高考数学大一轮总复习 课件 高考专题突破6套.pdf

高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作第三章 一元函数的导数及其应用高考专题突破（一）高考中的导数综合问题 第一课时导数与不等式难点一不等式的证明SS角度1：差值函数法【例1】(2022赣州模拟)已知函数加)=1等，如)=生+：法，若曲线 尸危)Ji C Ji与曲线y=g(x)的一个公共点是且在点A处的切线互相垂直.(1)求，b的值；2(2)证明：当x三1时，“x)+g(x)三；.Ji【思路探索】(1)利用导数的几何意义求解.2(2)构造差函数/z(x)=+g(x)-,利用导数研究力的单调性，由单调性定义及 JiG1,得加力三(1)=0即可.Inx【解】因为於)=1下,Ji一.，lnx-1,所以/f(1)=-1.人一、.(2C.1 LL r、r,1因为&(工)=下+1公，所以g(x)=一百了一 C X C 九因为曲线y=/(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(l,l),且在点A处的切线互相垂直,所以 g(l)=l,且/(D g (D=一L从而 g(l)=a+lb=L 且 g (1)=一8一1=1.解得“=b=-1.e 1(2)证明：由(1)知，g(x)=一？+；+工，C 42 In y p 1则於)+g a)2(0i一丁一段一1+xN。.九 九 C 九nx e 1令力(x)=l一三一一(+x(xNl),Iilx e 则/z(l)=O,h(x)=-+-e+1In V p因为所以今任)=下+京+i o,Ji C号+LJv c所以/z(X)在1,+8)上单调递增，所以/z(x)2/z(l)=0,即 1?一：一:Ji C2故当1三1时，火x)+g(x)三/x三0.【反思感悟】运用差值函数法证明形如A(x)5(x)的不等式的4个关键点(1)构造新函数/z(x)=A(x)5(%).(2)求(x)=A,(x)B(x).(3)研究函数以工)的单调性、极值、图象等(无法进行时，继续求导，研究(X)的单 调性、极值、图象等，仍然无法进行时，继续求导研究).(4)通过研究导数的性质，获得丸(工)的性质，进而实现证明不等式A(x)3(x)的目标.x角度2：隔离分析最值法【例2】已知函数/(x)=xlnxax.(1)当。=1时，求函数x)在(0,+8)上的最值；1 2(2)证明：对一切不(0,+),都有lnx+ly不成立.e c%【思路探索】(1)要求开区间(0,+8)上的最值，想到求犬X)的极值.(2)要证明的不等式中同时含有对数函数和指数函数，想到分离Inx和，两侧分别构 造函数求解.【解】(1)函数加)=xlnxqx的定义域为(0,+).当=一1 时，f x)=xlwc+x,f(x)=lnx+2.由/(x)=0,得 x=J.c当 0,，时，f(x)0.e所以)在10,2上单调递减，在J，+8上单调递增.1(11 1因此火X)在X=处取得最小值，即火X)min=/=一却 但火X)在(。，+8)上无最大值.1 2 Y 2(2)证明：当x。时，lnx+l一面等价于x(lnx+l)FT e c%e c1 1由(1)知=一1时，“x)=xlnx+x的最小值是一？，当且仅当时取等号.C Cx 2设 G(x)=n或，xe(O,+).e cx 贝UG，(%)=尸，易知 G(X)max=G(l)=最，当且仅当X=1时取到，从而可知对一切x(0,+8),1 2都有/x)G(x),即 lnx+1+T72 7.e c%【反思感悟】一般地，要证明力（工）=4工）_4a）三0,当研究/?（%）的单调性很困难时，可以将不等式“一分为二”成两个函数4%）,B（x）,考虑证人而n2 5（X）max是一种有效途径，这种方法 被称为隔离分析最值法.:角度3：放缩法2【例3】已知函数式x)=ln(x1)+=，其中为正实数.证明：当x 2时，玲)0；当 x(l,+8)时,“(%)2 时，ln(x1)0,t zln(x 1)(%2).要证/(x)0对于任意的x 2恒成立.%12令/?(%)=exx 7，x 2,x-l2贝lj/z(x)=e-2只需证 a(x2)+_ 1)%2a,因为x 2,所以。)0恒成立，所以力0)在(2,+8)上单调递增，所以 h(x)h(2)=e240,所以当 x 2 时，1)x2a.【反思感悟】导数方法证明不等式中，最常见的是e和lux与其他代数式结合的问题，对于这类问 题，可以考虑先对e和Inx进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明.