高考数学一轮复习新高考5.3A版专题9平面解析几何考点精析.pdf

专题九平面解析几何9.1 直线与圆基础篇考点清单 谭登考点史诵荃理高考/考易啰适单考点一直线的方程1.直线的倾斜角(1)对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按 期竺方向旋转到和直线重合时,所转的最小正角记为a,那么a就叫做直线的倾斜角.(2)规定:当直线I与%轴平行或重合时，它的倾斜角为0.(3)范围:直线的倾斜角。的取值范围是0,父).2.直线的斜率(1)定义:当直线/的倾斜角a片万时，其倾斜角a的正切 值t an a叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，则k=t an a.(2)范围:全体实数R.(3)斜率公式：经过两点尸1(%，),尸2(%2,%)(X%2)的 直线的斜率公式为 口.3.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式y=k x+bk是斜率，b是纵截距与轴不 垂直的直线点斜式y-y0=k(x-x0)(%o，y0)是直线上的已知点，A:是斜率两点式厂%_%-%y2-yi x2-xi(%1 声%2，关2)(%1,%),(*2，)是直线上 的两个已知点与两坐标轴 均不垂直的 直线截距式W a b。是直线的横截距，6是直线的纵截距不过原点且与 两坐标轴均不 垂直的直线一般式Ax+By+C=0(a2+bVo)c当8=0时，是直线的 A横截距所有直线当4声0,6声0时，-三，nc c分别为直线的斜A B率、横截距、纵截距注意(1)当直线与轴不垂直时，可设直线的方程为y二 k x+b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为k y+x+6=0.(2)特殊直线的方程，过P(孙,)且垂直于轴的直线方 程为；过尸1(衍,为)且垂直于y轴的直线方程为y二方.知识拓展常见的直线系方程(1)过定点P(%。,兀)的直线系方程：4()+B(厂兀)=0(4、刀不同时为0)，也可以表示为厂九二4(%-%0)和x=xQ；(2)平行于直线Ax+By+C=0(A2+B20O)的直线系方程：4%+By+Co=O(C 0Co)；(3)垂直于直线Ax+By+C=0(屋+笈声0)的直线系方程.B x-Ay+Co=O；(4)过两条已知直线/：4%+6+6;=0(4；+&片0)和/2：A2x+B2y+C2=0(4；+用声0)交点的直线系方程：4%+Hi y+G+A A2x+B2y+C2)=0(A e R,这个直线系不包括直线 l2：A2%+B2y+a=o,解题时,注意检验i2的方程是否满足题意，以防丢解).考点二圆的方程圆的方程名称方程圆心半径标准 方程(%-a)2+(y-6)2=r2(r0)(a,6)r一般方程x2+y2+D x+Ey+F=0()2+E2-4F0)-VD2+E2-4F 2温馨提示(1)方程(-0)2+(厂6)2=/中，若没有给出厂 0,则圆的半径为，实数r可以取负值.(2)36*S x2+y2+D x+Ey+F=0 中，若。?+炉-4歹=0,方程表示 点.?,-g);若加+E2-4F0),d为圆心(a,6)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.5年喜考3年模拟A版 高考数学3.与圆的切线有关的结论位置关系图形判断方法公共点个数代数法几何法相交d 0d r2相切忌4二0d=r1相离d r0(1)过圆x+y=r上一点P(%0,y0)的切线方程为xox+yoy 二；(2)过圆(%-)2+(广6)2=r2上一点产(0,%)的切线方程 为(0一。)(%-。)+(兀-6)(y-6)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点尸(0,兀)作圆的两条切线，切点 为4,4,则过4、4两点的直线方程为xox+yoy=r2；(4)过圆%2+/+D x+Ey+F=0(D2+1-4/0)夕卜一点 P(%0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长IPTI=/%；+/+为+电+凡4.直线与圆相交直线与圆相交时，若I为弦长,d为弦心距,r为半径，则有r2=d2+二，即1=2彳寸，求弦长或已知弦长求其他量时，一般用此公式.