中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第10讲不等式的解法.doc

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数学高考综合能力题选讲10

不等式的解法
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

不等式具有联系广泛，应用广泛，变换灵活的特点．是中学数学的重点内容，也是学习高等数学的基础知识和重要工具，是高考的考察重点之一，在高考数学试题中占有相当大的比重．关于不等式的解法，应该在熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值的不等式、指数不等式和对数不等式等的解法的同时，注意对含参数的不等式须经讨论求解的问题．同时，还需注意不等式的工具作用，也即不等式与其它知识的综合问题．

范例选讲

例1 解关于x的不等式：．
讲解：解不等式实质上就是等价变形，利用对数函数的单调性，我们不难得到：原不等式等价于 ①
即 .
由于，所以，所以，上述不等式等价于
②
解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定就成了解答的关键．如何确定这一标准？
首先，我们可以从解不等式入手，不难看到是一个分界点，这可以看作是本题分类讨论的第一层次；其次，要解上述不等式组，从两个不等式取交集的角度，必然需要考虑到，，2这三个数之间的大小关系，这应该是本题分类讨论的第二层次．但是，在本题的条件及第一分类标准之下，这三个数的大小关系已经确定，所以，我们只需考虑以为分界点．
（1）当时，不等式组②等价于
此时，由于，所以 ．
从而 ．
（2）当时，不等式组②等价于
所以 ．
（3）当时，不等式组②等价于
此时，由于，所以，．
综上可知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
如果将本题中的条件去掉，则在将原不等式等价转化为不等式组①后，就应该开始确定分类标准．从解不等式和入手，可知，是两个分界点，另外，从解不等式组的角度，即不等式取交集的角度，可以看出需要比较，，1，2这四个数的大小关系，为了找到分界点，可以令＝，解得：，于是，我们得到了此题分类讨论的3个界点：0，1，2．从不重不漏的原则出发，我们可以画出如下数轴，并标出0，1，2三个点，以此把数轴分成，，，四个区间及三个点．

下面只需在各区间及各界点展开讨论即可．结论如下：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．

点评：解含参数的不等式时，关键在于分类标准的确定．函数单调性的变化常常作为确定分类标准的依据．分类需要不重不漏，尤其注意不要忽略参数在分界点的取值．

例2 设函数，
（1）当时，解不等式；
（2）求的取值范围，使得函数在上为单调函数．
讲解：（1）时，可化为：，等价于：
① 或 ②
解①得 ，解②得 ．
所以，原不等式的解集为 ．
（2）任取，且，则

要使函数在上为单调函数，需且只需：
恒成立，（或恒成立）．
因此，只要求出在条件“，且”之下的最大、最小值即可．为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：，容易知道，此时；若考虑，则不难看出，此时，至此我们可以看出：要使得函数为单调函数，只需．
事实上，当时，由于恒成立，所以，．所以，在条件“，且”之下，必有：．
所以，在区间上单调递减．
当时，由（1）可以看出：特例的情况下，存在．由此可以猜想：函数在区间上不是单调函数．为了说明这一点，只需找到，使得即可．简便起见，不妨取，此时，可求得，也即：，所以，在区间上不是单调函数．

点评：本题是函数、不等式型综合问题，注意：不等式解区间的端点往往与方程的解相关（如（1）中.

高考真题

1. （1991年全国高考）已知为自然数，实数，解关于x的不等式：
.
2. （2000年全国高考）设函数，其中a>0．
（I）解不等式f(x)≤1；
（II）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，＋∞]上是单调函数．
[答案与提示：1．当为奇数时，不等式的解集为；当为偶数时，解集为． 2．（I）0<a<1时，所给不等式的解集为，当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}；（II）当且仅当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞]上是单调函数．]

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