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我的一堂“一师一优”课 一次函数总复习（第一课时）学习体验案例 作者：蒋文频 （单位：贵州省习水县寨坝镇中学. 邮编：564604）一、教学设计（本课于2016年9月19日，在习水县寨坝中学九（1）班，用人教版数学八年级（下）教科书，和（中考复习）数学讲练测5.2节一次函数知识点为内容，所上的一堂“一师一优”赛课。）（一）本课主要复习的知识点（教学内容）：1.一次函数的概念；2.一次函数的图象与性质；3.一次函数解析式的确定；4.一次函数与方程（组）、不等式的关系；5.一次函数的应用。（二）复习目标：【1.知识目标】了解一次函数的概念；掌握一次函数的图象和性质；能正确画出一次函数的图象；并能根据图象探索函数的性质,能根据具体条件列出一次函数的关系式。【2.能力目标】理解数形结合的数学思想；强化数学的建模意识；提高利用演绎和归纳进行复习的能力。【3.情感目标】通过对零散知识点的系统整理,让学生认识到事物是有规律可循的,同时帮助他们提高复习的效果,增进数学学习的兴趣。【4.探索目标】运用函数的观点探索、分析实际问题中的数量关上和变化规律是中考的热点，近几年随着中考命题的不断改革，通过适当地创设新的情景在变化情景中运用函数知识探索问题，分析问题，解决问题。（三）教学重点与难点：重点：根据不同条件求一次函数的解析式。 难点： 根据函数图象探索其性质， 利用函数解决一些实际问题。（四）本课的核心问题：1.理解一次函数的意义，掌握根据已知条件确定一次函数解析式的方法，会画一次函数的图象；2.探究并掌握一次函数的性质，会用它解决实际问题。（五）教法与学法：教法分析： 本单元的知识归纳成“六求”，采用的“演绎法”向学生传授，由于是复习课，采用边讲边练和问题教学的方式。学法指导： 在这节课之前，同学已经拟定了复习计划书，很多同学在计划书中都提出函数是难点，希望能多复习一点，故把这一信息反馈给同学，使全班同学都有一种意见得到尊重的满足感，并产生了强烈的主动求知欲望。另外，通过向学生展示对本单元的归纳，培养学生自己动脑、自己归纳总结的能力，从而掌握一种良好的复习方法。（六）设计思路 ：(一)知识回顾：由于是复习课，所以开门见山地给出一次函数的定义、图象和性质。(二)提出”六求”: 本单元的知识点比较繁多，而且在初中数学中占的地位也比较重要。因此，我用“六个求”来对于本单元进行复习。（三）随堂练习，理解、强化：二、教学过程 片段一 、 温故知新1.课前30秒钟，为了激发学生复习应考的坚定信念和斗志，首先，全班齐诵励志短诗“天空的幸福是穿一身蓝/森林的幸福是披一身绿/阳光的幸福是如钻石般耀眼/老师的幸福是因为认识了你们/愿你们努力进取，永不言败” 。（教学反思：此处小诗设计的目的是拉近师生的距离，激发学生复习应考的坚定信念和斗志，但是小诗的内容与本节复习课题无关联，是否可以省去。）2.同时，老师（我）板书本节课的复习课题“（中考复习）5.2一次函数”，紧接着我出示了第一个复习思考题：“请思考回答：一次函数的概念，图象和性质？”学生思考、讨论，并回答（甲张利回答一次函数的概念；乙潘宦军回答一次函数的图象；丙余富勤回答一次函数的性质）（略）。【例题1,生甲答】求系数(指数) 。填空， 已知函数y=(m+1)x +( m2-1). .当m -1时，y是x 的一次函数;.当m=1时，y是x 的正比例函数【例题2，生乙答】求位置。是指一次函数的图象在坐标系中的位置，包括两种情况： 两条直线的位置关系：若两条直l1:y=k1x+b1 ，直线l2:y=k2x+b2.当 l1/ l2时，k= k2 (这里不必要提出b 1b 2)， 当l1与 l2 相交时，k 1k 2 （）直线经过的象限：一般的，一次函数的图像都经过三个象限，这个知识用顺口溜：大大一二三，小小二三四，大小一三四，小大一二四加以理解记忆，意思是当k0，b0时，直线经过_象限，以此类推（课件中以表格的形式向同学展示）根据下列一次函数y=kx+b（k0）的草图，回答出各图中k、b的符号： （3）.如果函数y=kx+b图象不经过第二象限，则k 、b的符号如何？（生乙答：略。） （4）.举一反三：2.在同一坐标系中，函数y=kx（k0）与y=x-k（k0）的图象大致是（ ）：（生乙答：略。） 【例题3，生丙答】求交点。