5，上%5女,因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6,可得65后7,解得一2女1,所以人的取值范围是-2,-1).(2)/(x)2,即*21210元)/2,即 tx25tx10,当t=0时显然成立，当介0时，有10,t5t 10,l-.o/O 以 所 1-0/1-4/15/11 100,10,即当t0时，函数)=比25比一1在上单调递增,所以只要其最大值满足条件即可，所以%5%ISO,解得仑一(，即一；30,综上，彳的取值范围是一fx24x+3 018.已知不等式组，,八八的解集是不等式2x2-9x+a0的解集的子集，求实数a t x2-6x+80的取值范围.解析不等式组X24x+3 0X26x+80的解集为(2,3),9令g(x)=2x?9x+a,其对称轴为x=a，只需 g(3)=9+aSO,.*.a9.19.已知函数/(x)=qY+(1一)工一2一2,其中。为常数.(1)若对任意的XR,/4+x)=/(1 X),求/(x)0的解集；4 4(2)对于任意的x wR都有不等式-2q/(x)成立，求。的取值范围.解析(1)对任意的工11,/；+:)=/；一%，所以尤)关于 丫_4+4一”_1 对称，所以F=解得。=2,f(x2x2-x-6,X=-2=4 2a 43由/(x)0,得2d%60,解得大%2,所以/(%)0的解集为 2j x|x.(2)对于任意的x wR都有不等式工一2%2+(1一)入一2一2成立,即o x?一数一2 V。对于任意的都成立，=0时，240成立；Q 0时，加一狈一2 V0对于任意的x wR都成立，则有、2(-q)+8qV0解得 一8 a v 0,综上，。的取值范围为8a0.20.若不等式一x2+2x+3 Sa23 a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.解析原不等式可化为x22x+a23 a3沙，该不等式对任意实数x恒成立，.ASO,即 44(a23 a3)0,解得aS1或它4,实数a的取值范围是 a|a&1或a4.21.已知关于x的不等式2xl m(x2l).若对于m2,2不等式恒成立，求实数x的取值范围;(2)若对于x(2,+00)不等式恒成立，求m的取值范围.解析(1)设 f(m)=(x2l)m(2x1),当 m2,2时，f(m)0 恒成立.而f(m)在m2,2时表示线段，当且仅当ff(2)0,j 2x2-2x-l 0,f(-2)0H-2x2-2x+3 0.,Ggl一吏 1+馅由得2x,1S 一 一 1+市由得 x-2_,加一隹,日一+币 1+馅 取父集得 一x2,所以mJ22t3 4t 4设 2xl=t(t 3),x21=-7-，所以 m3-l+2=4所以g(t)0,所以m01.y2 122.已知二次函数/(X)=幺2+陵+。，对一切实数1,不等式土恒成立,且/(x 4)=/(2、)，求函数的解析式.卜 解析：由/(X4)=2 X)知函数对称轴为1=五二1,:.b-2a,又.1K/(I)1,/./(I)=1,即 f(T)=a+b+c=l.c-l-3a.Xx0,a 0A=(2a-1)2-4a(l-3)=444a+l-4a+122=(4-40,一排.4 2 423.已知函数/(x)=%2+如一1.(1)若对于任意的元加，m+1,都有/(%)VO成立，求实数机的取值范围;(2)如果关于兄的不等式/(V相有解，求实数机的取值范围；4(3)若对于任意的机金口，2,/(x)V0恒成立，求实数x的取值范围。解析：(1)由题意可得：f(m)=2m2-KO 0y(m+l)=2m2+3 m0?寸一2 m(x)=一-L求得机二-4,或心-1,即实数m的取值范围为相阶3-4,或加之-1.(3)令g O)=x加+%2_g(l)=x2+x-l 0r r 不上-g=/+2X-1 0则由题意可得：S,)，-1-75-1+75-x-2 2./解得|-1-0 x-1+0,可得 2 1+2 x I x 2即实数x的取值范围为 J24.