1、东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）期数： 0509 SXG3 006学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟 审稿老师：杨志勇 _同步教学信息预 习 篇预习篇五 正态分布学案标题索引列表【教材阅读提示】【基础知识精讲】【典型例题解析】【强化训练】【教材阅读提示】正态总体在现实生活中具有广泛的应用，它的函数表达式是其中参数分别表示总体的平均数与标准差. 正态曲线具有在x轴上方、关于直线对称等性质. 利用标准正态分布表，可以求出正态总体在任一区间内取值的概率.返 回【基础知识精讲】一、知识结构 二、重要内容提示在总体分布估计时，当样本容量无限增大时，其频率分布直方图无限接近于一条总
2、体密度曲线（如图所示），其总体密度函数近似为：（1）正态分布的概念：如果随机变量的概率密度函数为：其中为常数，称服从参数为的正态分布. 记作：.注意：(i)正态分布由参数唯一确定，分别表示总体的平均数和标准差.(ii)其函数图象称为正态曲线.（2）标准正态分布：当=0，=1时，随机变量的概率密度函数为.此时，正态总体称为标准正态分布，记作N(0,1)，其分布函数通常记作，且.相应的曲线称为标准正态曲线.（3）正态曲线的性质：()曲线位于x轴上方，与x轴不相交即：f(x)0.()曲线关于直线对称()曲线在时位于最高点即f(x)取最大值.（）当时，曲线上升；当时，曲线下降并且当曲线向左、右无限延伸
3、时,以x轴为渐近线，向它无限靠近（）当一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中若固定，则随着值的不同，曲线沿x轴平移，且形状不变，.（4）几个重要公式 ；若.，则；若.则一般的正态总体均可化为标准正态总体N(0,1)来进行研究. 事实上，对于任一正态总体来说，取值小于x的概率为.返 回【典型例题解析】例1 正态总体为=0，=1时的密度函数是：.（1）证明：f(x)为偶函数.（2）求f(x)最大值.（3）说明y = f(x)的单调性.解：（1）任取，f(x)为偶函数.（2）xR, ，为增函数，.（3）为增函数，在上为增函数，在
4、上为减函数.当时，f(x)为增函数；当时，f(x)为减函数.例2 设随机变量的概率密度为，则（ ）N(0,1).A B C D解：由已知，的概率密度为，.因而（0，1）. 故应选B.例3 设随机变量，且=0.0793,=0.7611, 求与.解：，即，, 查表得 .又. 查表得 ，解方程组 得.例4 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高N(175,6)(单位：cm)，则该地公共汽车门的高度应设计为多少？分析：这是一个实际应用问题，所求的是公共汽车车门的最低高度，可设其为x(cm)，使其总体在不低x的概率值小于1%，即：，从中解出x的范
5、围.解：设该地公共汽车门的高度应设计为xcm，则根据题意可知：1%，由于N(175,6)，所以； 即：；通过查表可知：，解得：x188.98.即该地公共汽车门至少应设计为189cm的高度.返 回【强化训练】同步落实级一、选择题1如果随机变量，且则等于（ ）A BC D2在正态总体中，数值落在里的概率是（ ）A0.997 B0.046C0.03 D0.0033把一条正态曲线a沿着横轴正向移动2个单位，得到一条新的曲线b，则下列说法错误的是（ ）A曲线b仍然是正态曲线B曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2D以曲线b为概率密度
6、曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的期望的方差大2二、填空题4若随机变量、都服从正态分布，且，则的概率密度函数 = .5通过查标准正态分布表，计算服从正态分布的总体落在区间内的概率是 .同步检测级一、选择题1如果随机变量N(0,1)，则（ ）A BC D2设随机变量，则服从（ ）A BN(0,1)C D3设随机变量的概率密度为：N(0,1)，那么等于（ ）A BC D二、填空题4若随机变量，则服从参数为_的正态分布.5若随机变量N(5,2)，且，则=_.三、解答题6设N(0,1)，求下列各值：7设服从N(3,2)，试求下面的概率：8某中学高考数学成绩近似地服从正态分布，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比.参考答案同步落实级一、选择题1B 2D 3C 二、填空题4 50.4791同步检测级一、选择题1C 2D 3B 二、填空题4 57.56三、解答题6解：因为N(0,1)，7解：因为N(3,2)，所以N(0,1).8解：设表示此中学数学高考成绩，依题意，本题所求为.，.故120分以上的考生人数占2.3%.返 回
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