指一次函数的图象与坐标轴的交点坐标以及两直线交点坐标的求法直线y=kx+b与x轴的交点坐标是（ ，），与y轴的交点坐标是（，b）， 两条直线的交点坐标的求法：是将两直线的解析式联立成一个二元一次方程组，解这个方程组，将它的解写成一个有序实数对，就是两直线的交点坐标 第2页 （教学反思：由于是复习课，所以就开门见山地给出了一次函数的定义、图象和性质。其目的是复习旧知识，了解一次函数的概念;掌握一次函数的图象和性质;使学生能够正确画出一次函数的图象。但是此处复习是否可以再精简些，有效的复习时间再合理一些。） 片段二 、情景引入 【问题】遵义市今年在创建全国文明城市的过程中，决定购买A,B两种树苗对中华北路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，需要800元.（1） 求购买A，B两种树苗每棵各需要多少元？（要求：用一次函数的图象法来解答）（2） 考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有那几种购买方案？（3） 某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，若种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，那一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少？ 师： 为解决此应用题之前，再请同学们思考回答“如何确定一次函数的解析式？” 经过全班思考后，第一大组学生丁刘军君回答道：一般用待定系数法求函数的解析式，待定系数法的一般步骤是设代解答。师：“好，请坐下!”。当然，在一些日常生活实际问题中，可以根据题意直接列出解析式。【例题4,生戊杨茂盛答】求解析式。已知一次函数y=kx+b（k0）在x=1时，y=5。且图象与x轴交点的横坐标是6，求此函数的解析式。 解：因为一次函数y=kx+b（k0）在x=1时，y=5 。图象与x轴交点是（6，0 ），依题意，得： k+b=5, 解得：k=-1, 6k+b=0 b=6. 所以一次函数的解析式为y=-x+6. 片段三 、变式练习，拓展提升 第二大组学生己袁敏解答道：（1）设购买A种树苗每棵需要x元,购买B种树苗每棵需要y元,由已知得：8x+3y=950, 即：一次函数， y=-x+, 5x+6y=800. y=-x+. 第3页 经过在平面直角坐标系下描出其图象（两条直线）后，得到交点坐标为（100,50）.即x=100,y=50.答：购买A种树苗每棵需要100元,购买B种树苗每棵需要50元.（图，略） 第三大组学生庚张明杰解答道：（2）设购买A种树苗m棵,则购买B种树苗（100-m）棵，根据已知得：m50, 100m+50（100-m）7650, 解得：50m53.故有四种购买方案:1、设购买A种树苗50棵,B种树苗50棵；2、设购买A种树苗51棵,B种树苗49棵；3、设购买A种树苗52棵,B种树苗48棵；4、设购买A种树苗53棵,B种树苗47棵.第四大组学生申何建民解答道：（2）设种植工钱为W，由已知得：W=30m+20（100-m）=10m+2000, 当 m=50 时，W最小，最小值为2500元.答：购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元.（教学反思：由于本单元的知识点比较繁多，而且在初中数学中占的地位也比较重要。因此，我用“六个求”来对于本单元进行复习，使学生能够根据具体条件求出一次函数的关系式。但是练习是否可以再精简些，层次是否再合理一些。） 片段四、 练习巩固，拓展提升（以下两求为第二课时内容，仅供学有余力的学生做，解答略。） 5求面积：指一次函数的图象与两条坐标轴围成的直角三角形面积的求法，这可以用一个公式来表达：s= * *b. (注：作为本课的家庭作业巩固题二部分完成) 【例5】已知一次函数y= x 求该函数图象与坐标的交点坐标，并画出其图象解：函数图象与坐标的交点坐标为：(5，0) ， ( 0，-5) . 图象： 求函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积解：s= * *b= *5*-5=12.5 第4页【思考题】（让同学们课后完成）已知两条直线y= x和y=x+4，求它们与X轴围成的图 形的面积 6.