Hardy空间上一类复对称Toeplitz算子.pdf

第4 6卷3期2 0 2 3年9月 辽宁师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fL i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l.4 6 N o.3S e p.2 0 2 3 收稿日期:2 0 2 3-0 2-0 1基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 1 9 0 1 2 6 9);辽宁省教育厅青年项目(L Q 2 0 1 9 0 1 7)作者简介:李然(1 9 8 6-),男,吉林长春人,辽宁师范大学副教授,博士.E-m a i l:l i r a n m i k a 1 6 3.c o m 文章编号:1 0 0 0-1 7 3 5(2 0 2 3)0 3-0 2 9 8-0 9 D O I:1 0.1 1 6 7 9/l s x b l k 2 0 2 3 0 3 0 2 9 8H a r dy空间上一类复对称T o epl i t z算子李 然,富 佳,李欣美(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 1 1 6 0 2 9)摘 要:主要分为3部分去研究经典H a r d y空间上一类复对称T o e p l i t z算子.首先在经典的H a r d y空间上构造出一类共轭算子,称之为两对置换的共轭算子.其次去完整刻画在这类共轭算子下T o e p l i t z算子是复对称的结构,利用在H a r d y空间上经典正规正交基下T o e p l i t z算子的矩阵表示去刻画此类复对称T o e p l i t z算子.最后讨论一种两对置换的共轭算子的特殊情况,当此类共轭算子的两对置换变成一对置换时,完整刻画了T o-e p l i t z算子关于一对置换共轭算子的复对称性,并且通过几个简单的例子来体现在一对置换的共轭算子下T o e p l i t z算子是复对称的结构.关键词:H a r d y空间;T o e p l i t z算子;共轭算子;复对称算子中图分类号:O 1 7 7.1 文献标识码:A1 预备知识对于任意的H i l b e r t空间H,B(H)表示H上的所有有界线性算子.算子C:HH称为共轭算子,如果它满足以下条件(1)共轭线性:C(f+g)=-C f+-C g,f,gH,C.(2)对合性:C2=I.(3)反等距性:=,f,gH.对任意的TB(H),如果存在共轭算子C,使得C T C=T*,则称T为C-对称算子.所有的C-对称算子称为复对称算子.众所周知,复对称算子是一类非常庞大的算子类.如正规算子,H a n k e l算子,有限T o e p l i t z矩阵,截断T o e p l i t z算子等.关于复对称算子的更多介绍,可以参考文献1-2以及其中的参考文献.让D=zC:|z|1 表示复平面上的单位圆盘,T是单位圆周.H2是D上的标准H a r d y空间,即由D上的某类全纯函数构成的H i l b e r t空间.同时H a r d y空间H2是L2(T)的闭子空间,即由负的傅里叶系数等于零的函数组成.对于任意的fL(T),定义T o e p l i t z算子Tf:H2H2,Tfh=P(f h),hH2,其中,P表示L2到H2上的投影.在H2的正规正交基ein n=0下有Tf的矩阵表示为第3期李 然等:H a r d y空间上一类复对称T o e p l i t z算子2 9 9 Tf=f0f-1f-2f-3f1f0f-1f-2f2f1f0f-1f3f2f1f0,其中,f(z)=n=-fnzn.显然可以得出T*f=f0f1f2f3f-1f0f1f2f-2f-1f0f1f-3f-2f-1f0.T o e p l i t z算子是一类非常让很多研究者非常着迷的算子.丁宣浩和梁焕超等人刻画了任意有限多个T o e p l i t z算子可交换的充要条件和任意有限个T o e p l i t z算子模去有限秩算子可交换的充分必要条件3.G u oK和Z h uS在复对称算子的正则分解中提出了一个有趣的问题,即如何刻画H a r d y空间H2上的复对称T o e p l i t z算子4.K oE和L e eE刻画了一类H a r d y空间H2上的复对称T o e p l i t z算子5.同时,他们还给出了复对称T o e p l i t z算子为正规算子的充要条件.陈泳和赖丽玲等人对B e r g m a n空间上一类H-T o e p l i t z算子做了更近一步的具体研究6.李春光在研究复对称算子时首先给出了一类范数稠密算子的复对称性的几何刻画,其次深入讨论了W e y l定理在函数演算下的稳定性,最后还对复对称性的概念进行了推广7.王晓欢和高宗升给出了一些有关于复对称算子的等价性质8.本文首先在H a r d y空间上构造一类新的共轭算子.然后在此类共轭算子下去刻画H a r d y空间上的复对称T o e p l i t z算子.在H2上构造算子C(i,j)(s,t),其中,i,j,s,tN并且ij,st,使得C(i,j)(s,t)n0anzn=n0,ni,j,s,ianzn+ajzi+aizj+atzs+aszt.显然此类算子C(i,j)(s,t)是共轭算子.