考点五 圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为”,两圆的半径分别为R,r(Rr)，则位置关系外离外切相交内切内含图形(汨8）电）位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210同&r的关系d R+rd=R+rR-rd R+rd=R-rd 0)，其中 a,b 是 定值是参数；(2)过直线Ax+By+C=0与圆/+/+D x+E y+F=0交点的圆 T：x2+y2+D x+Ey+F+X(Ax+By+C)=0(A e R)；(3)过圆：x2+y2+Dlx+Ely+F1=0 10 C2-x2+y2+D2x+E2y+F2=0 交点的圆系方程:%2+/+)1%+仪+歹1(X+y2+D2x+E2y+K)=o(入X-1)(该圆系不含圆。2,解题时，注意检验圆G是 否满足题意,以防漏解).2.两圆相交时，公共弦所在直线的方程设圆 Cx：x2+y2+Dlx+Ely+F1=0,0 C2-x2+y2+D2x+E2y+F2=o,若两圆相交，则有一条公共弦，两圆方程相减得(Q-2)%+(Ei/)y+K”2=o,即圆g与c2的公共弦所在直线的方程.知识拓展(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线 方程即为两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆 相交,如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一 定是两圆公共弦所在的直线方程.(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.(3)求公共弦长时,几何法比代数法简单且易求.O综合篇知靛希族知能拓展 深乳剖析史理内涵一会勺提升关绘靛力考法一求直线的倾斜角和斜率的倾斜角的取值范围是A.例 1 直线 2%co s a-厂 3=0(a e解析 直线2%cos a-y-3=0的斜率k=2c o s a,m、，叮叮 1“、，1 73-因为 a 金|,所以二-Wc o s a,L 6 3 J 2 2所以直线的斜率k=2co s a e 1,73.设直线的倾斜角为仇贝”有t an 1,71.又0,/)，所以夕即倾斜角的取值范围是3答案B方法总结 1.求倾斜角的取值范围(1)求出斜率人二t an a的取值范围(若斜率不存在,则倾斜 角为90。)；(2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角 a的取值范围.2.求斜率的常用方法(1)当倾斜角不是90。时,斜率4t an a；(2)经过两点。1(%1,%),02(%2,%)的直线的斜率为人二3%(九A(3)方程为4%+为+C=0(BX0)的直线的斜率为人工一弁；(4)依据方向向量求斜率，以=(机/)(机/0)为方向向量的直线的斜率人工；m(5)利用导数的几何意义求切线的斜率.考法二求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程：(1)经过点尸(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点4(-1,-3),倾斜角等于直线y=3%的倾斜角的 2倍；(3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5；(4)经过点5(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解析(1)设直线在%,y轴上的截距均为a,若a=0,则直线 过点(0,0)和(4,1),所以直线的方程为y=-x,即4y=0.若aN O,则设直线的方程为二+工二1,因为直线过点(4,1),所以色 a a a+工=1,所以0=5,所以直线的方程为%+厂5=0.综上可知，直线 a的方程为%-4y=0或x+y-5=0.(2)由已知设直线y=3%的倾斜角为a,则所求直线的倾斜2t an O L 3角 为 2a.因 为 t an a=3,所以 t an 2a=-=-.1-t an a 4又直线经过点4(-1,-3),因此所求直线方程为y+3二 3(%+1),即 3%+4y+15=0.(3)当斜率不存在时，直线方程为-5=0,满足题意.当斜率存在时，设斜率为七则直线方程为 厂105(%-5),110-5/r I 3即 日-尹10-54=0.根据题意有 二5.解得k=.4/.所求直线方程为3%-4y+25=0.综上，所求直线方程为%-5=0或3%-4y+25=0.(4)由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3,4)，所以由点斜式得厂4=(%-3).故所求直线的方程为x-y+1=0或%+厂7=0.方法总结1.求直线方程可分为两种类型:一是根据题目条 件选择相应的直线方程形式，写出方程,这是直接法;二是根据直线 在题目中所具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再 确定其中的参数值或待定系数，然后写出方程,这是间接法.2.