求范围求自变量的取值范围：初中阶段不外乎三种情况：一是当自变量在分母上时，分母的式子不等于零；二是当自变量在根号内时，根号内的式子大于等于零；三是当自变量既不在分母上，也不在根号内时，自变量的取值为任意实数根据函数的图象或函数的解析式，给出x的取值范围能判定y的相应的取值范围，或给出y的取值范围判定x的相应的取值范围，这是一类较难的问题，解答时，要特别注意数形结合 （教学反思：本课的复习共用二课时，教学时用“六个求”来对于本单元进行复习，其中第一课时复习“四个求”。由于 本单元的知识点比较繁多，而且在初中数学中占的地位也比较重要，因此，我用“六个求”来对于本单元进行复习。其目的是让学生理解数形结合的数学思想；强化数学的建模意识；提高利用演绎和归纳进行复习的能力。通过对零散知识点的系统整理,让学生认识到事物是有规律可循的,同时帮助他们提高复习的效果,增进数学学习的兴趣。这里利用多媒体演示，能增强同学们的理解，效果会更好些，但是，旧知识的复习与情景问题的提出是否有联系？旧知识的复习与情景问题的顺序如何有效地安排？特别是根据函数的图象或函数的解析式，给出x的取值范围能判定y的相应的取值范围，或给出y的取值范围判定x的相应的取值范围，这是一类较难的问题，讲解时一定要注意数形结合，充分地体现数学“三教”+“四原则”教育理念，更要多关注学困生。）三、 学习体验 （一）说课。本课的教学内容为一次函数总复习，是中考总复习讲练测（2013遵义）配人教版八年级数学上册第14章的教学内容。下面我从教材分析、复习目标、教学重难点、教法学法、教学过程五个方面，谈谈我对该课教学的处理情况。1. 教材分析。一次函数是初中阶段学习的三种基本函数中最简单的一种函数形式。一次函数是复习资料书中一个独立的章节，该内容是八年级数学第14章第二节函数中的一个教学单元，这部分内容是在学生学习了变量与函数等基础上，继续对某些特殊的变量关系的考察和认识。从知识衔接的角度看，有着承上启下的作用，符合学生的认知规律。2.复习目标【知识目标】了解一次函数的概念;掌握一次函数的图象和性质；能正确画出一次函数的图象；并能根据图象探索函数的性质,能根据具体条件列出一次函数的关系式。【能力目标】 理解数形结合的数学思想；强化数学的建模意识；提高利用演绎和归纳进行复习的能力。【情感目标】 通过对零散知识点的系统整理,让学生认识到事物是有规律可循的,同时帮助他们提高复习的效果,增进数学学习的兴趣。【探索目标】运用函数的观点探索、分析实际问题中的数量关上和变化规律是中考的热点，近几年随着中考命题的不断改革，通过适当地创设新的情景在变化情景中运用函数知识探索问题，分析问题，解决问题。3. 教 第5页学重点与难点。重点：根据不同条件求一次函数的解析式。难点：根据函数图象探索其性质，利用函数解决一些实际问题。4.教法与学法。教法分析：回顾一次函数已学知识，通过多媒体课件演示本单元的知识归纳成“六求”，采用的“演绎法”向学生传授，由于是复习课，采用边讲边练和问题教学的方式。学法指导：在这节课之前，同学已经拟定了复习计划书，很多同学在计划书中都提出函数是难点，希望能多复习一点，故把这一信息反馈给同学，使全班同学都有一种意见得到尊重的满足感，并产生了强烈的主动求知欲望。另外，通过向学生展示对本单元的归纳，培养学生自己动脑、自己归纳总结的能力，从而掌握一种良好的复习方法。（二）如何发展学生的技能体验。本节课归纳的六个求不是互相孤立，而是互相依托，互相渗透的。1.如求直线与坐标轴围成的直角三角形的面积时，需要先求出直线与坐标轴的交点坐标，求直线与坐标轴的交点坐标时，往往需要先求出直线的解析式。2.如【例题1,生甲答】求系数(指数) .已知函数y=(m+1)x +( m2-1). 当m时，y是x 的一次函数；当m时，y是x 的正比例函数。这类题目是考察同学们对函数解析式的特征的理解，在讲解时要突出两个疑难：一是一次函数中自变量的指数等于，而不是；二是一次函数解析式中自变量的系数不为零。由此告诉学生，只有将知识融会贯通，举一反三，才能学有所乐，学有所成。3.如【例题2-（3），生乙答】求位置。如果函数y=kx+b图象不经过第二象限，则k 、b的符号如何？举这个例子的目的是锻炼学生的逆向思维,以加深理解一次函数的图象在坐标系中的位置。4.总之，我用“六个求”来对于本单元进行复习。其目的是让学生理解数形结合的数学思想；强化数学的建模意识；提高利用演绎和归纳进行复习的能力。通过对零散知识点的系统整理,让学生认识到事物是有规律可循的,同时帮助他们提高复习的效果,增进数学学习的兴趣。 （三）我的困惑。