这类共轭算子称为两对置换的共轭算子.显然,H a r d y空间上的经典正规正交基znn0是C(i,j)(s,t)的不变基1.第二部分从H a r d y空间上经典正规正交基下T o e p l i t z算子的矩阵表示的角度去讨论关于两对置换的共轭算子的复对称性的刻画.第三部分介绍特殊的情况,即在一对置换的共轭算子下去刻画H a r d y空间上的复对称T o e p l i t z算子并给出几个例子.2 两对置换的共轭算子下面对于这一类共轭算子C(i,j)(s,t),讨论T o e p l i t z算子的C(i,j)(s,t)-对称性.定理1 对于f(z)=n=-fnznL,Tf是C(i,j)(s,t)-对称的当且仅当对于n0时,满足fn=f-n=fn+j-i=fn+t-s.证 对于g,hH2(T),fL(T).令f(z)=n=-fnzn,g(z)=n=0anzn.共轭算子C(i,j)(s,t)把g(z)的F o u r i e r展开系数中的第i项和第j项交换顺序,第s项和第t项交换顺序.为了讨论的简便性这里不妨设ij,st,对于s=t的情况会在第三部分给出证明,由于j和s,t之间的大小关系是未知的,还需要分情况讨论,有3种情况分别是ijst,isjt,istj.若ijs0时,fn=f-n=fn+j-i=fn+t-s.最第3期李 然等:H a r d y空间上一类复对称T o e p l i t z算子3 0 5 后,f-j+t=fi-s,f-j+s=fi-t,f-i+t=fj-s,f-i+s=fj-t,f-t+j=fs-i,f-t+i=fs-j,f-s+j=ft-i和f-s+i=ft-j的结论也可以归纳总结到第二条中.因此,对于n0,有fn=f-n=fn+j-i=fn+t-s.当isjt和istj时,用同样的方法计算得到的结论和上述相同,必要性得证.反之亦然,定理证毕.3 一对置换的共轭算子对于上述的一类共轭算子讨论其特殊的情况,即当ij,s=t时,把这类共轭算子称为一对置换的共轭算子,记作C(i,j),这里C(i,j):(a0,a1,ai,aj,)a(a-0,a-1,a-j,a-i,),即作用在g(z)=n=0anznH2上,有C(i,j)(n=0anzn)=a-nzn+a-jzi+a-izj.接下来证明定理1中的结论同样也适用.定理2 对于f(z)=n=-fnznL,Tf是C(i,j)-对称的当且仅当对于n0时,满足fn=f-n=fn+j-i.证 计算C(i,j)TfC(i,j)对比于T*f分别作用在g1(z),g2(z)和g5(z)上的结果,即C(i,j)TfC(i,j)g1(z)=C(i,j)(n=0f-j+naizn)=f-j+naizn+f0aizi+f-j+iaizj,C(i,j)TfC(i,j)g2(z)=f-i+najzn+f-i+jajzi+f0ajzj且C(i,j)TfC(i,j)g5(z)=f-k+nakzn+f-k+jakzi+f-k+iakzj.同时T*fg1(z)=n=0fi-naizn=fi-naizn+f0aizi+fi-jaizj,T*fg2(z)=n=0fj-najzn=fj-najzn+fj-iajzi+f0ajzj且T*fg5(z)=n=0fk-nakzn=fk-nakzn+fk-iakzi+fk-jakzj.观察上述式子,对应项相等,得到对于n0,有fn=f-n=fn+j-i,其中,T o e p l i t z算子的矩阵表示保证了每个带有相同a,i0的系数相等,可以看出一对置换的共轭算子是两对置换的共轭算子的特殊情况,证毕.特别地,当j-i=1时,由定理2的结论可得到对于n0,所有的fn都相等.当j-i=2时,将结论进行整理可得到n是奇数时所有的fn相等,当n是偶数且n0时所有的fn相等.进一步,当j-i=m,m3时,将对于n0所有的fn进行分类,隔m项的fn相等,即将对于n0所有的fn分成了m类.此时,分别带有上述符号fn的T o e p l i t z算子是C(i,j)-对称的.当其是两对置换的共轭算子时,情况较为复杂,需要结合两种分类情况即j-i类和t-s类综合考虑.参考文献:1 GA R C I AR,P UT I NA R M.C o m p l e xs y mm e t r i co p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n sJ.T r a n,2 0 0 5,3 5 8(3):1 2 8 5-1 3 1 5.2 GA R C I AR,P UT I NA R M.C o m p l e xs y mm e t r i co p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n sJ.T r a n,2 0 0 7,3 5 9(8):3 9 1 3-3 9 3 1.3 丁宣浩,梁焕超,李永宁.可交换的T o e p l i t z算子J.