求直线方程应注意的问题(1)选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用:选用点 斜式或斜截式时,需讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,需讨论直线是否过原点.(2)求直线方程时,如果没有特别要求,求出的方程应化为 一般式4%+为+C=0(4,B不同时为0).考法三对称问题例 3 已知直线/：2%-3y+l=0,点 2)，求：(1)点4关于直线I的对称点4的坐标；(2)直线加：3%-2厂6=0关于直线I的对称直线M的方程;(3)直线/关于点4(-1,-2)对称的直线的方程.解题导引(1)设4(%,y),由题意知44/及A4的中点 在直线/上，列关于,y的方程组求解.(2)直线机与直线/相 交，可求出交点坐标,在直线m上另取一点M,求M关于I的对 称点沙,犷在直线加上，由交点和点力即可求直线小的方程.(3)解法一:可以在/上取两个不同点求其关于点4的对 称点C,由与C 在直线上，可求/的方程解法二:在/上 任取一点尸(,y),利用相关点法求/的方程.解法三:易知17/1,可先设出的方程，求出直线/上的一点坐标，再求解.解析(1)设4,(*y),(2)在直线机上取一点，如M(2,0),则M(2,0)关于直线I的对称点必在/上.设M的对称点为，则专题九平面解析几何/巨a+2 6+02x-3x-+1=0,2 2解得46-0 2,-x=1,Q-2 3 6贝I M ,30 仁百6 30 答案B易知m与/不平行，设机与I的交点为7V,则由2%-3y+l=0,_,u3-2 6-0 得 N(4,3)必经过点 N(4,3),M6 3013由两点式得直线M的方程为9%-46y+102=0.(3)解法一：在直线I上取点8(1,1),C(4,3),则6,C关于点4(-1,-2)的对称点分别为9(-3,-5)和-5-(-7)2 20(-6,-7)C二;，=直线/的方程为 y+5=二(%+-3-(-6)3 33),即 2%3y9=0.解法二:设尸(%y)为/上任意一点，则产(,y)关于点4(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y),P在直线/上，.2(-2-%)-3(-4-y)+l=0,化简得2%-3厂9=0,.直线/的方程为2%-3厂9=0.解法三：/,.设/的方程为2%-3y+c=0,c声1.在直线I上取点6(1,1),则点6关于4(-1,-2)的对称点 为 B(3,-5),为在直线/上，-6+15+c=0,c=9,的方程为 2%-3y-9=0.方法总结常见对称问题的求解方法：(1)中心对称若点M(孙*)与N(肛y)关于P(q,6)对称，则由中点坐f%=2a-x,标公式得,y=2b-y.若直线关于直线外一点对称,则在已知直线上取一点,求 出其对称点,再利用两直线平行,斜率相等，由点斜式得到所求 直线方程.(2)轴对称点关于直线的对称若两点尸1(孙，力)与尸2(町,火)关于直线l：Ax+By+C=0对 称，则线段？的中点在对称轴/上，而且过点？，尸2的直线垂考法四求圆的方程例4(1)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.(2)圆心在直线%-2厂3=0上,且过点4(2,-3),6(-2,-5)的圆的方程为.(3)已知圆C的圆心在直线+y=0上，圆。与直线-0相切，且截直线,-厂3=0所得的弦长为布，则圆C的方程为解析(1)解法一：设圆的方程为/+/+)%+助+歹=0(。2+F=0,D=2,E2-4F0)，则 1+1+O+E+歹=0,解得 E=0,U+2D+F=0,F=0,故圆的方程为a;2+/-2%=0.解法二：可设 0(0,0),4(1,1),8(2,0),则七产1,却二1,所以k0A-L=T,即必从 所以045是以4为直角的直角三角形，则线段是所求圆的直径，因此圆心为线段4g的中点(1,0)，半径二；|。洌=1,直于对称轴/，由方程组A%1+%2 9 为+”a丁+5.丁+=0,可得至6点？故圆的方程为(%-1尸+/=1.(2)解法一：设点C为圆心，因为点C在直线-2y-3=0上,所以可设点。的坐标为(20+3,).又该圆经过4,6两点，所以 CA=CB,即/(2a+3-2)2+(a+3)2 /(2a+3+2)2+(a+5)2,解得 a=-2.所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=710,故所求圆的方程为(+l)2+(y+2)2=10.解法二:设所求圆的标准方程为(-0)2+(厂力)2=/,(2-a)2+(-3-6)2-t1,由题意得(-2-a)2+(-5-b)2=r2,解得 a=-l,b=-2,r2=、。