常见的 放缩公式如下：(l)exl+x,当且仅当x=0时取等号.(2)1ilxx-1,当且仅当=1时取等号.变式训练1.(角度1,角度2)(2021.全国乙卷)设函数x)=ln(ax),已知x=0是函数了=求工)的极值点.求。；(2)设函数冢兀)=，证明：g(x)l.A/W【解】(1)由题意得 y=M=xln(一x),工(一8,)，xy/=ln(ax)+x-(l)=ln(ax)_,(_ 00?q),ct x a x,.*%=0是函数丁=犹%)的极值点，ln(a0)7：=0,可得 a=l.a 0当。=1 时，y=ln(lx)jTZ p xe(oo,1),JQ令(x)=ln(l-X)一二7，/1 1 x2则(的=口心孑=正仔，易知当工(8,1)时，p(x)0；当工(0,1)时,.(x)0,.函数y=M(x)=xln(lx)在(一8,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数.当=1时，x=0是函数丫=动力的极大值点.*.a=l.(2)证明：由知 4=1,A=ln(l-X),%(一叼 1),当(0,1)时，x)=ln(lx)0,就x)0,，xf(x)0,要证g(x)=状X)x/(x).只需证 x+ln(l%)xln(l x),只需证 x+(l x)ln(l x)0,令/z(x)=x+(lx)ln(lx)f x(8,1),则/?(x)=lln(lx)1=ln(lx),当 x(O,l)时，h(x)0,/z(x)单调递增，当 x(8,0)时，h(x)/z(0)=0,x+(lx)ln(lx)0 在(-8,0)U(0,l)上恒成立.g(x)l.2.（角度3）（2022哈尔滨八校联考）设机R,函数於）=。2-ln（2 x一机）.设x=0是八x）的极值点，求实数机的值，并讨论於）的单调性.（2）当mN2时，证明：人工）0.2 9【解】(1)因为/(x)=2 e2 xf(0)=0,即 2一，=0,所以m=1,(2.e./(x)=e2 xln(2 x+1),%一.+0,(x)=2 e2 xo ！=0,解得 x=0,当 x I/J 十 1()1)e 5,。时，f(x)o,止匕时，火的在一石,0上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以x=o是1X)的极小值点，满足题意.(2)证明：因为1(当且仅当x=0时等号成立)，一ln(2 x相)三一(2xm)+1(当 且仅当2xm=l时等号成立)，所以 e?ln(2 xm)2%+1(2%m)+1=2+m,当且仅当 x=0 且 2 xm 1,即 x=0且m=1时等号成立.因为机三一2,当根W 1 时，e2 xln(2 xm)2+m0(2%m 0)；当m=1 时，e2 x-ln(2 x+l)2+m=l 0(2 x+1 0).故当相一2 时，人x)0 恒成立.难点二不等式恒（能）成立问题角度1：单变量不等式恒（能）成立问题1 I Injr【例4】已知函数八x）=二x（n若函数次X）在区间。，上存在极值，求正实数，的取值范围；（2）如果当无三1时，不等式外）三士恒成立，求实数左的取值范围.4I L（n【思路探索】（1）求出加0的极值点均，则司，十5,同时 0.分离参数匕再转化为函数的最值求解.【解】（1）函数的定义域为（0，+8）,八1 1一1一1nx Inx 人,口/（%）=?=一/，令/（欠）=。，得尸1.当x（0,D时，/0,危）单调递增；当 日1,+8）时，/（龙）0,於）单调递减.所以x=l为函数次x）的极大值点，且是唯一极值点，所以 0a la+9 故;0,所以g(x)为单调增函数，所以g(x)2 g(l)=2,故左W2,即实数上的取值范围是(一8,2,k【变条件】本例中若改为：三工1,e,使不等式五的三不成立，求实数上的/V I-L取值范围.【解】当XR1,e时，左w+D+l-)有解,人(x+1)(1+lnx)令 g a)=i32a口，e),由本例解题知，g(x)为单调增函数，2所以 g Q)max=g(e)=2+:C/2(2所以上W2+不即实数上的取值范围是一8,2+-【反思感悟】(1)不等式恒成立问题的求解策略分离参数法i.分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.ii 芸/0)恒成立=。芸/(X)max.a恒成立台。(/(好而小a三兀r)能成立4/0)min.a勺能成立0。Wr)max.如果无法分离参数或分离参数后函数太复杂时，可以考虑对参数或自变量进行分类 讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(。