中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第11讲不等式的证明.doc

Doc521资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲11不等式的证明100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测证明不等式的基本方法有：求差（商）比较法，综合法，分析法，有时用反证法，数学归纳法均值定理、适度的放缩、恰当的换元是证明不等式的重要技巧不等式的证明往往与其它知识（如函数的性质）综合起来考查范例选讲例1 已知，求证：讲解： 可以用比较法：解1 因为，所以，所以，所以，命题得证解2 因为，所以，所以，由解1可知：上式1故命题得证点评：比较法是证明不等式的基本思路例2 证明不等式：，讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明解1 时，不等式的左端=1，右端=2，显然12，所以，时命题成立假设时命题成立，即：则当时，不等式的左端不等式的右端由于= 所以，即时命题也成立由可知：原不等式得证从上述证法可以看出：其中用到了这一事实，从而达到了和之间的转化，也即和之间的转化，这就提示我们，本题是否可以直接利用这一关系进行放缩？观察原不等式，如果希望直接证明，需要把左端进行化简，直接化简是不可能的，但如果利用进行放缩，则可以达到目的，由此得解2解2 因为对于任意自然数，都有，所以，从而不等式得证点评：放缩法是一种证明的技巧，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中考察如本题中注意到所要求证的式子左右两端的差异，以及希望把左式化简的目标例3 设，若，, 试证明：对于任意，有.讲解：要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论也不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示. , , . 当时，所以，根据绝对值不等式的性质可得：， 综上，问题获证. 点评：用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论高考真题1. （1985年全国高考）设a (n1,2,3),证明不等式对所有的正整数n都成立2. （1993年全国高考）如果关于x的实系数二次方程x2axb0有两个实数根、,证明:.如果|2,|2,那么2|a|4b且|b|4;.如果2|a|4b且|b|4,那么|2,|2.(93年(29)10分)3. （2001年全国高考）已知是正整数，且.()证明 ；()证明 .答案与提示：1放缩法，利用；2略； 3利用排列数公式及二项式定理Doc521资料分享网(D) 资料分享我做主！