-26-3=0,10,故所求圆的方程为(%+l)2+(y+2)2=10.解法三：设圆的一般方程为%2+y2+D x+Ey+F=0(D2+E2-4F5年喜考3年模拟A版(%-)二刀(孙-3)，关于/对称的点尸2的坐标(出,)(其中4声。,1声2)-直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情 况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.经典例题教师用书例(2018广东揭阳一模,3)若直线q：-3y+2=0与直线/2：mx-y+b=0关于轴对称，则m+b-AA，3B.-lC-,3D.l解析 直线I：x-3y+2=0关于轴对称的直线为%+3y+2=0.由题意知m0O.因为mxy+b 0,即x-I-0,且直线乙与12关于轴m m对称,0),则圆心坐标为一 j 2_E_-3=0,D”T,-T,由题意得一c L八 解得0=2,=4,b二-5.4+9+2D-3E+F=0,4+25-2D-5E+F=0,故所求圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0.(3)解法一:设所求圆的方程为(-a)2+(y-6)2=r2(r0),贝U圆心(0,力)至U直线%y3=0的匹巨离d=I a-b3I,叱:力、?，即2/二(叱“3)2+3.,/所求圆与直线-y=0相切,I a-b I高考数学/一。2所以有一二3,J 解得0)，则圆心为(,一-1),半径 r=D2+E2-4F,D E,/圆心在直线+y=0上，.-=0,即0+=0,又圆C与直线x-y=0相切，I D E-+2 2 1 口5/.J-=VD2+E2-4F,42 2(D-E)2=2(D2+E2-4F),/.D2+E2+2D E-8F=0.又知圆心(至汁直线-y-3=0的距离d-9+幺3一一，由已知得=产,(O+6)2+12=2(7/+V-4歹)，(D=-2,联立，解得=2,手二0,故所求圆的方程为“2+/_2%+2y=0.答案(1)a;2+j2-2%=0(%-1)2+y2=1)(2)(%+1)2+(y+2)2=0(或 x2+y2+2x+4y-5=0)(3)(%-l)2+(y+l)2=2(或 x2+y2-2x+2y=0)方法总结 1.选择方程的原则(1)已知条件多与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心 角、距离等有关，则设圆的标准方程为(%-。)2+。吊)2=/0)；(2)已知圆上的三个点的坐标时，设圆的一般方程为一+/+D x+Ey+F=0(D2+E2-4F0).2.求圆的方程的方法(1)待定系数法:根据题意，选择方程形式(标准方程或一 般方程)；根据条件列出关于。,右/或D,E,F的方程(组)；解出a,6,r或。，&%代入所选的方程中即可.(2)几何法:在求圆的方程过程中,常利用圆的一些性质或定 理直接求出圆心和半径,进而可写出标准方程.常用的几何性质 有:圆心在过切点且与切线垂直的直线上;圆心在任一弦的 中垂线上;两圆内切或外切时，切点与两圆圆心在一条直线上.经典例题教师用书例(2019北京清华附中高二期中，10)已知圆C的圆心在直 线%-厂0上，且圆C过点(2,2)并与直线+0相切,则圆C 的方程是.解析本题考查圆的方程的求法，考查学生分析问题与解 决问题的能力，体现数学运算的核心素养.因为圆心在直线x-y=0上，所以设圆心(a,a),又因为圆与直线+y=0相切，所以圆的半径为“十匚=万I a I,又由圆过 Vi2+i2点(2,2)得 V(a-2)2+(a-2)2=41 lai,解得 a=l,所以圆心为(1,1)，半 径为死,所以圆。的方程为(-1)2+(厂1)2=2.答案(A；-l)2+(y-l)2=2考法五两直线的位置关系例 1 已知直线 I1:a%+2y+6=0 l2：%+(a-1)y+a2-1=0.试判断/1与22是否平行；(2)当/J/2时，求的值.解析 解法一：(1)当a=1时，直线的方程为+2y+6=0,直线6的方程为%=0/1不平行于4；当a声1时，两条直线的方程可化为Zj：y=-x-3,/2：y=1 ,-%-(a+1),由 Z，2=2 l a 解得 a 二-1.1-a,-3 0-(a+1),综上可知，当a=-l时/乙，否则l i与k不平行.(2)当a=l时，直线/与12不垂直；当0片1时，两条直线的方程可化为l i：y=二J%-(a+l)，由/2 得-=-=-1，解得 a=-1-a 2 1-a 3解法二：(1)由 4避2142.=0,得 a(a-l)-lx 2=0；由 Ax C2-A2Cx WO,得 a(02-l)-1x6#0,因此/1，2=a(a-l)-1x2=0,a(a2-l)-1x600a2 a 2=0,a(a2-l)声 6-1.