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九年级数学期中复习学案（1）
一.知识回顾
1.圆的定义________________________________________________.圆可以看作是______________点的集合；圆的外部可以看作是_________________________点的集合；圆的内部可以看作是________________________点的集合.
2.点与圆的位置关系有哪几种？怎么判定？

3.基本概念： 弧、弦、弦心距、等圆、同圆、半圆、优弧、劣弧、圆
心角、圆周角 ：

4. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的_________相等.
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦_________________.
圆心角的度数与_______________________相等.
5. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的____。同圆或等圆中，同弧或等弧所对的___ 相等，是___________的一半.
6.圆既是 图形又是 图形
7.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小， 的三点确定一个圆.
8.直径（或半圆）所对的圆周角是______，90°的圆周角对的弦是_______.
9.垂直于弦的直径_______________________________.
10.直线与圆的位置关系及判定：_______________________________________________.

11.切线的判定方法有哪几种？____________________________________________

12.切线的性质定理：切线垂直于_____ ______________。
13.切线长定理：_______ __
14.圆内接正多边形的相关概念及计算： 。
15. 三角形的内心是______________________________________________交
点，内心到________________________________________的距离相等；
三角形的外心是__________________________________________________交点，
外心到________________________________________的距离相等
16.扇形、弧长和圆锥的相关计算公式
1．扇形：（1）弧长公式：_________________；
（2）扇形面积公式： ____________________或 。
其中：：_____； ：_____； ：____ ：___表示的意义。
2.圆锥侧面展开图是： ；
圆锥的侧面积公式___________；全面积= 。
二.典型例题
1. 如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于 点，点在上上．
（1）若，求的度数；
E
B
D
C
A
O

（2）若，，求的长．

2．下图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，
CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得半径为13 m.
（1）求水深OE；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
A
O
B

E
C
D

3．如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.
(1) 求证：；
(2) 请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.

4．如图，是的直径，是上的两点，且
（1）求证：
（2）若将四边形分成面积相等的两个三角形，试确定四边形的形状.

三．课堂练习
1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是 ( )
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
2．⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM可能为 （ 　 ）
A．2 B．4 C．6 D．7
3．如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是 （ ）
A．1 B． C． D．2
4．是的直径，点在的延长线上，切于若则等于（ ）A． 　　 B．　　 C． D．
5．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
P
O
B
A

C
B
D
A
O
（第3题）
·
O
A
B
C

（第4题） （第5题）
6．如图,⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是 （ ）
A. B. C． D.
7．正三角形的半径为1，那么这个正三角形的边长为____________.
8．如图，在等边△ABC中，以AB边为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD，则∠CAD的度数是 ．
9．如图，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 cm.

O
A
B
D
C
10.如图，是的直径，为上的两点，若，则的度数为__________.

(第6题) （第8题） （第9题） （第10题）
四．课后巩固 作业
1．有4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弦是过圆心的；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是 （ ）
A．①③ B．①③④ C．①④ D．①
2．等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是 （ ）
A.6 B.3 C. D.
3. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．
点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为 ( )
A．15 B．28 C．29 D．34
4．如图，⊙O的直径CD＝10cm，弦AB⊥CD于M，OM∶OC＝3∶5，则AB＝（ ）
P
y
x
O
A

A．8cm B．cm C．6cm D．2cm
A
D
C
O
M
B

（第4题） （第5题） （第6题） (第7题)
5．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4厘米，PB＝3厘米，PC＝6厘米，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE＝2厘米，则PE的长为 （ ）
A.4厘米 B.3厘米 C.厘米 D.厘米
6．如图，⊙P与x轴切于点O，点P的坐标为(0，1)，点A在⊙P上，并且在第一象限，∠APO＝120º．⊙P沿x轴正方向滚动，当点A第一次落在x轴上时，点A的横坐标为 (保留)．
7．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽为_________.
8A
E
O
F
B
D
C
．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，过点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，已知OE＝1cm，DF＝4cm．
(1)求⊙O的半径；
(2)求切线CD的长．
9. AB是⊙O的直径，D是⊙O上一动点，延长AD到C使CD＝AD，连结BC、BD，
（1）证明：当D点与A点不重合时，总有AB＝BC；
（2）设⊙O的半径为2，AD＝x，BD＝y，用含x的式子表示y；
（3）BC与⊙O是否有可能相切?若不可能相切，则说明理由；若能相切，
A
B
D
C
O
·
则指出x为何值时相切.

九年级数学期中复习学案（1）
一．例题选析：
1 .如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝3，BC＝4，点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2．
(1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB有怎样的位置关系？
(2)当OC等于多少时，⊙O与直线AB相切？

2 .如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．
若OH＝2，AB＝12，BO＝13，求：
（1）⊙O的半径；
（2）AC的值．

3. 如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，
求证:AC与⊙O相切. 网
· 网

4. 如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若，求CD的长．

5 .如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，
∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．[来源:Zxxk.Com]

二.课堂练习
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ( ）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
2. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于（ ）
A． B． C．2 D．2

（第2题） （第3题）
3.如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四
个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝R．其中,使得BC＝R的有（ ）A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
4.如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与轴相切.
5.在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆的半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，则弦AB的长为_______cm．
6.P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠APB＝50º，点C为⊙O上一点(不与A、
B重合)，则∠ACB的度数为 ．
7.已知⊙0是边长为2的等边△ABC的内切圆.则⊙0的面积为_____________.
8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
（1） 若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．
三.课后作业
1.在平面直角坐标系中，以点（3,2）为圆心、3为半径的圆，一定 （ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
2.如图，直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA=40°，则
∠ADC= ．
Ｃ
Ｐ
Ｂ
Ｑ

3.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点
C在弧AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是_ _．

（第2题） （第3题）
4. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）
A、cm B、cm C、cm D、cm
5.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为 cm.
6.已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A、C、D三点
至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是 .
7. 如图是一块含30˚角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E
（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE=CE
（2）填空
①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是_______
②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是_______
③设旋转x秒后，E点处的读数为y度，
则y与x的函数关系式是y=_______________
9. 一个高为cm，底面半径为2cm的圆锥形无底纸帽，现利用这个纸帽的侧面纸张裁剪出一个圆形纸片（不考虑纸帽接缝），这个圆形纸片的半径最长可以是（ ）
（计算结果保留3个有效数字.参考数据 ， ）.
A 3.12cm B 3.28 cm C 3.3 1cm D 3.00cm
10.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是 .
11.如图，⊙O的直径AB＝12，AM和BN是它的两条切线，切点分别为A、B，DE切
⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数关系式是 .
第11题图
A
D
M
N
C
E
B
O
第10题图
A
B
D

O
C

13题图
12. 圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:6,则四边形的最大角是______度.
13.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E是AD上的动点，以CE为直径的⊙O与BC交于点F，过点F作FG⊥BE于点G
（1）若FG是⊙O的切线，求DE的长度；
（2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长度；若不能，请说明理由.

14.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
(1) 求证：直线PB与⊙O相切；
(2) PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

E
A
F
P
B
D
O
C
G
15．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P，
（1）求证：BF＝EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG＝BF，且⊙O的半径长为，求BD的长度.

16.如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=300．
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积(保留和根号)．

8