0,/0 或 0,/0)求解.（2）不等式存在性问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即对于恒成立,应求外）的最小值；若存在使得加02 g（Q）成立，应求7U）的最大值.特别需要关注 等号是否成立，以免细节出错.:角度2：双变量不等式恒(能)成立问题【例 5】设y(x)=+xlnjr,g(x)=x3x3.X如果存在为，历。,2,使得g S)g(%2)NM成立，求满足上述条件的最大整数(2)如果对于任意的s,r21-2,-，都有八s)2 g成立，求实数。的取值范围.【思路探索】(1)问题等价于g(%l)g(X2)max.(2)分别将两个变量的恒(能)成立问题转化为最值问题，原问题等价于加0ming OOmax.【解】存在修，%2 e 0,2,使得g(Xi)g(%2)NM成立，等价于这(月)一g(X2)maxNM成立.g(x)=3%22x=x(3x2),2令，(x)=0,得 1=0或1=,852 7又 g(0)=3,g(2)=l,当工0,2 时,g(%)max=g(2)=l，_ g OOmin g、385=一药 一(85)112加、11一司=亓，满足条件的最大整数M为4.(2)对任意的s,旧去2有危)2 g,贝 U min 三 g(%)max 由知当 2 时,g(X)max=g(2)=l,21-2,e 当时，火x)=9+xlnx三1恒成立，即三xf1nx恒成立.xh(x)=xx2lnx,2,/.h(x)=1 2 xlnx-x,令(x)=1 2 xlnxXi cp(x)=32 1nx z 时1-T-当 1,2时，hf(x)W0,力在)在/i上单调递增，在口,2上单调递减,乙/z(x)max=/z(l)=l,故。三1.J实数的取值范围是1,+8).【反思感悟】“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价 变换，常见的等价转换有：(l)Vxp X?GD,火Xl)g(X2)Q/U)min g(X)max-(2)X/修 M。2，1)g(刀2)/(工)111111冢工)向11.(3)三不。1，初。2,犬Xl)g(X2)Q/U)max g(X)max.变式训练3.(角度1)(2020全国卷I)已知函数人%)=/+依2%当=1时，讨论加元)的单调性;1(2)当工三0时，火工)三/3+1,求的取值范围.【解】(1)当=1 时,fix)=+xxj f(x)=ex+2 x1.故当 x(8,0)时,f(x)0.所以“x)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.(2)解法6zx2+x+1 e Wl.J(设函数ax2+x+1 e(x三0),J则 g (x)1 2 3、2 a x+x+l+2qx1 e-%xx2(2+3)x+4+2 e-1 一一/(工2a1)(%2)e.1若2q+1W0,即5，则当x(0,2)时，g (x)0.所以g(x)在(0,2)单调递增，而 乙g(0)=l,故当 x(o,2)时，g(x)l,不合题意.若 02 a+l2,即一；,则当 x(0,2 a+l)U(2,+8)时，/(%)0.所以 g(x)在(0,2q+1),(2,+8)单调递减，在(2+1,2)单调递增.由7e2 7 e2 1于g(O)=l,所以g(x)Wl当且仅当g(2)=(74)。2W1,即三.所以当a 时,g(x)Wl.(1 A若2+122,即则g(x)W 旷+1+1 e.,7 一 e2 1由于。7，5,_ 4 乙)故由可得.3+x+1 J”W 1.g(z时1-2 当 故7-e2)综上，的取值范围是T，+8;1 1解法二：由“X)+1得，e+af1三/3+1,其中 乙 乙当工=0时，不等式为121,显然成立，符合题意；当Q 0时，分离参数Q得，ex-%1心 2,ex%3X1记 g(x)=一 0，/V(1 1(x2)ex x2x 1则g，J-0,g(x)单调递增;当x(2,+8)时，g(x)0,g(x)单调递减,7e2因止匕，g(x)max=g(2)=一，r7-e2)综上可得，的取值范围是n，+-.4.(角度2)已知函数兀r)=lnx+J1.Ji(1)求函数於)的单调区间；(2)设机RR,对任意的(1,1),总存在的1,e,使得不等式机“一/(司)o.令r a)o,得61,因此函数人无)的单调递增区间是(1,+8).令尸a)o,得oxi,因此函数加o的单调递减区间是(0).(2)依题意，机”/(X)max.由知，於)在日1，e上是增函数.