故当a=-l时否则h与，2不平行.2(2)由 A A2+B 0,得 a+2(a-1)0,故 a=方法总结位置关系的判断方法选择1.若给的是斜截式方程，则选择运用斜率k和截距b来判断；2.若给的是一般式方程,则用一般式方程Ax+By+C=0中的 系数4产来判断.经典例题教师用书例(2018广东江门4月模拟，3)已知三条直线，：4%+y=l,l2：x-y=O,/3：2%-畋=3,若I1关于12对称的直线与13垂直，则实 数m的值是()A.8 B.-C.8 D.2 2解析 易知直线乙：4%+y=1关于直线6：%-7二。对称的直 线方程为%+4y=1,又，3：2%-阳=3,故由题意得lx2+4x(-m)=0,.机二;，故选D.答案D考法六 直线和圆的位置关系例 2 已知点尸(在+1,2-万),M(3,1),圆 C：(%-l)2+(y-2)2=4.(1)求过点夕的圆。的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.解题导引专题九 平面解析几何/一。3(1)判断点P与圆 C的位置关系写出切线 方程5年高考3年模拟A版高考数学/一。4利用切线性质 求切线斜率(2)|判断点M与圆C的位置关系分类讨论切线的斜率 一写出切线方程，利用勾股定理求得切线长)解析 由题意得圆心为C(l,2),半径r=2.(1);(货+1 1)2+(2712)2=4,.点夕在圆 C 上.1又k pc=-=-1,.切线的斜率k=-=1.42+1-1 kpc：.过点尸的圆。的切线方程是一(2-/1)=%-(鱼+1),即 x-y+1-2/2=0.(2)v(3-1)2+(1-2)2=54,.点 M 在圆 C 外部.当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为%=3,即%-3=0.又点 C(l,2)至 U 直线%-3=0 的距离=3-1=2=r,/.直线%-3=0是圆的切线.当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=人(%-3),即k x-yI L-2+1-3k I+1-34=0,则圆心C到切线的距离d=.-=r=2,y/k1+13 3解得 A：=-./.切线方程为 y 1=7-(%-3),即 3%4y5=0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为%-3=0或3%-4y-5=0.M C=V(3-l)2+(l-2)2=75,/.过点M的圆。的切线长为VM C2-r2=754=1.方法总结 1.求过圆上一点(舞,为)的切线方程的方法若切线斜率存在且不为零，则先求切点和圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为-；，由点斜式可求切线方程;若切 k线斜率不存在或为零，则可直接写出直线的方程为二。或y二 九，检验该直线是不是切线.2.求过圆外一点(与,y0)的圆的切线方程的方法(1)几何法：当切线斜率存在时,设斜率为A;,则切线方程为 yy0=k(x-x0)，即丘-7+%-氐0=0,由圆心到切线的距离等于半 径列出关于A:的方程，解方程即可得到k的值，从而可得切线方 程;当切线斜率不存在时，可直接写出切线的方程为%二%(2)代数法：当切线斜率存在时，设斜率为七则切线方程为 y-y0=k(x-x0),即y二日一4%0+兀，代入圆的方程，得到一个关于 的一元二次方程，由=0求得人值,从而得到切线方程；当切线 斜率不存在时，可直接写出切线的方程为二%0.例3 已知以点4(-1,2)为圆心的圆与直线/：%+2y+7=0相切，过点6(-2,0)的动直线/与圆4相交于M,仅两点，。是 MN的中点.(1)求圆4的方程；(2)当IMN I 时，求直线/的方程.解题导引(1)由直线乙与圆4相切求出圆4的半径从 而求出圆4的方程.(2)当直线I的斜率不存在时，写出直线I的 方程,检验是否满足条件;当直线I的斜率存在时，设出直线I的 方程，由IMN I=2/=2，/一q|2=2 U及点到直线的距离公式，可求出直线I的斜率人从而得出I的方程.解析(1)设圆4的半径为r,因为圆4与直线乙：+2y+7=.I 1+4+71 z0相切，所以r=-=275,75所以圆4的方程为(+1厂+(厂2)2=20.(2)当直线I垂直于轴时，直线I的方程为%=-2,将二-2代入圆A的方程，得(-2+1/+(厂2)2=20,解得y 二2，14匕时1知1=2，15贝|%二 2符合题意.当直线/与轴不垂直时，设直线/的斜率为k,则直线I的方程为y=1(%+2),即k x-y+2k=0.连接4。，因为。是MTV的中点，所以4QLM/V,/M N 2所以(-I=/一%。12,又 m/VI=2=2后，所以 I4QI=720-19=1.IL-01 a即-二1,.