西南师范大学学报(自然科学版),2 0 2 2,4 7(2):2 7-3 1.4 GUOK,Z HUS.Ac a n o n i c a l d e c o m p o s i t i o no f c o m p l e xs y mm e t r i c o p e r a t o r sJ.J o u r n a l o fO p e r a t o rT h e o r y,2 0 1 4,7 2(2):5 2 9-5 4 7.3 0 6 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷5 KOE,L E EE.O nc o m p l e xs y mm e t r i cT o e p l i t zo p e r a t o r sJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,2 0 1 6,4 3 4(1):2 0-3 4.6 陈泳,赖丽玲,梁金金.一类H-T o e p l i t z算子的复对称性J.浙江科技学院学报,2 0 2 2,3 4(1):1-6,5 1.7 李春光.复对称算子及相关问题D.长春:吉林大学,2 0 1 2.8 王晓欢,高宗升.复对称算子的一些等价性质J.数学的实践与认识,2 0 1 0,4 0(8):2 3 3-2 3 6.Ac l a s so f c o m p l e xs y mm e t r i cT o e p l i t zo p e r a t o r so nH a r d ys p a c e sL IR a n,F UJ i a,L IX i n m e i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,L i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y,D a l i a n1 1 6 0 2 9,C h i n a)A b s t r a c t:I nt h i sp a p e r,t h e r ea r em a i n l yt h r e ep a r t st os t u d yac l a s so fc o m p l e xs y mm e t r i cT o e p l i t zo p e r a t o r so nc l a s s i c a lH a r d ys p a c e s.F i r s t l y,a c l a s s o f c o n j u g a t i o n s i s c o n s t r u c t e do n t h e c l a s s i c a lH a r-d ys p a c ec a l l e dt h ec o n j u g a t i o n so ft w op e r m u t a t i o n s.S e c o n d l y,T o e p l i t zo p e r a t o r sa r ec o m p l e t e l yc h a r a c t e r i z e da s c o m p l e xs y mm e t r i c s t r u c t u r eu n d e r t h i s c l a s so f c o n j u g a t i o n s.T h em a t r i xr e p r e s e n t a-t i o no fT o e p l i t zo p e r a t o r s i nt h ec l a s s i c a l r e g u l a ro r t h o g o n a l b a s i so nH a r d ys p a c e i su s e dt od e s c r i b et h i sc l a s so f c o m p l e xs y mm e t r i cT o e p l i t zo p e r a t o r s.F i n a l l y,as p e c i a l c a s eo f t h ec o n j u g a t i o n so f t w op e r m u t a t i o n s i sd i s c u s s e d.Wh e n t h e t w op e r m u t a t i o n so f s u c hc o n j u g a t i o n sb e c o m eo n ep e r m u t a t i o n,t h ec o m p l e xs y mm e t r yo fT o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hr e s p e c t t ot h ec o n j u g a t i o n so fo n ep e r m u t a t i o ni sc o m p l e t e l yc h a r a c t e r i z e d.A n dt h r o u g hs o m es i m p l ee x a m p l e s,T o e p l i t zo p e r a t o r sa r ec o m p l e xs y m-m e t r i cu n d e r t h ec o n j u g a t i o n so fo n ep e r m u t a t i o n.K e yw o r d s:H a r d ys p a c e;T o e p l i t zo p e r a t o r;c o n j u g a t i o n;c o m p l e xs y mm e t r i co p e r a t o r