中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第16讲立体几何综合问题.doc

Doc521资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲16立体几何综合问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测立体几何是高中数学的重要内容，是考察各种能力的重要载体，考察的方法常常是将计算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。范例选讲例1如图，已知面，于D，。（1）令，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？讲解（1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。 面，于D， 。 。 。 为在面上的射影。 ，即。 。即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。令，解得：，与交集非空。 满足条件的点Q存在。点评本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。例2如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。讲解： （1）连交于点，连PO，则PO面ABCD， PAO就是与底面所成的角， tanPAO=。设AB=1，则PO=AOtanPAO = 。设F为AD中点，连FO、PO，则OFAD，所以，PFAD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中， 。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。 就是异面直线PD与AE所成的角。在Rt中，。 。由，可知：面。所以，。在Rt中，。 异面直线PD与AE所成的角为。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点E即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。延长交于点，连接。设为中点，连接。 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点， ，。 。 面。 ， 为正三角形。 ， 。取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。点评开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。高考真题1（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=。（I）证明：BD；（II）假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值； CD M B ENA F（III）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。2（2002年全国高考）如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.（）求MN的长；（）当为何值时，MN的长最小；（）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。答案与提示：1。（）略；（）；（）=1。 2（）；（）时，MN的长最小，为；（）Doc521资料分享网(D) 资料分享我做主！