已知关于%的不等式6jx2+Z?x+c0的解集为x2x3,求关于x的不等式c x2+/?x+Q的解集B的交集.解析 由不等式ax2+bx+c 0的解集为x 2x3可知。0,且2和3是方程ax+bx+c=O的两根，由根与系数的关系可知名=一5,=6.由 aQ 知 c 0,-=故不等式 cx2+bx+a 0,即兄21+0,解得 或 x,c c o o 3 2所以 A=x,或j.故不等式 cx1bx+a Q,即兄2一+曰0,即 x2+x+0.解得一：%一；,C C O O 2 3所以 b=L|jAcB=X x 2 3所以 N DJ9.3简单的线性规划问题x-y+l0解析 将点(0,0)代入xy+io不成立，则点(0,0)不在不等式1y+io所表示的平 面区域内，将点(0,0)代入x+y 32。不成立，则点(0,0)不在不等式x+y 320所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除AC；x y+l 02.将不等式组 八，表示的平面区域记为尸，则属于尸的点是()x+y o解析：将点(U)代入方程组得20，故不在区域尸内，/、f-i0将点(L1)代入方程组得_20将点（L-l）代入方程组得八一八，故不在区域尸内.0=0故选C.3.如图，表示图中阴影部分所示平面区域（包括边界）的不等式组是（）2a-3v-6=0 x 2 f 3.v-12=03x+2v-6=02x+3 y-12 0 2x-3 y-6 02x+3 y-12 0 3 x+2y-602x+3 y-120 2x-3 y-6 02x+3 y-120 2x-3 y-6 0 3 x+2y-60,同理可得2x 3 y 6V0,2%+3 y-12 0 x-2y+4 04.已知点儿y满足约束条件”24 0，则z=3 x+y的最大值与最小值之差为答案Cx+y-2 0解析 作出约束条件X 2y+42。表示的平面区域,x-2 0已知羽丁满足X 2y 4 V。,如果目标函数 2x y 2 2 0_ y+iZ-x-m的取值范围为0,2),则实数m的取值范围为()A.0,2 B.(-00,2 C.(-00,2)答案Cx+y-l 0解析 作出-2y-4V。表示的可行域，如图中阴影部分所示.2%y 2 2 0D.(-o o,0目标函数Z二上士L的几何意义为可行域内的点(x,y)与A(九-1)连线的斜率.x-mx+y-l=0 x-2y-4=0，即 5(2,-1).得x=2 T由题意知m=2不符合题意，故点A与点8不重合，因而当连接AB时，斜率取到最小值0.由y=-1与2x-y-2=0得交点在点A由点。向左移动的过程中，可行域内的点与点A连线的斜率小于2,而目标函数的取值范围满足z 0,2),则故选C.2x-y+206.（2021.全国高三模拟）若实数%）满足不等式组x-5y+10V0,且必;+y+120恒成 x+y-8 0,y 0,所以当x=0时，y+120恒成立；当x 0时，则。2巴恒成立，即一而-区 表示可行域内的点（,y）与（0,-1）所形成的直线的斜率的相反数，X因此当直线经过点A（5,3）时，巴最大，止匕时四=所以之 故选A.x 5 5 5x+y-3 06.（2021.重庆高三模拟）已知变量羽满足x-y-540则下列说法正确的是（）x-2y+6 0A.3 y x的最大值为17B.使得2y-x取最小值的最优解有无数组C.|x 2y 4的最小值为2D.若当且仅当x=4,y=-1时+今取得最小值，贝 答案Ax+y-3 0详解 作出不等式组卜-y-5 0。表示的平面区域，如图中阴影三角形A5C,x-2y+6 0对于A,令z=3 y-x,即=+2,表示斜率为1,纵截距为12的平行直线系,3 3 3 3画直线/0:y=g x,平移直线/。，使其过点A的直线纵截距最大，z最大，由Vx y 5 07；+6二。得点Ad W一6 A正确;对于B,C,令w=2y%,即丁=工1+工.