(A：-2)2=+1.解得人二.VFh 43所以直线I的方程为j=-(a;+2),即3%-4y+6=0.综上，满足题意的直线I的方程为%=-2或3%-4y+6=0.方法总结 圆的弦长的求法:几何法:设圆的半径为J弦心距为“，弦长为/，贝I二产_/；代数法:设弦所在直线y=k x+b 与圆(优-a)2+(广6)2 二/(0)相交于 4(%,%),B(%2,(y=k x+b,%)两点，可列方程组:、2/、2 2消去y后得到一个(%-0)+(厂6)-T,关于%的一元二次方程，从而求得%+%2,%1%2，则弦长 44 二 U 1+M/(肛+出)2-4孙%2 经典例题教师用书例(2018河北衡水中学五调，13)设直线a%-y+3=0与圆(-11+(尸2=4相交于4,6两点，且弦长为2臣,则a的值是解析由题可知圆心为(1,2),半径r=2,圆心到直线q%-y+3=0的距离+如=”十工.由垂径定理和勾股定理可 V a2+1 V a2+1得，弦长U2彳，即2有=2也丫，.3=4-丫,V a+1 a+1即 a2+l=(a+l)2,解得 a=0.答案0考法七圆和圆的位置关系例 4 已知圆 G：%2+y2_2%+10y24=0 和圆 C2：x2+y2+2x+2广8=0,则两圆的公共弦长为.解题导引利用两圆方程求得 _解法一：公共弦所在直线的方程 一联立直线方程与任一圆的方 程求得两圆交点坐标-求弦长)解法二：利用两圆方程求得公共弦所在直线的方程上利用点到直线的距离公式求 任一圆的圆心到弦的距离利用/=2j产-出 得弦长易知两圆相交.联立两圆的方程得x2+y2-2x+10y-24=0/+/+2%+2厂 8=0,两式相减整理得-2+4=0,即为两圆公共弦所在直线的方程.解法一：设两圆相交于点4,6,则A,B两点的坐标满足方程组%-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-S=0,解得厂=二或匕？ly=O t y=2.所以 14*=7(0+4)2+(2-0)2=275,即公共弦长为2后.解法二：+户2%+10厂24=0 可化为(%-l)2+(y+5)2=50,则圆心坐标为(1,-5)，半径r=5.圆心至1直线2y+4=0的总巨离d=2(=3后，712+(-2)2设两圆的公共弦长为/,由/=/+(；)，得/=2/二2,(5万尸一(3后尸二2后，即两圆的公共弦长为2万.答案275经典例题教师用书例(2018河南郑州外国语中学3月调研，9)已知圆6：(%+2q)2+/=4 和圆 C2：x2+(y-b)2=1 只有一条公切线，若 a,b eR且质声0,则的最小值为()A.2 B.4 C.8 D.9解析 由题意可知，圆C的圆心为(-2a,0),半径为2,圆 C2的圆心为(0,6)，半径为1,因为两圆只有一条公切线，所以两 圆内切，所以/(-2a-0)2+(0-6)2=2 1,即 4a2+b2=.所以一+172 2 仁 d 4G之/P 4a2（4。+b）=5+/+正N 5+2J/正二9,当且仅当5%且，即。N W时等号成立，所 以的最小值为9.故选D.a b答案D。思路分析 由题意可得两圆内切，根据两圆的标准方程 求出圆心和半径，利用两圆内切的性质可得4a2+62=1,再利用“1”的代换及基本不等式即可求得的最小值.a b专题九平面解析几何S9.2椭圆及其性质基础篇用考点清单 i课登考点知谓机理高考/考般屯单5年高考3年模拟A版 高考数学/一。6考点一椭圆的定义及标准方程1.定义平面内与两个定点K、K的距离的和土上常数(大于 IKKI)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两 焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合语言:P=Ml IM l+IMK I-2a,2a FlF2 ,=2j其中acO,且a,c为常数.注意 若2a=l3I,则动点的轨迹是线段工工；若2a IKKI,则动点的轨迹不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆的标准方程为三 a+%=1(q60)；(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为匚 a=1(60).注意(1)焦点位置的判断焦点在光轴上Q标准方程中含/项的分母较大;焦点在y 轴上O标准方程中含/项的分母较大.(2)a2=62+c2,即 a 最大.3.焦点三角形(1)。是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,为椭 圆的两焦点，则=/t an g，其中4KPF2=e.(2)尸是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,为椭 圆的两焦点，则尸/K的周长为2(q+c).