所以 r)max=/e)=lne+1-l=1.C C/1 1所以ma-,即ma 二2.1 1 X【证明】於)=皿：一2+1,x 0,f(x)=一一、易知函数人工)在(0,1)上单调递增，在(1，+8)上单调递减，且力30,八2)0,故函数加)的两个零点修，冗2(不妨设巧42)满足0Xi1X22.证法一：令 F(x)=x)f(2x)，0 x0在(0,1)上恒成立，所以尸(x)在(0,1)上单调递增，/(x)1,2修1,x)在(1,+8)上单调递减，所以m2一修，即修+乃2.证法二：记/?(%)=/(1+%)/(1工)，0 x 0,所以函数/?(x)在区间(0,1)上单调递增，所以/z(x)0,即火1+x)/(I%)0,故式1+x)次 1 X).而 0%11%22,0%211，所以 02必2%2，即为+必2.拓展探究对称变化主要用来解决与两个极值点之和或差相关的不等式的证明问 题，解题要点如下：(1)定极值点：即利用导函数求出函数的极值点的.(2)对称构造：即根据极值点司构造对称函数尸a)=/o+x)八加一x)或F(x)=f(x)f(2xQx).(3)比较大小：即利用导数讨论函数F(x)的单调性，判断其符号，进而得到式的+x)与 凡打一x)或者/(%)与12%()x)的大小关系.(4)转化所证：即根据函数兀r)的单调性，将兀r o+x)与八司一x)或者火x)与火2的一x)的大 小关系转化为两个极值点之间的大小关系，进而得到所证或所求.=:技法2：比(差)值换元消参【例2】已知函数x)=我一.求函数x)的单调区间；(2)若修三工2且汽修)=於2)，求证：Xi+x22.【角星】(l)f(1)=。一%(1x),令 f(x)0 得 xl；令 f(x)1,则 F(x)=f(x)-f(2x)=e X(1x)+ex-2(x_ l)=(x l)(ex 2-e,当 x l 时，xl 0,ex-2e x 0,：.F(x)0,方(%)在(1,+8)上单调递增，.F(x)F(l)=O,故当尤 1 时，/(2-x),(*)由/(工1)=/(冗2)，XiWq，可设 的112，将初代入(*)式可得/te)次2初)，又火工1)=人元2)，式修)次2 一工2)又为1,2%22%2，X1+122.证法二（比值代换法）：设。修142，火苞）=火工2）即e苞=%2。一必，取对数得 Inxi-Xi=lwc2x2.令r=邃1,则X2=tXi，代入上式得111%1修=1皿+111%1 比1，得看=XInttint二T，2=P+1)1皿 21)二 X+q=1 2 OlnZ匚10,t1 t+1、几 2。-1)设g=1皿一.+(61),./1_2+1)2(1)(If g一厂 0+1)2 9+1产6 当1时，g单调递增，gg(l)=O,.A nt0,故 修+%22.L I 1拓展探究比(差)值换元的目的也是消参，就是先根据已知条件建立极值点之间的 关系，然后利用两个极值点之比(或差)作为变量，从而实现消参、减元的目的.设法用两 个极值点的比值或差值表示所求解的不等式，进而转化为相应的函数问题求解，多用来研 究含对数(或指数)式的函数的极值点偏移问题.其基本解题步骤如下：(1)建等式，即利用极值点所满足的条件建立两个关于极值点修，初的方程.(2)设比差，即根据两个数值之间的大小关系，选取两数之商或差作为变量，建立两个 极值点之间的关系.(3)定关系，即用一个极值点与比值或差值表示另一个极值点，代入方程整理，通过两 个方程之差或商构造极值点与比值或差值之间的关系，进而通过解方程用比值或差值表示 两个极值点.(4)构函数，即将关于极值点的目标代数式用比值或差值表示出来，构造相应的函数.(5)解问题，即利用导数研究所构造的函数的单调性、极值、最值等，解决相应的问题.高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作 第三章 一元函数的导数及其应用 高考专题突破（一）高考中的导数综合问题第二课时导数与国数的零点难点一 判断、证明或讨论函数零点个数【例1】(2021.四川天府名校5月诊断)已知函数次工)=犹+优求函数人x)的单调区间和极值；(2)画出函数1x)的大致图象，并说明理由；(3)求函数g(x)=x)R)的零点的个数.【思路探索】(1)求/(%),令/(x)=0,列表求单调区间和极值.(2)由(1)的结论及函数人x)的正负、图象走势画图.(3)将g(x)的零点问题转化为y=/(x)与y=a两个函数图象的交点个数问题，数形结合分析.【解】易知函数火X）的定义域为R,/任）=。+1）/+3=（工+2贮，令f（x）=0,解得x=-2.