，表示斜率为工，纵截距为的平行直线 2 2 2 2系，画直线/：)=；,平移直线小 使其过点5的直线纵截距最小，w最小，x+y 3=0由 u 八得点5(4,1),%n=2(1)4=6,x-y-5-0所以使得2y-x取最小值的最优解为(4,-1),只有一个，B不正确;而直线 与直线x-2y+6=0平行，则与直线x-2y+6=0重合的直线纵截距最大，w最 大，Wmax=6，又,一2y一4|二|2丁一1+4|二|叩+4|,而一6VwV6，即2Vw+4Vl。，则 0V|w+4 区 10,|x2y 而=。，C 不正确；对于D,令=0时显然不成立，此时y=-x，表示斜率为，a a a纵截距为,1的平行直线系，a，0时，纵截距L方最大/最小，直线y=-向上移可成立，而点5(4,-1)是区域最下 a a方点，从而在x=4,y=-1时x+ay不能取得最小值，0,纵截距L方最小看最小，=1,直线y=与过点5(4,1)且与直线x+y 3=0 a a重合，+世在(4,-1)可取最小值，但最优解有无数个,0=-%使其过点C(0,3)时的直线纵截距最小，不符合要求，a时，平移直线丁=-工工使其过点5(4,-1)时的直线纵截距最小，如图中直线05,a=4,当且仅当=4=1时+4丁取得最小值0,所以当且仅当x=4,y=-1时+做取得最小值，则al,即D不正确.故选A.7.作为个人卫生防护的“第一道防线，佩戴符合防疫标准的口罩十分重要。随着疫情在全球 的蔓延，口罩的需求量爆发式增长。中国是世界最大的口罩生产和出口国，年产量占全球约 50%o作为负责任的大国，截止到2021年9月，中国已向近200个国家提供抗疫援助，出 口口罩数千亿只，极大的支援了全球抗疫，展现了中国担当，同时也促进了自身经济发展。现某口罩厂主要制作两种口罩：N95 口罩和N90 口罩。已知制作一只N95 口罩需要2张熔 喷布和2张针刺棉，制作一只N90 口罩需要3张熔喷布和1张针刺棉，现口罩厂有35(百 万)张熔喷布和19(百万)张针刺棉，且一只N95 口罩有4元利润，一只N90 口罩有3元 利润，为了获得最大利润，那么小明应该制作()A.5百万只N95 口罩，8百万只N90 口罩 B.6百万只N95 口罩，6百万只N90 口罩 C.7百万只N95 口罩，6百万只N90 口罩 D.6百万只N95 口罩，7百万只N90 口罩答案D 解析 设制作无只N95 口罩，y只N90 口罩，根据题意有x e N,y e N 2x+3 y 35,2x+y 08.(2021.全国高三模拟)已知实数x,y满足约束条件 2x+y+2 2 0,6x+y-6 0解析如图所示，约束条件2x+y+220,6x+y-60,9.若实数x,y满足不等式组卜-y+12。，且目标函数z=g;-2y的最大值为6,则实数 x 0),的值是_答案2解析作出可行域如图所示.7 7因为 y=5%-5(。)，Q 7所以当直线y=经过点A时，z取得最大值.x-a由 I八解得点A（。/），所以2max 2（1）=6,解得1=2或。=-4（舍x+y-l=O,去）.2x+y-6010.（2021.江西上高二中月考）设实数x,y满足约束条件0则2y2；孙的最小值是.答案8解析：作出不等式组对应的平面区域，上=）的几何意义为区域内的点到原点的斜率，x2x+y-6-0由图象可知，Q4的斜率最大，由.,八得A（2,2）,x+2y6=0 x y+2，011.已知x,y满足约束条件 x+y 4 2。.2x-y-5 0(1)若z=-如+y取得最小值的最优解有无数多个，求机的值;(2)求2=2的取值范围；(3)求2=%2+y2的取值范围.解析：作出可行域如图所示，由图可得43,1),5(7,9),C(l,3).(1)y=mx+z,若相 0,则根=2；若根 0,则根=1,故根=一1或2.(2)2=上=2二9表示可行域内的点(羽y)与(0,0)的 x x-0连线的斜率，由图可得自a V 2 Ve,又 k()A=9 左o c=3,V 2 V 3.(3)2=Y+丁=(%_ 0)2+(y _ 0)2表示可行域内的点(羽,)到 0)的距离的平方,由图可得2nlin=0+0-4?2max=l 05|2=13 0,=8，.,.8z0,且b0,若2a+b=4,则工的最小值为（）auA.B.4 C.g D.2答案C解析.4=2a+b/，而，.