高三文科数学006.doc

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期数： 0509 SXG3 006
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]
预 习 篇

高三文科数学预习篇四
-----函数的单调性与极值

学习重点：
（1）利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间.
（2）利用导数求函数的极值.
【学法指导】
1．准确理解导数与函数的单调性的关系
一般地，设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导.
（1）如果在这个区间内＞0，则f(x)在(a,b)内为增函数.
（2）如果在这个区间内＜0，则f(x)在(a,b)内为减函数.
（3）如果在这个区间内恒有=0，则f(x)在(a,b)内为常函数.
2．正确理解函数的极值的概念
（1）概念：
设函数y=f(x)在点及其附近有意义，如果对附近的所有点，都有，则称是函数y=f(x)的一个极大值，记作：.如果对附近的所有点，都有，则称是函数y=f(x)的一个极小值，记作：.
极大值与极小值统称为极值.
（2）注意：
①点及其附近有定义：指在点及其一邻域都有定义.显然，端点及其间断点不可能成为其极值点.
②函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某点附近函数值的情况，即某点的函数值比附近的每一点的函数值都大，则为极大值；比附近的每一点的函数值都小，则为极小值.
③极大值未必比极小值大；而极小值未必比极大值小.
④可导函数的某点是其极值点的必要条件是这点的导数为零. 其充分条件是这点两侧的导数异号.
⑤可导函数的导数为0的点不一定是极值点，如，在=0处，虽然有，但=0不是极值点.
⑥极值点也可在其不可导点处达到，如y=|x|，在=0处不可导，即不存在，但f(0)为其极小值点.因此，对不可导函数的极值问题的求解还应对不可导点进行分析.
【巧学妙思】
1．判断函数单调性的方法
在中学数学中，对函数及其性质的学习、研究与应用是非常重要的.利用导数来研究函数的性质、应用无疑给在用初等方法解决函数问题的基础上增添了一条独特的、靓丽的风景线，使得对一些比较复杂函数的研究更为简捷、明了.
对于基本初等函数的单调性，我们都比较熟悉，易找到它的单调区间.但对于较复杂的函数的单调性，我们常需要利用复合函数的单调性来进行分析判定.而借用导数来解决函数的单调性问题会更简捷.
利用导数求函数单调性的步骤：
（1）求导数.
（2）解不等式＞0得f(x)的单增区间.
解不等式＜0得f(x)的单减区间.
2．利用导数求函数的极值.
利用导数求函数极值的步骤：
（1）求导数；
（2）令，求得根；
（3）在附近左、右侧判断的符号（左正右负为极大值，左负右正为极小值，这里可通过列表来判断）.
说明：使导数=0的点不一定为极值点，如在点x=0处无极值.
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【应用举例】
例1 求函数的单调区间.
分析：这是一个二次函数的单调性的问题，二次函数的图像和性质我们很清楚，很快就可以得到其单调区间与单调性. 但是如果我们利用导数来求其单调区间，就更加快捷.
解：∵=12x－9，
令，∴函数的单调增区间为，
令，∴函数的单调增区间为.
例2 已知，则f[g(x)]（ ）
A．在(－2，0)上递增 B．在(0，2)上递增
C．在(，0)上递增 D．在(0，)上递增
分析：此题可利用复合函数的单调性来进行判断，但较为复杂，我们可利用导数来进行.
解：则. 令，
则可得，所以应选C.
例3 求函数的单调区间.
解：∵，
令，得－1＜x＜0或x＞1.
∴函数的单调减区间为和(0,1).
解后反馈：在这里要注意：
使的x的取值区间如为一个，则此区间为其单调区间，如为两个或两个以上，在各自的区间上均为单调函数. 在这里，不能将这两个区间并起来写，如写成：此函数的单调增区间为(－1,0)∪(1,+∞)就错了，它是一个取值范围，而在其上不具有单调性.
例4 求函数函数的极值.
分析：根据求函数极值的步骤来进行.
解：.
令得x=－2或x=2，列表如下：
x

－2
(－2,2)
2

+
0
－
0
+
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴.
例5 求函数的极值点和极值.
分析：极值点是指函数取得极值时对应的点的横坐标，即自变量的取值. 而极值是函数值，即取得极值的对应点的纵坐标，二者并不相同.
解：.
令=0，则.
列表：
x

－1
(－1,3)
3

+
0
－
0
+
y
↗
极大值
↘
极小值－6
↗
∴函数的极大值点为x=－1，极大值为f(－1)=；极小值点为x=3，极小值为f(3)=－6.
例6 设函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1和x=－1处有极值，且f(1)=－1，求a、b、c并求其极值.
分析：此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值的步骤来求解，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为方程=0的根. 利用这一关系，由待定系数法求a，b，c.
解：.
∵x=1，x=－1为函数的极值点，
则1,－1为方程=0即=0的两根，
∴
又f(1)=－1，∴a+b+c=－1. (3)
解得.
此时.
列表：
x

－1
(－1,1)
1

+
0
－
0
+
y
↗
极大值1
↘
极小值－1
↗
∴，.
例7 已知函数，仅当x=－1,x=1时取得极值，且极大值比极小值大4，①求常数a，b；②求f(x)的极值.
解：①.
∵仅当x=－1，x=1时取得极值，
∴方程=0，即只有两个实数根x=±1.
则，即5+3a+b=0，∴b=－3a－5.
此时，

且方程无实根，
∴恒成立，此时，
x

－1
(－1,+1)
1

+
0
－
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴极大值为f(－1)，极小值为f(1).
又由题意f(－1)－f(1)=4，
∴(－1－a－b+1)(1+a+b+1)=4.
又b=－3a－5，∴a=－1，b=－2.
②由①得极大值为f(－1)=3，极小值为f(－1)=－1.
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【强化训练】
一、选择题
1．函数的增区间是（ ）
A．(－∞,－1) B．(1,+∞)
C．(－1,1) D．(－∞,－1),(1,+∞)
2．函数（ ）
A．有极大值，且有极小值 B．有极大值，无极小值
C．无极大值，但有极小值 D．无极大值，且无极小值
3．某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C．(0,2) D．
5．函数在(0,1)内有极小值，则（ ）
A．0＜b＜1 B．b＜1
C．b＞0 D．
二、解答题
6．求函数的极值.
7．已知函数，当x=－1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，求a，b，c及函数的极小值.
点击答案
一、1．C 2．C 3．B 4．B 5．A
二、6．令，可知当时，函数是增函数；当时函数是减函数；当是增函数.
∴在x=－2处有极大值，在x=2处有极小值.
7．a=－3，b=－9，c=2，极小值为－25.
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