(3)过焦点F的弦AB与椭圆另一个焦点K构成的 AABF2的周长为4a.考点二椭圆的几何性质1.椭圆的方程与简单几何性质焦点在轴上焦点在y轴上标准方程2 2乂。)a b2+-l(a6 0)a o一般方程Ax2+By2=l(A0,B0,A B)图形B?y_y0约x4焦点坐标K(-jO),K(c,o)K(o,-c),k(o,c)续表焦点在轴上焦点在y轴上顶点坐标A/-a,0),A2(a,0)修(0,6),生(0,Q4(0,-a),4(。,a)B1(-6,0),B2(6,0)范围1 x 1 Wa,lyl Wb1%1 b,y Wa长轴长AA21=2a短轴长B,B2=2b焦距FlF2=2c离心率e=之=e越接近于1,椭圆越扁；e越接近于0,椭圆越圆2.常用结论(1)设尸,41是中心在原点的椭圆上不同的三点，其中4,B 两点关于原点对称,且直线PA、PB的斜率都存在，则kPA kPB=_r*a注意 适用于焦点在轴上，当焦点在父轴上时，直线尸4与PB的斜率之积为定值-b(2)尸是椭圆上一点，耳为椭圆的焦点，则I尸砌e a-c,a+c,即椭圆上的点到焦点距离的最大值为Q+c,最小值为a”.(3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径 a是最短的焦点弦.考点三直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系的判断把椭圆方程=+=1(乂0)与直线方程y二城+为联立消去y,整理成Ax2+Bx+C=0(A0)的形式，则:A=B2-4AC直线与椭圆的位置关系A 0直线与椭圆相交,有两个公共点 二 0直线与椭圆相切，有一个公共点d 0直线与椭圆相离，无公共点知识拓展 点与椭圆的位置关系2 2已知点尸(出,兀)，椭圆4t=1(q60),则 a b2 2(1)点尸(曲,九)在椭圆内o?+普2)2-4%(人声 0)注意 对于一兀二次方程 a x+bx+c=0(a00),N O,1町-x21=-3.弦中点问题设4(%1*)乃(2,”)为弦端点坐标，尸(0,打)为线段”xl-x2若椭圆方程为5 a若椭圆方程为2r ay2 t b2XQ+=l(a b0)，贝I k=-.b a y0X2,Y%+=1(a b0)，贝k=一一-.b b y0|综合篇知能拓展 i深刻赳析史理内涵全面提升关族靛力考法一与椭圆定义相关的问题例1(1)已知点夕是圆K：(%+1)2+/=16上任意一点，点F2与点F关于原点对称，线段PF2的垂直平分线m分别与 PF】取交于两点，则点M的轨迹方程为.2 2(2)过点M(0,l)的直线/交椭圆=1于4、干两点产 o 4为椭圆的右焦点,则444斤周长的最大值为.解题导引(1)由于尸在圆上，故IPKI为定值;M在夕工 的垂直平分线上，则IMK I=IMPI,结合图形可知，IMK I+mf2=imk I+IM尸I=I尸k I为定值，且大于IKKI,则M的轨 迹是椭圆，进而求出方程.(2)要求45产周长最值，一种方法是找到取最值的几何位 置，另一种方法是建立周长关于变量的函数，从而求最值;结合 本题，三边均变化，同时4,4在椭圆上，考虑位置，由于1441 IAK I+1跳;I,当然过K时取“=，Hlf c AABF的周长14创+BF+AF AF,+BFi+AF+BF=4a(a 为椭圆长半轴 的长).解析(1)如图所示，连接M F2,由题意知K(1,。)直线/是线段尸K的垂直平分线，/.IMP=IMKI,又知 IMP+IMK I=4,/.IMF +M F2 =4FrF2=2.点M的轨迹是以为焦点的椭圆，且2a=4,2c=2.2 262=3.点M的轨迹方程为二+工=1.4 3(2)设椭圆的左焦点为打.如图所示，连接AFi y BF,由题意，可知椭圆的左、右焦点坐标分别为 工(-2,0),/(2,0),a=2区又由椭圆的定义可得14川=4 2-AF,BF=4日-I5K I,所以然歹的周长为 AF+BF+AB=S42+AB-(IAFJ+IBFJ),显然I4K l+IBK I N I AB I,当且仅当A,B,K 三点共线时周 长最大，最大值为8 2.(1)三+：=1(2)8 瓶经典例题教师用书 例(2019浙江高考数学仿真卷,3)以双曲线:-=1的顶点 为焦点,离心率为学的椭圆的标准方程为)x y2A 7%2 y2C.+J19 6bt%2D-69=1解析 由题意得椭圆的焦点在y轴上，且c=,由椭圆的 离心率=W=a=3,所以所求椭圆的标准方程为金+金=1,a 3 6 9故选D.答案D考法二椭圆离心率问题的求法例2(1)(2019江西南康中学第二次大联考，10)椭圆2 26：三+与=1(。，0)的两个焦点为工(一,0),工(。,0),知是椭 a b圆上的一点，且满足强耳筋=0,则椭圆离心率e的取值范围为(2)(2020山东济南6月模拟，14)已知分别是椭圆2 2C：T+7T=1(。