所以随着x的变化，f（x）,危）的变化情况如下表所示：(18,2)-2(-2,+8)f(x)0+於）单调递减1单调递增所以/U）的单调递减区间是（一8,-2）,单调递增区间是（一2,+8）.1所以当x=2时，加0有极小值，极小值为八一2）=一二，火工）无极大值.C(2)令人x)=0,解得 x=1.当 x一1 时，1 时，)0(1)易知人x)的图象经过特殊点A2,5(1,0),C(0,1).r z.1+1 E当X 一 一8时，人X)=1一。且/(工)0；e当 X+8 时，“X)+8,f(X)一+8.根据以上信息，画出大致图象，如图所示.(3)令 g(x)=x)。=0,可得火x)=a所以函数g(x)=/(x)q(qR)的零点的个数，即函数y=x)的图象与直线y=a的交点 个数.由(1)(2)可得，当x=2时，|x)取得最小值，最小值为八一2)=一C综上可得：当。时，函数g(x)的零点的个数为。个；当=一1或时，函数g(x)的零点的个数为1个；1当一 0 时,令，一2 a=0,则 x=ln(2a).当 0。:时,ln(2)0,於)在(一8,乙ln(2)，(0,+8)上单调递增，当 x(ln(2)，0)时,f f(x)0,当 x(8,0)U(ln(2)，+8)时，/。，大幻在(一8,。),乙(ln(2。),+8)上单调递增,当无(0,ln(2 a)时，/(x)0,於)在(0,ln(2”)上单调递减.1综上，当时，火x)在(一8,0)上单调递减，在(0,十8)上单调递增；当0)在R上单调递增；当村时，府)在(一8,0),(ln(2 a),+8)上单调递增，在(0,ln(2 a)上单调递减.(2)若选，证明过程如下.因为/U)=(xl)eaf+o,则1o)=bio,而/一i|5时，火X)在(一8,0)上单调递增，根据函数零点存在定理知火X)在(一8,0)上有唯一零点.由知，当时，/(x)在(0,ln(2”)上单调递减，在(ln(2)，+8)上单调递增.所以当%E(0,+8)时，X%)=ln(2 tz)a Ln(2a)f+b=a ln(2a)2 ln(2a)+b 2a a ln(2a)2ln(2 a),i e2当5或5时，l2 We2,0 0恒成立，火x)在(。，+8)上没有零点.乙 乙综上，式X)在R上有唯一零点.若选，证明过程如下.因为|x)=(xl)eaf+o,则1o)=。i2 ba +b=a.e，f l-b 1+2 Z?2 2(2 Z?)1+2 Z?2=10 由(1)知,1当。时，火x)在(0,+8)上单调递增，根据函数零点存在定理知火X)在(0,十8)上有唯一零点.1由知，当0Q 5时，火x)在(一8,ln(2 0)上单调递增，在(ln(2)，0)上单调递减，所1以当 x(8,0)时，火x)0(ln(2 a)=Hn(2 a)2ln(2)+b2，因为 05,b&2a,所以火x)0且aW1,函数人工)=-(x 0).(1)当。=2时，求x)的单调区间；(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求的取值范围.【思路探索】(1)当=2时，对火工)求导，并判断/(x)的正负，求八x)的单调区间.(2)将中条件转化为函数g(x)=的图象与直线了=乎有两个交点.对g(x)求导，Jv a得g(x)的单调性、最值，从而作出g(x)的大致图象，求出手的范围，解得的范围.2xln2【解】(1)当。=2时，对r)求导得/(x)=2%Mx。)，2 2令f(%)0,解得0 x而，令f(x)而，则函数火X)的单调递增区间为0,而，单调递减区间为布，(U1N/J J(2)曲线y=/Q)与直线y=l有且仅有两个交点等价于方程号=学有且仅有2个不相等Ji Cl的实数根,即函数g a)=#的图象与直线丁=学有两个交点,g a)=#a o),g任)=上*人 c/4 人(x。).人,1lux e/口令，(%)=一解得 x=e.Ji令g(x)0,则0 xe,此时g(x)单调递增；令g(尤)e,此时g(x)单调递减.1(i故 g(x)max=g(e)=&，当。41 时,g(%)G 0,因为g(l)=0,所以要使函数y=g(x)的图象与直线=学有两个交点，贝10当；.CL CL C当0l时，T，此时不符合题意，所以1,故。(1,e)U(e,+).【反思感悟】已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根 据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个 数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.变式训练2.(2020全国卷I)已知函数次x)=e“(x+2).