*.ab2,当且仅当a=l,b=2时取等号.故选C2.若x 2yjx2-+x)(0=4,当且仅当 x=-1 时取等号.故 选D.3.（2021.沧州联考）几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西 方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实 现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点。在直径A5上，且。尸，A5,设BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）Id iA12 31 ab（a 3 b 0）B.4+b2 2yab(a 0,Z?0)2ab IC.+万封aZ?(a0,/?O)a+bD 2:-2(q0,Z?0)y答案D 解析 由AC=m BC=b,可得圆。的半径厂=中,a+b a-b n,_ _.(万)2,(+b)2 a2+Z?2又 OC=OBBC=b=F，则 FC2=OC2+O7=+再根据题图知尸OSFC,即审Wq2+/?2匕一，当且仅当时取等号.故选D.4.（2021.重庆）若 l o g 4（3 a+4b）=l o g 2M，则 a+b 的最小值是（）A.6+23 B.7+273C.6+43 D.7+45答案D解析 方法一：因为 l o g 4（3 a+4b尸 l o g z/S,所以 Io g 4（3 a+4b）=l o g 4（ab）,3 a+4b0,4 3即 3 a+4b=ab,且J 即 a0,b0,所以一+=l（a0,b0）,ab0,a b、a+b=（a+b）G+3）=7+g+衿+2=7+4/，当且仅当支=手时取等号,故选D.方法二：V3 a+4b0,ab0,Aa0,b0,Io g 4（3 a+4b）=l o g 4（ab）.*.3 a+4b=ab,a4,V l o g 4（3 a+4b）=l o g 2Vab,40,b0,.b。,.*.a4,贝lj a+b=a 43 a a4,3（a-4）+12 a+-:-a+3 112 a4=（a-4）+72（a-4）（、+7=附+7，当且仅当 a=4+2仍时取等号.故选D.5.（2021.辽宁葫芦岛模拟）在A5C中，点。满足2丽=无，过点尸的直线与AB,AC所在的直线分别交于点，N，若人而=x!B，旃=恁（40,0）,则2x+y的最小值为（）A.3 B.3亚 C.1 口.g答案A解析由题设，如下图示:Z丽+哈通+冬丽+若叫孚+华又加4V=yAC（x 0,y0）,Q=婴+等由“N三点共线,有小“，c、/2 1、5 2x 2y、5 c.2x+（2x+y）（-+-）=-+-+-+2 3,当且仅当x=y时等 3y 3x号成立.故选A.6.设自变量X对应的因变量为y,在满足对任意的心不等式产都成立的所有常数加中，1 2将M的最小值叫做y的上确界.若。，人为正实数，且。+b=1,则一或一例上确界为（）9 9 1A.B.2 C.1 D.4答案A解析 因为Q，8为正实数，且+人=1,所以界於足+苏。+力=升 信+轮1+2/55=3，1 2 1 2 9当且仅当8=2。，即。=a，8=可时，等号成立，因此有一不；一第一不，3 3 2abz1 2 Q即一士2的上确界为一W故选人.Za b 27.（2021.广州天河模拟）已知x,ye（0,+s）,23=,则xy的最大值为（）9 3 9A.2 B.q C.t D.to Z 4答案B解析 Vx,ye（0,+s）,且 2*3=&=22y,.*.x3=2y,BP x+2y=3,xy=|x.（2y）七x（x2y）=|,当且仅当x=2y=|时等号成立，Q二xy的最大值为g.故选B.8.已知函数f（x）=3 x+Y（a0）的最小值为5,贝ij a=.答案9解析 f（x）=3x+l+-l 2V-l=5,.