礼记学记说过：是故学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。故曰：教学相长也；学而不厌,诲人不倦。国外教育家杜威说过：教育即生活。国内教育家陶行知说过：教材不过是个例子。“生活的边界就是教育的边界”，开放课堂就要实现内容的开放，教学要紧密联系学生的生活实际，从学生熟悉的事物中提出问题，创设生动的教学情境，激发学生的求知欲和好奇心，使教学内容正真为学生的学习服务。而教学目标的开放，是指应在动态开放的过程中逐步完成和达到目标。开放课堂应该关注学生当下的生活处境及其学习的需要与感受，关注不同学生已有的经验背景，关注的中心不是教师预定的教学进度，而是学生的收获。教学的核心是学生的思维过程，要想发展学生的思维，就要开放课堂，使学生在解决实际问题的过程中，发展创造性思维和实践能力。1.本课的教学内容为一次函数总复习，课前的教学设计为二课时，但是在教学实际中，可以根据学生的学情具体灵活调整；2.情景问题有待让学生课前商榷，问题要有针对性，实际、新颖性，要多关注学生当下的生活处境及其学习的需要与感受，关注不同学生已有的经验背景；总之，课堂教学要在教师与学生的心理空间由封闭再到融合，教材的知识空间与学生的经验空间由封闭再到融合，课堂的学习空间与学生课外生活空间由封闭再到融合，使得课堂教学真正在此三个维度上同时进行。达到知识与能力、过程与方法、情感与态度多维目标的整合与统一。教师和学生始终处于和谐、民主、欢快而又紧张的课堂氛围之中。 【点评】贵师大宋运明、郁军教授 1.蒋老师的课运用了数学“三教”+“四原则”教育理念，引入好。但要多关注学困生。2.教学设计的目标过多，要从学生的实际学情出发精炼目标，在教学中，可以根据学生的学情具体调整目标。例如：本课的核心问题：是根据已知条件确定一次函数解析式的方法，探究并掌握一次函数的性质，会用它解决实际问题。3.导学案中出现了第二课时内容 ：求面积；求范围。所拓展的练习题具有层次性吗？充分考虑到学生的生活实际，以及接受能力吗？中考复习的检测题实用程度如何？4.如果再上这节复习课成功的经验会保持吗？不足之处又怎样改进？ 第6页 【参考文献】.王建，汤正利，刘磊等.中考数学总复习讲练测（2013遵义）贵州人民出版社，2012,10:4043.薛金星，王广德，张朝辉等.中学教材全解（八年级数学上册第14章）【I】陕西人民出版社，2010,1,189-199.郑杰斌.教师上好课的秘诀【I】东北师范大学出版社，2010,6,228229 习水寨坝中学 九年级班授课教师. 蒋文频 2016年9月16日 第7页 一元二次方程根与系数的关系教学反思“一元二次方程根与系数的关系”是一元二次方程中继“一元二次方程的解法”之后的一个选学内容，学生已学的求根公式是本节课的基础。基于九年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的大都是事物外部的、直接的、具体形象的特征。因此，本节课我是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习做铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。为此，确定本节课的教学过程为六个环节：第一环节：复习回顾1、 一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0 (a0) 2、 一元二次方程有实数根的条件是什么？(=b2-4ac0)3、 当0，=0，0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？第二环节：情景引入同学们，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根？（1）x2+4x+3=0 （2） 2x2-3x+1=0第三环节：探究新知学生带着问题完成表格，然后解决所提的问题方程x1x2x1+x2x1x2x2+4x+3=02x2-3x+1=0ax2+bx+c=0 (a0且)1、你发现一元二次方程的两根和与两根积与系数的关系了吗？ 2、是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a0且=b2-4ac0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：x1+x2= -b/a x1x2=c/a 。