(1)当Q=1时，讨论式X)的单调性；若玲)有两个零点，求的取值范围.【解】(1)当。=1 时，&x)=e”一x2,则/(x)=ex1.当 x0 时，f(x)0 时，f(x)0.所以/U)在(一8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.(2(x)=exa.当时，f(x)0,所以人好在(一8,+8)单调递增，故x)至多存在1个零点，不合题意.当0 时，由/(x)=0 可得x=lna当(一8,in)时，/(x)0.所以於)在(一8,in”)单调递减，在(Ina,+8)单调递增.故当x=ln”时，fx)取得最小值，最小值为/(lna)=-a(l+lna).1(i)若则川n)0,於)在(一8,十8)至多存在1个零点，不合题意.C1(ii)若贝1J 火1口。)0,所以犬工)在(一8,g o)存在唯一零点.Y X由(1)知，当 x 2 时，ex%20.所以当 x 4 且 x 2 1n(2 a)时，火x)=e/e,a(x+(x)2)。皿2)-+2-a(x+2)=2a 0.故/(x)在(Ino,+8)存在唯一零点.从而人无)在(一8,+8)有两个零点.1)综上，Q的取值范围是5+8.拓展阅读数学抽象导数零点不可求问题的常用策略若函数的零点或导函数的零点存在，但无法直接求解出来，我们称此零点为“隐零 点”.虽不能通过计算求解得出隐零点的具体值，但可以与函数零点存在定理结合，分析 出隐零点所在区间.可以先设而不求，确定等式，进而整体代换，达到消元化简的目的；还可以利用函数工具或导函数工具，以及不等式放缩的方法，进一步推理.:技巧1：猜猜出方程/(x)=0的根例1 已知函数兀r)=aelux1.(1)当时，求危)的单调区间；(2)证明：当“三1时，危)三0.e1 1 1【解】（1次r）的定义域为（0,+8）,又。=喔2.从而人工）=喔2。1n一匕f W=2?1 1 xex-2 e2e x 2 e2x 易知当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0.所以火x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+8).1 ex(2)证明：当三一时，e ee ex 1设 g(x)=7Inx1，则/W=J-p v/C 4易知当 0 xl 时，g(x)l 时，g(x)0.所以x=l是g(x)的最小值点.故当 x 0 时，g(x)2 g(1)=0.1因此,当三一时，加)三0.拓展探究导数零点不可求猜零点技巧当所求的导函数的解析式中出现In%时常猜想/(x)=0的根为x=l,当解析式中出 现e时，常猜想/(x)=0的根为0;当解析式中出现xe“一一时，常猜想/(x)=。的根 为a.技巧2：设设出/a)=o的根=2.In VI 9例2 (2022.广东六校联考)已知函数八工)=1.求函数段)在1,+8)上的值域；(2)若Vxl,+8),inx(lnx+4)W2 ax+4恒成立，求实数的取值范围.1 lux【解】(1)易知/。)=-0,.Ax)在1,+8)上的值域为(0,2.(2)令 g a)=liix(ln+4)2 4x4,L+),ri/flnx+2 则 g (x)=2-a，l 人 J若a WO,则由可知，g(x)0,g(x)在1,+8)上单调递增，.g(e)=l2 oe 0,与题设矛盾，()不符合要求.若2 2,则由(1)可知，g(x)0,g(x)在1,+8)上单调递减，g(x)Wg(l)=2一40,.,巳2符合要求.1nr _LO若02,则三曲(1,+-),使得坐工=，X。则g(x)在1,沏)上单调递增，在(沏，+8)上单调递减，g(x)max=g Oo)=InxoQ nxo+4)2a xQ4.IiLVq=CLXq-2,g（x）max=（102）（ox（）+2）-2a x（）4=（ox。+2）（ox。-4）.由题意知 g（x）maxW0,即（。司+2）（。司一4）W0,2Wqx（）W4,即一2 Whixo+2 W4-kxoWe?.lnx（）+2=t 一乙 lnx+2,r 乂、巾、乂、-4.%=-，且由可知x）=-在（1,+8）上单调递减，Xq x e、4）综上，Q的取值范围为1，+.拓展探究对于导数零点不可求的函数，利用零点存在定理，判断出零点所在的区 间，设出零点代入所求的函数中达到消元化简的目的.:技巧3：证-证明(x)=0有根(无根)例3 已知函数兀r)=e*Qx2.(1)若=1,证明：当x?0时，人%)三1；若“X)在(0,+8)只有一个零点，求。【解】证明：当=1时，加0三1等价于(d+D e、-1W0.