*.a=9,经检验，当 3*=2 时等号成立.Y I 1 Qv I 29.已知x T,则的最小值为 答案16解析x+1 0 x+2 x+l+9x+l+l x+l2+10 x+l+9,9,Fl-=一百1=一币=（、+1）+干+1。,1,Q Q+10,.,.（兄+1）+=7+10之2、田+10=16.当且仅当x+l=,即x=2时，等号成立.-I-A-I-JL10.若实数x,y满足孙+3 x=3（0 xg,则:的最小值为答案8角窣析,实数x,y满足q+3x=3（0 x）,3 3 1X=Zp，*0+33.3 1 1 1 2 4一3).则1+=什3+三=厂3+m+6琥1y 3+6=8,3当且仅当y=4,x=，时，等号成立.11.已知a,b是正数，且(+)(q+2Z?)+/?=9,则3+4。的最小值等于答案6V2-1解析a,人是正数，且(+人)(+2。)+/7=9,即(。+份(+2。+1)=9,即(2+2。)(+2。+1)=18,可得 3a+4b+l=(2a+2b)+(a+2b+l)2yl(2a+2b)(a+2b+l)=6W，当且仅当2q+2A=+2Z;+1,即q=1,万=时，等号成立，即3 a+4。的最小值为6/21.12.（2021.江苏淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑波拿马最早提出的一个几 何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”.在448。中，NA=120。，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为若。1。23的面积为若，则ABC的周长的取值范围为所以等边4。1。2。3 的面积为邑g q q=；sin60J|aQF=x；（x+y）2=*（x+y）2=75,解得(x+y)2=12,所以x+y=26；在a4BC中，由NB4C=120。，所以BC=yjx2+y2-2jcos120o=/x2+y2=/(x+y)2-xy=y/1 2-xy,所以A5C的周长为/=+y+J12孙=2拓+J12-町,又(x+y)2=x2+y2+2xy=1 2,Mx2+y2.2xy,所以4个,，12,解得3,当且仅当x=y=石时取“=”；又 x 0,J 0,所以。0,b0,且ab=l,则孤+五+吊的最小值为解析 Va0,b0,.*.a+b0,又 ab=l,I*8 _ a+b 8 _ a+b 8/a+b 8 2a 2b a+b 2ab a+b 2 a+b 2 Xa+b 当且仅当a+b=4时取等号，结合ab=l,解得a=2一审，b=2+M,或a=2+4,b=2一小时，等号成立.15.(1)设x0,y0,且(xl)(y1巨2,则xy的取值范围为.(2)设x,y为实数，若4x?+y2+xy=l,则2x+y的最大值是.【解析】(1)(X l)(y l)=xy(x+y)+l 2,即 xy2/+l N2,.*./xy/2+l,.xy 3+2 2,2(2)V4x2+y2+xy=l,(2x+y)2=3 xy+1=|x 2xy+l|x Xj+1,当且仅当 2x=y时取等号，(2x+y)2|,.J(2x+y)max=曹.入 4 4一皿 16x228x+11,t,.16.已知xt,求函数y=的取小值.5 4x5t+5 4 Q t 2+3 t+l 1解析设 4x5=3 贝鼠=宁.Vx|,At 0.8(0在(一8,一|上为增函数.ymax=|一|+3=|.17.(1)在下列条件下，求y=4x2+土芋的最值.当x时，求最小值；当时，求最大值；当xN2时，求最小值.3设0 x7，*,*4x50.y=4x2+A-=4x5+A _+3 2+3=5.4 J 4x-5 4x5i 3 3当且仅当4x5=4x5,即x=1时上式“=”成立.故当x=时，ymin=5.Vx0.y=4x2+=(54x+)+3 W2+3=1.当且仅当5 4x=1，即X=1时，上式“=”成立.