中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第12讲复数的运算与几何意义.doc

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数学高考综合能力题选讲12

复数的运算与几何意义
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

从近几年的高考试题看，复数部分考查的难度在下降，题量也在减少，考查的内容主要集中在三个方面：一、复数的运算．包括代数形式及三角形式的计算，复数模、辐角及其主值的计算．二、以复数运算和某些概念的几何意义为核心而形成的数形结合的题目．三、复数与方程的题目．估计今后几年高考试题仍将侧重于复数的概念、运算、复数与三角、复数与几何、复数与不等式等综合型试题．

范例选讲

例1 若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数．
讲解：当已知复数的模时，往往可以利用复数的三角形式解题．
解1： 设，，，则由可得：

利用，可解得：，
所以，．
当时，，；
当时，，．

若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，得到下面的解2．
解2：由题可知都等于1，又由得：，所以，，
所以，所对应的点的轨迹为圆与圆的交点．
解之得：．
以下同解1．略．

用复数的代数形式去解本题也未尝不可．
解3：设，其中，则由题可得：

解这个6元方程组，需要较高的技巧，如果能够注意到（2）、（3）、（6）、（7）只与相关，则可将此四个方程联立，解得：，所以，．
下略．
点评：复数的代数形式、三角形式、模的性质是解决复数问题的3大支柱．

例2 设复数满足：，，它们在复平面内分别对应于不同的点A、点B，O为坐标原点，若，求使得△AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积．
讲解：由于，所以，首先应结合题目条件，考虑与的关系．
首先，，所以，，解这个关于的方程，得：．
所以，，，
所以，．
所以，

．
等号当且仅当，即时取得．此时，△AOB取得最大面积，为．
点评： 正确理解复数运算的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键．

高考真题

1．（1994年全国高考）已知z＝1＋i,
（Ⅰ）设ω＝z2＋3－4,求ω的三角形式;；
（Ⅱ）如果＝1－i,求实数a,b的值.
2．（1995年全国高考）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(O为原点),已知Z2对应复数z2＝1＋i,求点Z1和Z3所对应的复数．
3．(1997年全国高考)已知复数z＝,复数,z2w3在复数平面上所对应的点分别为P,Q,证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O是原点).

[答案与提示：1．（Ⅰ）；（Ⅱ）．　 2．；． 3．略．]
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