设函数 g(x)=(x2+l)e-x1,则 g (x)=一(%22 x+l)ef=(x1)%X.当xWl时，g(x)0,所以g(x)在(0,+8)上单调递减.而g(0)=0,故当时，g(x)WO,即八x)三1.(2)由“x)=0,得 1一依2-%=0,设函数/?(%)=1亮了府)在(0,+8)只有一个零点即当且仅当以期在(0,十8)只有一个零点.(1)当4 0,无没有零点.(ii)当 a 0 时，h(%)=a x(x2)e x.当(0,2)时，h(x)0.所以/z(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.4故0(2)=1二是力(x)在(。，+8)上的最小值.Ce2若飘2)0,即4，以工)在(0,+8)上没有零点；若(2)=0,即a=g)在(0,+8)上只有一个零点;e2若(2)不 由于。(0)=1,所以在(0,2)上有一个零点.由知,当x 0时，ex x2,g、i 7/、r 163 16a r 16a,1 八所以 h a)=1-=1-1 4=1-0.故/z(x)在(2,4)上有一个零点.因此(x)在(0,+8)上有两个零点.e2综上，x)在(0,+8)上只有一个零点时，。=疝拓展探究若导函数/在某区间上单调，可根据单调性及零点存在定理证出零 点的个数；若导函数/在某区间上不单调，则通过导函数的极值及图象特征确定零点 个数.高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作第四章三角函数、解三角形高考专题突破（二）高考中的三角11数与解三角形问题热点一三角函数的图象与性质例1(2022浙江七彩联盟联考)已知函数/(x)=2 s inxcos x+2由s in x+z cos.求函数於)图象的对称轴方程；(2)将函数次x)的图象向右平移胃个单位长度，得到函数g(x)的图象，若关于x的方程 r 兀)、g(x)1=根在0,之上恰有一解，求实数机的取值范围.【思路探索】(1)把x)化为x)=As in(x+夕)的形式可得.(2)变换后得g(x)解析式，问题转化为两函数图象的交点问题，由三角函数的单调性可 得结论.【解】(1):x)=2 s inxcos x+2/s inx+j=s in2 x+市s in 2 x+?、v LI 4人4J=s in2 x+x-(713 cos 2 x=2 s in 2 x十,，a 71 71 八_t 71二令 2 x+1=hi+5(左Z),得 x=7+商(女&Z).J 乙 乙 X乙故函数本)图象的对称轴方程为尸殍+有小Z).IT Z7T IT将函数火工)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)=2 s in 2x-T+=D I D D)Jl2 s in 2 xa的图象.若关于%的方程g(x)l=m在。,上恰有一解,即 s in 2%?I 3）1+m 27171)/v在0,5上恰有一解，则问题转化为曲线y=s in2 x一大和直线y3 J1+m2在。,7T与上有一个交点的问题.71。，5.2 x-771 2兀）3 37当21一2当2%一等（兀）又 s in-oI 3 J717T3,2时，函数7ly=s in 2x单调递增;3 J712 32兀)学时，函数73=2，病y=s in 2x单调递减.3 Js i=l,s in-炎2，坦相+1 爽”+1 一WW 2 或一2或=1，解得一小一1 1或m=L即实数m的取值范围是一表一1,a/3-1U1.【反思感悟】解决三角函数图象与性质综合问题思路(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=As in(x+)+5(一 角一函数)的形式.(2)把“gx+夕”视为一个整体，借助复合函数性质求y=As in(5+)+3的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题.变式训练/1.(2 02 1 四川绵阳第一次诊断性测试)已知函数f(x)=2 4cos xs in x+7 一十(x R).JT(1)判断函数1x)在0,5上的单调性；乙(2)将函数人工)的图象向右平移上个周期后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0,J上的值域.