中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第16讲立体几何综合问题.doc

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数学高考综合能力题选讲16

立体几何综合问题
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

立体几何是高中数学的重要内容，是考察各种能力的重要载体，考察的方法常常是将计算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。

范例选讲

例1．如图，已知面，于D，。
（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；
（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？

讲解 （1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。
∵ 面，于D，
∴ 。
∴ 。
∴ 。
∵ 为在面上的射影。
∴ ，即。
∴ 。
即的最大值为，等号当且仅当时取得。
（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。
。
令，解得：，与交集非空。
∴ 满足条件的点Q存在。

点评 本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。

例2． 如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。
（1）求侧面与底面所成二面角的大小；
（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。

讲解： （1）连交于点，连PO，则PO⊥面ABCD，
∴ ∠PAO就是与底面所成的角，
∴ tan∠PAO=。
设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO = 。
设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。
在Rt中，，
∴ 。即面与底面所成二面角的大小为
（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。
∴ 就是异面直线PD与AE所成的角。
在Rt中，。
∴ 。
由，可知：面。所以，。
在Rt中，。
∴ 异面直线PD与AE所成的角为。
（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点E即可。
为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。
延长交于点，连接。设为中点，连接。
∵ 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点，
∴ ，。
∴ 。∴ 面⊥。
∵ ，，∴ 为正三角形。
∴ ，∴ 。
取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。
∴。

点评 开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。

高考真题

1．（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且==。
（I）证明：⊥BD；
（II）假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值；
C

D

M B E

N

A F

（III）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。
2．（2002年全国高考）如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

[答案与提示：1。（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）=1。 2．（Ⅰ）；（Ⅱ）时，MN的长最小，为；（Ⅲ）]
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