故当X=1时，ymax=l.54x1 1 19当后2 时，y=4x2+4 _:为增函数,ymin=4x22+._=-7_.(2)y=4x(3-2x)=22x(3-2x)S2x+(:生一=|,当且仅当 2x=3 2x,即 x=3时,等号成立.因为品(0,0,所以函数y=4x(32x)o x0,y0,4 x+2y22d x2y.当且仅当 x=2y,BPx=2,时“=”成立.y=i2x-2y4,xy0,y0,.*.+22导1，/.xy3 2.方法一：x+2y=(x+2y)=10+|10+2、|+卜+2+4+计=2.当且仅当;=乎,方当且仅当|=；即x=16,时“=”成立.丫=2即泮5,当且仅当，-+-=1,y即x 16y-y=x，x=12,丫_3 时成立，故x+2y的最小值是18.Q 1 x x方法二(消元法)：由1+三=1,得y=，由y0=-=+0,又xO=x8,x y xo x-o2x 2(x8)+16则 x+2y=x+=x+一三一x+2+S=(x-8)+段+102(x8)+10=18,当且仅当x8=,即x=12(x=4舍去)，止匕时y=3,X o X o成立，故x+2y的最小值是18.19.(1)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求:ab的取值范围;a+b的取值范围.(2)已知xNO,y0,且x+y=l,则x?+y2的取值范围是？解析(1)ab=a+b+3 N2丽+3,令 1=丽0,.*.t2-2t-3 0,.e.(t-3)(t+l)0.G3即丽23,abN9,当且仅当a=b=3时取等号.ab的取值范围为9,+o o).:ab=a+b+3,.a+b+3 s(?j.t=a+b0,.*.t2-4t-120,.*.(t-6)(t+2)0.t 6即a+b6,当且仅当a=b=3时取等号.a+b的取值范围为6,+o o).(2)方法一：;*。，y0,且 x+y=l,.*.x2+y2=(x+y)22xy=12xyl 2|x+yI2.,1.1r i.,.x2+y2的取值范围是1方法二：由已知可得y=lX,代入x2+y2,x2+y2=x2+(l x)2=2x22x+1=2(x+；,x 0,1,当x=0或x=l时，取得最大值1,当x=f寸，取得最小值;，r i 1.x2+y2的取值范围是悖1.方法三：.xNO,y0,且 x+y=l,.*.x2+y2=(x+y)22xy=12xy-,从而 2r ix2+y2的取值范围是119.如图，在半径为3 0 c m的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A,B在直径上，点C,D在圆周上.怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积;解析 连接OC.设BC=x,矩形ABCD的面积为S.则 AB=2/900-x2,其中 0 x3 0.所以 S=2x/900 x2=2/x2(900 x2)0,b0,a+b=l,求证：鸿+奈8；(1+抓+加.证明湾+昌+(+喑=2(鸿),；a+b=l,a0,b0,.，+、=电+畤=2+1+与2+2=4,+!之8(当且仅当a=b=J时等号成立).aba b ba ab ab 2 y7(2)方法一：Va0,b0,a+b=l,1+=1+-=2+,同理 l+=2+=a a a d d(l+3(l+*(2+3(2+*5+2E+&5+4=9,.(1+)(1+标9(当且仅当 a=b=3时等号成立).方法二：11+扣+()=1+：+(+2,由知，：+(+*8(当且仅当尸b=g时取等号)，21.已知 0,b 0,且。+8=+4，求证：a+b 2.a b 一证明 由a 0,b Q,贝I+万=)+)=41力,ci b ab由于 q+Z?0,贝iJqZ?=1,BP a+b 2yab=2,当且仅当=Z?=1时，等号成立，所以十招2.单元检测九一选择题1.设A=r条其中。是正实数，且。处，5=一始+公一2,则A与5的大小关系是（）A.A B B.A BC.AB D.A2,