乙【解】(1)=2371cos xs in x+7 2=2 A/3 cos xs iiLr+cos x 心23=3 s inxcos x+/3 cos2x 2=/s in2 x+5xl+cos 2 x 小2 271 71由 2 E/W2 x+4W2 E+g(%Z),_,r 兀 JI可得左兀一1WxW左兀+4(%Z),jr TT jr J yr即当kity左兀+5（左Z）时，函数五工）单调递增，同理可得当左兀+不，析7T（左Z）时，函数x）单调递减，（）,小 乙函数於）在0,t上单调递增，在界与上单调递减.VJ U 乙(2)由题意得 g(x)=小s in 2 x?+7=$s in 2%5 _1 刈。I 3,二 g(x)e3T热点二解三角形【例2】(2021.新高考I卷)记ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,a已知 b2=a c,点 D 在边 AC 上，BDsinZA BC=a smC.(1)证明：BD=b；(2)若 AO=2 OC,求 COS/A3 C【思路探索】(1)利用正弦定理将题干中的边角关系转化为边之间的关系是解题突破 口.(2)在不同的三角形中利用余弦定理探究边长间的关系是解决本题第二问的关键.【解】(1)证明：在A3 C中，由3 0s inNA5C=as inC及正弦定理可得3。力=,又/=Q c,所以故BD=b.2 b(2)由 AO=2 O。得 4。=彳4 DC/在AB。中,ad2+ab2-bd2cosA=2A DA B2 2X-bc在 ABC 中，cos A=A C2+A B2-BC2/+J/2A CA B2bcC2 qZ?2 7 2 I 2 2故一j yr，化简得 3 c2-11/+62=0,又/=C，I1 乙U L3bc所以 3 c2lloc+6a2=0,即(c3 a)(3 c2 a)=0,、2以 c=3 c=w.当c=3时，b2=a c=3a2,所以Z?=a/q,此时+Z?c,故q,b,c构不成三角形;当c=*z时，b2=a c=a1,所以。=g a,此时a,b,c可以构成三角形，2/7故=手1,b=a,所以在ABC中，才72 a4-9+-2 aa2-3 d2/a cDcos XA BC=【反思感悟】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的 性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函 数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.变式训练2.(2022.青岛市高中教学质量检测)在2 0s inA=Q t an5,/=砒小s in3=cos 3+l这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为m b,c,且.(1)求角B的大小；(2)若8=2,AABC的面积为求A5C的周长.【解】选择条件，因为 2/?s inA=“t an5,所以由正弦定理可得2 s inBs inA=s inAt anB,广.s inAs inB所 以2 s inBs inA=出刀因为 A,Be（O,兀），所以 s inAs inAO,1所以 cosB=5,7T因为5（0,兀），所以3=不选择条件，2 I 2_ r 2因为廿一/二碇一。?，整理得a2+c2 2=Q c,所以由余弦定理得cos5=一a c 12a c 2 7T因为5(0,7i),所以3=不选择条件，因为A/s in5=cos 8+l,所以小s in5cos 5=2 s in 聿=1,即 s in B_7=不r、，TC TC 3 TCI因为 5(0,兀)，-9,亡 L r、1f 兀 兀 r zt|-t 兀所以B一即B=)兀 1ss(2)因为 B=q,所以A8C 的面积 Sz4g c=/acs in3=qa c=2，所以a c=2.因为 b=2,所以由余弦定理 Z?2=6Z2+c22a ccosB,得 a2c2a c=(a c)23a c=(a+(?)26=4,所以+c=a/15,所以AABC的周长为2+V10.热点三 三角形中的范围、最值问题【例3】(2021湖南郴州二模)已知的内角A,B,C的对边分别为m b,c,且(s inA-s inB)2=s in2C-s inAs inB.求C.(2)若c=l,人5。的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请 说明理由.【思路探索】(1)利用正弦定理将已知等式角化边，再用余弦定理求解.(2)利用正弦定理将a+b化为角，从而转化为三角函数的最值问题.【解】由(s inA-s inB)2=s in2。一s inAs in5 整理得 s in2A+s in2Bs in2C=s inAs inB.又由正弦定理得a2+b2