高三理科数学006.doc

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期数： 0509 SXG3 006
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇
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[同步教学信息]
预 习 篇

预习篇五 正态分布

学案标题索引列表

【教材阅读提示】
【基础知识精讲】
【典型例题解析】
【强化训练】

【教材阅读提示】
正态总体在现实生活中具有广泛的应用，它的函数表达式是

其中参数分别表示总体的平均数与标准差. 正态曲线具有在x轴上方、关于直线对称等性质. 利用标准正态分布表，可以求出正态总体在任一区间内取值的概率.
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【基础知识精讲】
一、知识结构

二、重要内容提示
在总体分布估计时，当样本容量无限增大时，其频率分布直方图无限接近于一条总体密度曲线（如图所示），其总体密度函数近似为：

（1）正态分布的概念：
如果随机变量的概率密度函数为：
其中为常数，称服从参数为的正态分布. 记作：～.
注意：(i)正态分布由参数唯一确定，分别表示总体的平均数和标准差.
(ii)其函数图象称为正态曲线.
（2）标准正态分布：
当=0，=1时，随机变量的概率密度函数为.
此时，正态总体称为标准正态分布，记作～N(0,1)，其分布函数通常记作，且.相应的曲线称为标准正态曲线.
（3）正态曲线的性质：
(Ⅰ)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．即：f(x)＞0.
(Ⅱ)曲线关于直线对称．
(Ⅲ)曲线在时位于最高点．即f(x)取最大值.
（Ⅳ）当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右无限延伸时,以x轴为渐近线，向它无限靠近．
（Ⅴ）当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．若固定，则随着值的不同，曲线沿x轴平移，且形状不变，.
（4）几个重要公式
① ；
②；
③；
④若～.，则；
⑤若～.则．
一般的正态总体均可化为标准正态总体N(0,1)来进行研究. 事实上，对于任一正态总体来说，取值小于x的概率为.
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【典型例题解析】
例1 正态总体为=0，=1时的密度函数是：.
（1）证明：f(x)为偶函数.
（2）求f(x)最大值.
（3）说明y = f(x)的单调性.
解：（1）任取，

∴f(x)为偶函数.
（2）∵x∈R, ∴，为增函数，
∴.
（3）为增函数，
在上为增函数，在上为减函数.
∴当时，f(x)为增函数；当时，f(x)为减函数.
例2 设随机变量的概率密度为，则（ ）～N(0,1).
A． B． C． D．
解：由已知，的概率密度为
，
∴～.
因而～（0，1）. 故应选B.
例3 设随机变量～，且=0.0793,=0.7611, 求与.
解：∵～，
∴即，
∴, 查表得 .
又
∴. 查表得 ，
解方程组 得
∴.
例4 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高～N(175,6)(单位：cm)，则该地公共汽车门的高度应设计为多少？
分析：这是一个实际应用问题，所求的是公共汽车车门的最低高度，可设其为x(cm)，使其总体在不低x的概率值小于1%，即：，从中解出x的范围.
解：设该地公共汽车门的高度应设计为xcm，则根据题意可知：＜1%，由于～N(175,6)，
所以；
即：；通过查表可知：，解得：x＞188.98.
即该地公共汽车门至少应设计为189cm的高度.
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【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．如果随机变量～，且则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．在正态总体中，数值落在里的概率是（ ）
A．0.997 B．0.046
C．0.03 D．0.003
3．把一条正态曲线a沿着横轴正向移动2个单位，得到一条新的曲线b，则下列说法错误的是（ ）
A．曲线b仍然是正态曲线
B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等
C．以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2
D．以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的期望的方差大2
二、填空题
4．若随机变量、都服从正态分布，且，，则的概率密度函数
= .
5．通过查标准正态分布表，计算服从正态分布的总体落在区间内的概率是
.
同步检测[※※级]
一、选择题
1．如果随机变量～N(0,1)，则（ ）～
A． B．
C． D．
2．设随机变量～，则服从（ ）
A． B．N(0,1)
C． D．
3．设随机变量的概率密度为：～N(0,1)，那么等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．若随机变量～，则服从参数为_______的正态分布.
5．若随机变量～N(5,2)，且，则=_________.
三、解答题
6．设～N(0,1)，求下列各值：

7．设服从N(3,2)，试求下面的概率：

8．某中学高考数学成绩近似地服从正态分布，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比.
参考答案
同步落实[※级]
一、选择题
1．B 2．D 3．C
二、填空题
4． 5．0.4791
同步检测[※※级]
一、选择题
1．C 2．D 3．B
二、填空题
4． 5．7.56
三、解答题
6．解：因为～N(0,1)，

7．解：因为～N(3,2)，所以～N(0,1).

8．解：设表示此中学数学高考成绩，依题意，本题所求为.
∵～，
∴.
故120分以上的考生人数占2.3%.
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