义。)的左、右焦点,A,B是椭圆上关于轴对称 a b的两点,4工的中点尸恰好落在y轴上，若苏沅=0,则椭圆C 的离心率为.解析(1)解法一：设点M的坐标为(0,%)：FM FM=O,K(-c,O),K(c,O),.(o+c)(%o-c)+y；=O,2 2即焉=c?，又知点乂在椭圆c上，.=+=_=1，专题九 平面解析几何/一。7由联立结合a2-b2=c2解得总=()，由椭圆的性 c质可得0w焉二,即J 即所以,2a2(c2-b2)2 c2-b2 c-2-Wa,b2,又知 b2=a2-c2,：.c 2a2 c z,即 2c2 a,解得 e22;，又知 0J2el,.5Wel,故选 D.解法二：:FXM F2M=0,:.MF.即MFiK 是以 M 为直角顶点的直角三角形，.IMK l+IMKI=2q,IKKI=2c,椭圆的离心率2c _/KI2 M Fl+M F2又知(IM l+IMKI)22(IMK 自+IMK-)=2FlF22=8c2,.M Fl+M F2 W2c,.F.F2 2c 42-MF.+MF22J2c 2当且仅当IMF】I=M F2=/2c时，等号成立，又知 0e60)的离心率为k淇左、右焦点分别为K,K,点P o 2为坐标平面内的一点，且|苏仁亮，港涛2二-。，。为坐标 原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设M为椭圆C的左顶点,4,吕是椭圆C上两个不同的TT点，直线的倾斜角分别为a,仇且a+即3.证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.解析(1)设尸点坐标为(与，九)，K(-c,0),K(c,0),贝屈1=(-,浮2=(。-%0，-九)，由题意得4一 9焉+/=彳,3(%o+c)-c)=一彳解得 c-3.*.c=73.又 e 二二二a=2,.,.b2-a-c-,a 22：.所求椭圆C的方程为二+尸=1.4(2)由题可知直线的斜率存在，则设直线46方程为y=匕2=i4%+加,4(%1,%),4(%2,”)联立得1 4 消去 y 得，(4昭+y=k x+m,5年高考3年模拟A版 高考数学/一。8答案(1)D(2)y经典例题教师用书例(2020四川南充顺庆月考，15)设点p是椭圆C：4+4=l o 4上的动点，歹为C的右焦点，定点4(2,1),则IR4 I+I P”的取值 范围是.解析如图，设椭圆左焦点为，1)/+Sk mx+4m2-4=0,.xx+x2=-8k m4m,2-4-I,%2=；-,4*+1 4M+1,/a+/3=由椭圆方程k+一=1,得a=2也,8 4PF=2a-PF,=4 2-PFf,则PA+PF=472+(IB4I-IPFI)=4-(IPFI-IP4I).连接4歹，当尸在4的延长线上时，1尸41-1。1最大为IAF=a/(-2-2)2+(0-1)2=/17,/.1X4 I+IP”的最大值为4+717；当夕在-4的延长线上时，IP I-IP4 I最大为14 I二 7(-2-2)2+(0-1)2=717,TT，二 t an a t an 0=1,设直线M4,MB的斜率分别为心，月，则二1,丫1 y?，,7=1,即(的+2)(丁+2)=yly2，可化为(与+2)町+2%2+Z,(a;2+2)=(k xx+m)(k x2+m),(k2-l)xlx2+(k m-2)(a;1+%2)+m2-4=0,477?2 4(1)臼+()+机24=0,化简得20必一 16加i+Bm2=0,解得m=2k或m=-k.当m=2k时,y=A;%+2A;,过点(-2,0)，不合题意(舍去)；当m=-k时,y二人%+?人,过点(一,0)直线46恒过定点武,。).方法总结 1.判断直线与椭圆的位置关系，可通过讨论直 线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解组数来确定.一般通过 消元得关于(或y)的一元二次方程，若A。,则直线与椭圆相 交;若=(),则直线与椭圆相切;若(),则直线与椭圆相离.2.弦长公式:设4(町,%),以2,%)为直线与椭圆的两个交 点，直线AB的斜率存在，设为k(k O),则14*=或 14*=2 23.设4（衍,）,6（%2,72）为椭圆.+与=1（。义0）上两点,a b弦AB的中点为P（%0,y0），则%0二:,九二:，可通过根与 系数的关系来解决弦中点问题，解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”；也可以由2 2%1%a2 b22 2出 y2q?b2=1，用-将问题转化为二1，斜率与中点坐标的关系来解决（称为点差法）.4.在直线与椭圆的位置关系问题中，常涉及变量的求值和 最值（范围）问题，通