4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）第四环节：尝试发展尝试题1：不解方程，根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2）（1）2x2-1=0 x1+x2= _ x1x2= _ （2）3x2+5x=0x1+x2= _ x1x2= _（3）x2+7x=-6 x1+x2= _x1x2= _（4）5x2+5x-6=0 x1+x2= _x1x2= _尝试题2：不解方程，利用根与系数的关系求一元二次方程2x2-3x-5=0两个根的：（1）和与积 （2）平方和 （3）倒数和尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。第五环节 感悟收获 第六环节 作业布置1.课本习题第7题2、补充题：已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k=0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。通过对本节课的教学，多数同学能不解方程求两根之和与两根之积，能用根与系数的关系解决一些简单的计算问题，每一位学生都有自己不同的收获。下面就谈谈我上了本节课后的几点反思：一.利用“三教”思想引领课堂教学 课堂上要让学生做数学，想数学，说数学。复习时回答四个问题；情景引入时我让学生思考并回答方程（1）x2+4x+3=0和（2） 2x2-3x+1=0的解；探究新知时我让学生动手计算方程的两根之和与两根之积，然后去猜想所求结果与方程系数之间有什么关系，学生甲说：“我发现两根之和是一次项系数的相反数，两根之积是常数项”，学生乙补充说:“我认为两根之和是一次项系数比二次项系数的相反数，两根之积是常数项比二次项系数”，这个学生回答得多么好啊；尝试发展时我让学生去想数学去说数学，当时一位女生在回答式子x12+ x22和( x1+x2)2的区别与联系时表达得非常完美，这样一来，大家计算两根的平方和就有了方法。而另一位男生在表达尝试三的时候，找到了解决一个问题有两种方法，方法一是将根代人方程求解，二是利用根与系数的关系求解，这样就能使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验；感悟收获时学生能用洪亮的声音清晰地把自己的想法表达出来。二.重知识传授转向重过程探究课堂上要多给学生时间和空间，多让学生去思考，去表达，去体验。学生思考时老师要给他们一片宁静的空间。在让学生探究新知时，通过两个数字系数的一元二次方程去发现根与系数的关系后，再去探究一般形式ax2+bx+c=0 (a0且=b2-4ac0)的两根之和，两根之积与系数的关系，这些都是交给学生来表达。课堂上讲的不要太多，有些过程，让学生自主观察总结是完全能收到好的效果的。其实这还是思想的问题，说明我们老师真的要放开手，真正让学生有了空间，他们也会给我们很大的惊喜。这是一个学生在本节课后的体会：“今天我的收获很大，老师讲的我基本都学懂了。我知道如何求两根的和，两根的积，还有两根倒数和与两根平方的和。在这过程中，大脑的思维得到了冲撞和启迪，从而开拓了自己的思维。而且，当你成功的想到一道难题的做法时，你会感动无比的快乐，哪怕是错的。当你看到那些字母变来变去的时候，你会感动数学的神奇与奇特。”三。加强语言表达提升教学效果课堂上老师的语言表达要清楚精准，指向要明确。这样学生在思考问题时才不会有含糊，不会走弯路，这样师生的活动就会达到事半功倍的效果。我在让学生思考方程（1）x2+4x+3=0 和 （2） 2x2-3x+1=0的两根与系数的关系时，没有给学生指明两根的和与两根的积分别与系数的关系，这让学生找不到两根与系数到底有什么关系。后来指向明确后，学生通过观察，猜想到了结论，这为后面探究一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0 (a0且=b2-4ac0)的两根之和，两根之积与系数的关系就有了方向，学生就能从特殊到一般得到关系式：x1+x2=-b/a ，x1x2= c/a。 总之，在课改的今天，我们老师要学会放手，留给学生足够的空间和时间，引导学生去探究，教会学生会思考，会表达，会体验。这样的课堂一定是师生互动，轻松愉快的。为了学生的一切，一切为了学生是我们每一位老师努力的方向，也是我们工作的落脚点。